DES PROGRESSIONS PAR DIFFÉRENCE

40 §. La progression par différence est celle dans laquelle la raison est le rapport par différence de deux nombres consécutifs. Par exemple, cette suite de nombres :

est une progression par différence, parce que chaque terme diffère de celui qui le suit, d'une même différence 4, qui est la raison.

ZiOl. Une progression par • différence est dite croissante quand ses termes vont en augmentant de gauche à droite : telle est la progression ci-dessus.

Une progression par différence est dite décroissante quand ses termes vont en diminuant de gauche à droite; exemple :

Nota. Comme les propriétés de l'une et de l'autre progression sont absolument les mêmes en sens inverse, c'est-à-dire en changeant seulement les mots plus en moins, ajouter en soustraire, multiplier en diviser, etc., nous considérerons la progression habituellement comme croissante.

402. Il résulte de la définition même de la progression par différence, qu'avec le premier terme et la raison on peut former tous les autres termes, en ajoutant successivement la raison à chacun d'eux.

En effet, le deuxième terme est égal au premier plus la raison.

Le troisième est égal au deuxième, plus la raison, ou, ce qui revient au même, au premier, plus 2 fois la raison. Le quatrième est égal au troisième, plus la raison, c'est-à-dire au premier, plus 3 fois la raison; ainsi de suite pour les autres termes; d'où il suit en général que :

ZjO 3. Tout terme d'une progression par différence est égal au premier, plus autant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui.

Par conséquent, on peut obtenir un terme quelconque d'une progression par différence, sans qu'il soit besoin de calculer tous ceux qui lo précèdent. Soit, par exemple, à trouver le dixième terme de la progression suivante : '-. 5. 7. 9. 11. etc.?

Le terme cherché étant le dixième, il y a 9 termes avant lui; il faut donc multiplier 9 par la raison 2, et ajouter au produit 18 le premier terme, 5; on obtient ainsi 23, qui est en effet le dixième terme.

&04. Cette propriété sert encore à insérer entre deux nombres pro-

tf, Autreiois ji )y- progressions arithmétiques.

posés des moyens différentiels, c'est-à-dire plusieurs nombres formant une progression par différence avec les deux nombres donnés.

Exemple : Soit proposé d'insérer quatre moyens différentiels entre 1 et 6.

Il faut, avant tout, trouver la raison de la progression demandée.

Or le dernier terme, 6, de la progression, étant composé du premier, plus autant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui (404), si l'on retranche du dernier terme, 6, le premier, 1, le reste 5 donnera la raison, répétée autant de fois qu'il y a de termes avant le dernier; donc, si l'on divise ce reste par ce nombre de termes, 5, on aura la raison 1, et Ton formera la progression : -, 1. 2. 3. 4. 5. 6. Donc :

405. Pour insérer entre deux nombres donnes un nombre quelconque de moyens différentiels, il faut retrancher le plus -petit du plus grand et diviser le reste par le nombre des moyens a insérer, plus un. Le quotient est la raison qui doit servir à former tous les termes de la progression.

Autre exemple : On demande d'insérer 9 moyens différentiels entre 0 et 1.

Retranchant 0 de 1, il reste 1, qu'on divise par le nombre des moyens à insérer, plus 1, c'est-à-dire par 10; on obtient ainsi la raison 1/10 ou 0,1 ; par conséquent, la progression sera :