POUR DRESSER A L'AVANCE LES INTERETS D'UN COMPTE

sans qu'on ait besoin de connaitre l'époque de la clôture du compte, ni le taux de l'intérêt.

378. Cette méthode a sur les autres déjà connues des avantages si réels, qu'elle leur est maintenant préférée.

Avec les anciennes méthodes, il faut nécessairement fixer l'époque de la clôture d'un compte avant de s'occuper du calcul des intérêts,

puisqu'ils n'ont d'autre base que cette époque essentielle; or, si, par une circonstance imprévue, on était dans la nécessité de la changer, tous les calculs faits précédemment deviendraient inutiles.

La nouvelle méthode fournit les moyens de préparer insensiblement ce long travail, de tenir les comptes toujours prêts, et de les envoyer spontanément.

Ces avantages proviennent de ce qu'au lieu de prendre pour point de départ du calcul des intérêts la fin ou clôture du compte, qui, d'ailleurs, parla proposition même, est inconnue, on en prend le commencement, c'est-à-dire la première échéance qui y figure. (Voir le modèle de compte courant B, page 783.) Ainsi, au lieu de chercher, comme avec la précédente méthode, les jours écoulés depuis chaque époque jusqu'à la clôture :

1° Il faut chercher le nombre de jours écoulés depuis la première échéance (30 juin) jusqu'à l'époque où chaque capital commence à porter intérêt (31 octobre, 30 septembre, 30 novembre, etc.), placer les quantités de jours (123, 92, 153, etc.), dans la colonne des jours, les multiplier par chaque capital correspondant (1000, 3000, 1000), et poser les produits (123000, 276000, 153000) dans la colonne des nombres K Faire le même travail au crédit.

2° Après avoir fixé l'époque de la clôture, supposée ici au 31 décembre, il faut additionner les capitaux du débit (total, 9000) et ceux du crédit (total, 11000), écrire intérieurement (c) la balance des capitaux (2000) du côté le plus faible, la multiplier par la durée du compte (18/j jours), c'est-à-dire par le nombre de jours écoulés depuis la première échéance jusqu'à la clôture, placer ce produit (368000) dans la colonne des nombres, sur la même ligne que 2000 ; faire la balance des nombres (440000), l'écrire dans leur colonne, la diviser par 6000, pour en extraire les intérêts (73 fr. 33 c), les porter du même côté dans la colonne des capitaux, et balancer enfin les capitaux.

On obtient ainsi le solde (1926 fr. 67 c.)2, à l'époque de la clôture du compte3.

Quant au capital correspondant à la première échéance du compte, capital qui est ici 1000 fr., solde du précédent compte, il ne donne jamais lieu à des nombres; car la règle générale prescrit de calculer le nombre de jours écoulés depuis la première échéance jusqu'à V époque où chaque capital commence à produire intérêt. Or, dans ce cas, cette époque est précisément la première échéance; il n'y a donc pas de jours d'intervalle, ni, par conséquent, de nombre possible; c'est pourquoi l'on place zéro dans la colonne des nombres.

1. Ce sont les mêmes calculs, 'par nombres, que dans la méthode ordinaire.

2. Ce solde est le même que celui qu'on obtient par la méthode précédente (voir le tableau A, p. 782).

3. On suppose que l'époque de la clôture était inconnue lorsqu'on a commencé le compte, et qu'au moment de l'envoyer, on a pris le 31 décembre.

On voit que cette méthode diffère sur beaucoup de points de la précédente; en voici la démonstration :

379. Considérant la première échéance d'un compte comme le commencement, et l'époque choisie pour l'arrêter, comme la fin de ce compte, toute échéance qui figure au compte se trouve placée entre ces deux extrémités, et divise en deux parties l'intervalle de temps qui s'écoule entre le commencement et la fin du compte, intervalle que nous appellerons la durée du compte.

Ainsi, la première échéance étant le 30 juin (a) et l'époque de la clôture étant fixée au 31 décembre, toute autre époque, le 31 octobre (6), par exemple, partage nécessairement la durée du compte en deux intervalles, le premier du 30 juin au 31 octobre, et le second du 31 octobre au 31 décembre; et il est évident que ces deux intervalles réunis forment la durée du compte.

Or il n'est point dû d'intérêt pendant le premier intervalle, pour la somme de 1000 fr. correspondante à l'échéance du 31 octobre; il en est dû seulement pour le second intervalle.

C'est pour cette raison que, dans les méthodes ordinaires, on calcule les intérêts de 1000 fr. du 31 octobre au 31 décembre, et qu'il faut connaître l'époque de la clôture du compte. Mais, avec la nouvelle méthode, l'époque de la clôture n'étant connue qu'au moment d'arrêter les comptes, il faut nécessairement, pour les calculs qu'on veut faire à l'avance, se passer de cette époque.

Nous avons dit que le premier intervalle où il n'est pas dû d'intérêts, plus le second où il en est réellement dû, sont égaux à la durée du compte.

Conséquemment, les intérêts du capital pendant le premier intervalle, intérêts que nous nommerons complémentaires, plus les intérêts pendant le second, intérêts que nous appellerons réels, sont égaux aux intérêts du capital pendant la durée du compte, intérêts que nous nommerons totaux.

Or, si l'on a les intérêts complémentaires et les intérêts totaux, en retranchant les intérêts complémentaires des intérêts totaux, on obtiendra les intérêts réels.

Par exemple, les intérêts Complémentaires de 1000 fr., du 30 juin au 31 octobre, sont de 20 fr. et les intérêts totaux de la même somme, du 30 juin au 31 décembre, sont de 30 fr.

En retranchant les 20 fr. d'intérêts complémentaires des 30 fr. d'intérêts totaux, la différence 10 fr. donnera les intérêts réels de 1000 fr., du 31 octobre au 31 décembre; donc :

380. Avec les intérêts totaux et les intérêts complémentaires d'un capital on obtient, par la soustraction, les intérêts réels de ce capital.

Appliquant ce principe au compte proposé (modèle B, p. 783), on calcule les intérêts complémentaires des sommes du débit et du cré-

dit (a) ; calcul qui peut se faire en tout temps, puisque les époques nécessaires sont toujours connues.

Ces calculs préparatoires achevés, au moment d'envoyer le compte, lorsque l'époque de la clôture en est fixée, soit, comme ici, au 31 décembre, il faut calculer les intérêts totaux des nombres du débit et ceux des nombres du crédit pour en soustraire les intérêts complémentaires, calculés d'avance, et l'on obtient les intérêts réels.

Ce travail, qui paraît compliqué, s'exécute par une seule opération extrêmement courte, qui consiste à prendre la différence des capitaux, à la multiplier par la durée du compte, et à porter leur produit dans la colonne des nombres.

Mais c'est précisément cette opération si simple qu'il s'agit d'expliquer.

On n'a calculé au débit que les intérêts complémentaires de chaque somme ; il reste donc à calculer les intérêts totaux de ces mêmes sommes du débit, lorsque l'époque de la clôture est connue.

Pour opérer ce calcul, il faut multiplier chaque capital du débit par la durée du compte, 184 jours, ou plus simplement, au lieu de faire ce calcul pour chaque somme, il faut faire l'addition des capitaux du débit, multiplier le total, 9000 fr., par 184 jours, multiplicateur commun, et Ton obtient ainsi, par nombres, les intérêts totaux du débit.

En conséquence, pour soustraire les intérêts complémentaires des intérêts totaux, et obtenir par là les intérêts réels, on doit, puisque les intérêts complémentaires se trouvent au débit, porter 9000 multiplié par 484, intérêts totaux, au côté opposé, dans la colonne des nombres du crédit; parce que, les nombres ou intérêts devant être balancés à la fin du compte, c'est-à-dire soustraits les uns des autres, il est clair qu'il restera, du côté des intérêts totaux, au crédit, un excédant qui sera les intérêts réels des sommes du débit.

Mais observons qu'ainsi les intérêts du débit sont déplacés et se trouvent au crédit.

Même raisonnement pour le calcul des intérêts du crédit :

On n'a au crédit que les intérêts complémentaires de chaque capital; il faut donc, au moment d'arrêter le compte, lorsque l'époque de la clôture en est fixée, calculer les intérêts totaux de ces mêmes sommes : ce qu'on opère en multipliant la somme des capitaux du crédit, 11000, par la durée du compte, 184 jours; on obtient ainsi, par nombres, les intérêts totaux du crédit. Mais puisque les intérêts complémentaires sont au crédit, on porte les intérêts totaux du crédit au côté opposé, au débit ; parce que les intérêts ou nombres devant être balancés, c'est-àdire retranchés les uns des autres à la fin du compte, il restera au débit, du côté des intérêts totaux, un excédant qui sera les intérêts réels des sommes du crédit.

Observons encore que les intérêts du crédit sont déplacés et se trouvent au débit.

Mais, en résumant tous les calculs ci-dessus, indiqués pour obtenir les intérêts totaux, tant du débit que du crédit, en soustraire les intérêts complémentaires et obtenir les intérêts réels, on verra que ces calculs consistent :

1° A multiplier la somme des capitaux du débit, 9000, par 184 ;

2° A multiplier la somme des capitaux du crédit, 11000, parce même nombre 184;

3° A porter enfin ces deux produits l'un au débit, l'autre au crédit.

Or, puisque les nombres du débit et ceux du crédit doivent être, à la fin du compte, balancés, c'est-à-dire retranchés les uns des autres, le résultat sera évidemment le même si, au lieu de porter d'un côté 9000 multiplié par 184, et de l'autre 11000 multiplié aussi par 184, on porte seulement au débit la différence des capitaux, 2000, multipliée par ce même nombre 184.

C'est là précisément ce que l'on fait : on prend seulement la balance des capitaux, 2000 (c), pour la multiplier par la durée du compte, 184 jours, et en placer le produit 368000 dans la colonne des nombres.

Il était essentiel d'expliquer cette opération, simple par elle-même, mais dont le sens est abstrait, et qui est une heureuse abréviation de calculs très-compliqués.

Ce calcul fait, on additionne les nombres du débit et ceux du crédit, on écrit la balance, 440000, dans leur colonne (g), et l'on place les intérêts, extraits en divisant cette balance par 6000, dans la colonne des capitaux sur la même ligne et du même côté, tandis que, dans la méthode ordinaire, on les porte du côté opposé.

11 reste donc à démontrer pourquoi, dans la méthode qui nous occupe, on suit une marche contraire.

La raison en est simple : puisque, comme on l'a vu, les nombres du débit sont au crédit et réciproquement, il en résulte que la balance des nombres se trouve du côté opposé à celui où elle devrait être dans l'ordre naturel ; ainsi, au lieu de porter les intérêts du côté opposé comme c'est l'usage dans l'ancienne méthode, il suffit de les laisser du même côté que la balance.

On a dû remarquer un autre avantage de cette méthode, c'est que les nombres rouges (/c), dont il est question dans la méthode précédente (modèle A), disparaissent dans celle-ci, où il ne peut s'en trouver.

Si l'on voulait changer le taux de l'intérêt, il n'y aurait qu'à changer le nombre diviseur.