Soit la progression par différence

Écrivons-la en sens inverse au-dessous d'elle-même.

Les termes de la première progression vont en croissant de 3 unîtes, ceux de la seconde en décroissant de 3 unités; il en résulte que la somme de deux termes correspondants est constante et qu'elle égale la somme des extrêmes 5 + 20 ; donc :

407. Dans une progression par différence, la somme de deux termes également éloignés des extrêmes est égale à la somme des extrêmes.

Si le nombre des termes est impair Je double du terme moyen est égal à la somme des extrêmes. Cela résulte de la simple inspection des deuxpro

gressions :

14 + 14 ou 2 fois 14= 5 + 23

La somme des termes des deux progressions est égale à la somme des extrêmes multipliée par le nombre des termes, do*s£ ?

408. La somme des termes d'une progression par différence esi égale

à la somme des extrêmes multipliée par la moitié du nombre des termes.

409. On n'altère pas une progression par différence lorsqu'on augmente ou qu'on diminue tous ses termes d'une même quantité.

Car, en augmentant ou en diminuant d'une même quantité deux termes consécutifs quelconques, on ne change pas leur rapport arithmétique ; donc tous les termes résultants forment une nouvelle progression arithmétique qui a la même raison que la première.

410. Dans toute progression, il y a quatre objets essentiels à considérer, le premier terme, le dernier terme, la raison et le nombre des termes; or il suffît que trois soient connus pour connaître le quatrième.

1er Exemple. On a acquitté une dette en 15 payements: le premier, de 5 francs; le deuxième, de 7 francs ; et ainsi de suite, en augmentant de 2 francs; de combien a été le dernier payement?

33= le 1er terme -j-laRX le nombre de termes avant x; = 5-f- [2 X 14] =33.

2e Exemple. On a acquitté une dette en 15 payements; le dernier a été de 33 francs et les autres avaient été en décroissant de 2 francs; de cornbien a été le premier payement?

Sachant que le dernier terme est égal au premier, plus la raison multipliée par le nombre de termes avant lui, de 33 il faut retrancher la raison 2 multipliée par 14; donc

3e Exemple. On a acquitté une dette en payements qui se sont surpassés de 2 francs; le premier a été de 5 francs et le dernier de 33 francs; combien y a-t-il eu de payements?

Si Ton divise le dernier terme, moins le premier, par la raison, on a le nombre des termes précédant le dernier, c'est-à-dire que l'on obtient :

x = }00 2 = 14; donc il y a eu lh + 1, c'est-à-dire 15 payements.

4e Exemple : On a acquitté une dette en 15 payements, qui augmentaient chacun de 2 francs ; le premier a été de 5 francs, et le dernier de 33; quelle était la dette?

La somme des termes d'une progression égale celle des extrêmes multipliée par la moitié du nombre des termes; donc

x= (5 + 33) x l4 = 38 X 7 1/2 = 285 fr.