DES PROGRESSIONS PAR QUOTIENT

411. Laprogression par quotient est une suite de termes dont chacun contient celui qui le précède, ou y est contenu, un nombre constant de fois, appelé raison.

1. Autrefois appelées progressions géométriques, pour les distinguer des progressions arithmétiques, nommées aujourd'hui équidifférences ; ce qui rend la distinction inutile.

On peut encore définir la progression géométrique une suite de termes dont chacun est égal à celui qui le précède, multiplié ou divisé par un nombre constant, appelé raison.

Par exemple, cette suite de nombres :

H i : 10 : 400 : îooo : îoooo : îooooo : îoooooo

est une progression géométrique dont la raison est 10, car chaque terme contient 10 fois celui qui le précède.

412. Une progression par quotient est dite croissante, quand ses termes vont en augmentant de gauche à droite, comme dans la progression ci-dessus.

Elle est dite décroissante, quand ses termes vont en diminuant de gauche à droite, comme dans la série suivante :

H îoooo : îooo : 100 : 10 : 1 : 0,1 : 0,01 : 0,001.

413. Une progression par quotient, qu'on nomme simplement une progression \ s'écrit comme une proportion continue : on la fait précéder du signe : : et l'on sépare chaque terme par deux points. Exemple :

progression qu'on énonce également comme une proportion continue, où Ton répète deux fois le moyen 'proportionnel (335 ) ainsi qu'il suit : 3 est à 6 comme 6 est à 12 comme 12 est à 24 comme 24 est à 48, etc.

414. C'est qu'en effet une progression n'est qu'une proportion continue, composée de plus de trois termes, c'est-à-dire d'une suite de proportions continues, ajoutées les unes aux autres, et dont tous les termes, excepté le premier et le dernier, alternativement antécédents et conséquents, ont entre eux une même raison, comme le moyen proportionnel, dans la proportion continué.

Il résulte de la définition même de la progression, où chaque terme contient celui qui le précède, un nombre constant de fois, appelé raison, que le deuxième terme peut être assimilé à un dividende, le premier à un diviseur et la raison à un quotient.

D'où il suit que le deuxième terme est égal au premier multiplié par la raison, comme dans une division le dividende est égal au diviseur multiplié par le quotient.

Donc, par le même motif, le troisième terme est égal au deuxième multiplié par la raison, ou, ce qui revient au même, au premier multiplié par la raison, et une seconde fois par la raison, c'est-à-dire multiplié par la raison élevée au carré ou à la deuxième puissance.

Donc, aussi, le quatrième terme est égal au troisième multiplié par la raison, ou au premier multiplié trois fois par la raison, c'est-à-dire multiplié par la raison élevée au cube.

1. Progression s'entend toujours de la progression par quotient; car, quand il s'agit de l'autre, on la désigne toujours sous le nom de progression par différence.

Donc, aussi, le cinquième terme est égal au premier multiplié par la raison élevée à la quatrième puissance, et ainsi de suite ; donc, en général :

415. Un terme quelconque d'une progression est égal au premier terme multiplié par la raison élevée à une puissance déterminée par le nombre des termes qui le précédent.

Par exemple, dans la progression précédente :

Le 2e terme, 6 = le 1er terme, 3 X la Impuissance delà raison, R, ou 2. Le 3e — 12 = le 1er terme, 3 X le carré de la raison, . . . . R2, ou 4. Le 4e — 24 = le 1er terme, 3 x le cube de la raison, . . . R3, ou 8. Le 5e — 48 = le 1er terme, 3 x la 4e puissance de la raison, R4, ou 16. Le 6e — 96 = le 1er terme, 3 x la 5« — de la raison, R5, ou 32.

416. Si le premier terme de la progression est l'unité, chaque terme est égal à la raison élevée à une puissance déterminée par le nombre des termes qui le précèdent; car multiplier l'unité par un nombre ne change rien à ce nombre.

417. Il résulte du principe précédent (415) qu'on peut trouver un terme quelconque d'une progression sans être obligé de calculer ceux qui le précèdent.

Par exemple, si Ton demande le huitième terme de la progression X 3 : 6 : 12 : 24..., sachant (415) que ce huitième terme doit être égal au premier, multiplié par la raison élevée à la septième puissance, il faut multiplier le premier terme, 3, par la raison 2, élevée à la septième puissance, c'est-à-dire par 1281; on obtient ainsi 384, qui est, en effet, le huitième terme cherché.

418. 11 résulte encore de ce même principe qu'on peut insérer entre deux nombres autant de moyens proportionnels que l'on veut.

Par exemple, soit proposé d'insérer six moyens proportionnels entre 3 et 384.

Il faut, avant tout, trouver la raison de la progression demandée.

Or on sait que le dernier terme, 384, est égal au premier, 3, multiplié par la raison élevée à une puissance déterminée par le nombre des termes qui précèdent le dernier ; donc, si l'on divise ce dernier terme, 384, par le premier, 3, on doit obtenir au quotient la raison élevée à la septième puissance, soit 128; donc, par l'extraction de la racine septième, on trouvera la raison, qui est ici 2.

Connaissant la raison, il est facile de former les six moyens proportionnels demandés : on multiplie le premier terme par la raison 2 pour former le deuxième terme, celui-ci par la raison pour avoir le troisième,

1. Pour élever 2 à la septième puissance, on peut carrer 2, ce qui fait 4; cuber 4, ce qui fait G4 ou la sixième puissance de 2, et multiplier 64 par 2; ou bien on peut cuber 2, ce qui fait 8, et carrer 8, ce qui fait 64 pour sixième puissance de 2; enfin, pourvu que 2 soit 7 fois facteur, peu importe comment on forme le produit.

SïO ARITHMÉTIQUE COMMERCIALE.

et ainsi de suite, jusqu'au huitième, qui sera précisément le dernier terme donné, 384, dans la progression suivante :

Les raisonnements sont les mêmes pour tous les cas; donc, règle générale :

419. Pour insérer entre deux nombres plusieurs moyens proportionnels, il faut diviser le plus grand par le plus petit, et extraire de leur quotient la racine du degré déterminé par le nombre des moyens à insérer plus un ; cette racine donne la raison servant ensuite à former tous les moyens proportionnels demandés.

420. Une progression n'étant, comme on l'a vu (414), qu'une suite de proportions continues, tout ce qui concerne les proportions continues est applicable aux progressions ; par conséquent :

421. Dans toute progression où le nombre des termes est impair, le produit des extrêmes est égal au carre du terme moyen; mais si le nombre des termes est pair, ce produit est égal au produit des deux moyens.

En effet, dans la progression : : 3 ; 6 : 12 : 24 *. 48, les deux extrêmes 3 et 48 font, avec le moyen 12, la proportion continue : : 3 * 12 : 48 *; donc le produit des extrêmes est égal au carré du terme moyen, quand le nombre des termes est impair.

Dans la même progression augmentée d'un terme,

les deux extrêmes 3 et 96 font, avec les deux termes moyens 12 et 24, la proportion 3 ; 12 :; 24 ! 96 2; donc le produit des extrêmes d'une progression est égal à celui des moyens quand le nombre de ses termes est pair.

422. Mais le deuxième et le cinquième terme de la même progression, 6 et 48, également éloignés des extrêmes, font aussi avec ces extrêmes la proportion 3 : 6 : : 48 : 96 ; il en est de même de deux termes quelconques d'une progression, lorsqu'ils sont également éloignés des extrêmes; donc, en général :

Z|23. Dans toute progression, le produit de deux termes également éloignés des extrêmes, est égal à celui des extrêmes.

Ce qu'on peut vérifier dans toute progression comme dans les précédentes.

1 . Car il y a, entre le premier extrême et le moyen, le même nombre de termes qu'entre le moyen et le deuxième extrême; donc, la raison se trouve répétée un égal nombre de fois (412); donc les deux rapports 3 : 12 et 12 : 48 sont égaux; donc, il y a proportion (321) ; donc, le produit des extrêmes est égal au carré du terme moyen.

2. Car il y a, entre le premier extrême et le premier moyen, le même nombre de termes qu'entre le deuxième moyen et le deuxième extrême; donc la raison se trouve la même dans les deux rapports (412); donc il y a proportion (421); donc le produit des extrêmes est égal à celui des moyens.

424. Cette propriété fournit la manière de trouver le produit de tous les termes d'une progression.

Par exemple, dans la progression H 1 *. 2 : 4 ; 8 : 16 : 32, en formant le produit des extrêmes 1 et 32; puis celui des deux termes 2 et 16, qui sont également éloignés des extrêmes; puis, celui de 4 et de 8, chacun de ces produits est égal à celui des extrêmes; d'où il suit évidemment, puisque deux termes donnent toujours un produit égal à celui des extrêmes, qu'en général :

425. Le produit de tous les termes d'une progression est égal à celui des extrêmes élevé à une puissance déterminée par la moitié du nombre des termes.

Ainsi, en élevant le produit des extrêmes, 32, de la progression précédente, à la puissance déterminée par la moitié du nombre des termes, 6, c'est-à-dire, à la troisième puissance, on obtiendra, 32 x 32 x 32 = 32768, qui est le produit des termes de la progression. En effet, 32768 = 1 X 2 X 4 X 8 X 16 X 32.

426. La somme des termes d'une progression se compose selon une loi qu'il est intéressant de connaître ; c'est cette, loi qui sert dans les calculs d'annuités.

Soit proposé de trouver la somme des termes de la progression

En désignant la somme demandée par s, on a : s = 4 + 12 + 36 + 108 + 324.

Multipliant les deux membres de l'égalité par la raison 3, il vient : sx3 = 4x3 + 12x3 + 36x3+108x3 + 324x3 ou s X 3 = 12 + 36 + 108 + 324 + 324 X 3

or 12 + 36+ 108 + 324=s—4

donc s x 3— sous x (3 — 1) = 324x3 — 4

Par suite, s = = - = 484

Donc, en général :

427. Pour avoir la somme des termes d'une progression croissante, on multiplia le dernier terme par la raison, on soustrait de ce produit le premier terme et on divise le reste par la raison moins un.

le 5e terme

alors

et l'on a :

— - — - — ou s = — •

La règle qui précède donne le moyen de déterminer la somme des termes d'une progression dont on connaît le premier terme, le dernier et la raison. La dernière valeur de s indique que, connaissant le premier terme, le nombre des termes et la raison :

Pour avoir la somme des termes d'une progression croissante, on retranche l'unité de la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes; on multiplie le premier terme par le reste; puis on divise le produit par la raison diminuée d\me unité.

/|29. Reprenons l'exemple du n° 38fr, exemple dans lequel il s'agit de rembourser 100000 francs en six annuités, en tenant compte des intérêts composés à 5 %.

Soit x le montant de l'annuité. A la fin de la sixième année, les sommes versées forment, avec leurs intérêts composés, un total de (voir Y intérêt composé, 382, 2e exemple) :

x X ÎTÔî5 + x X M54 + x x ÏT053 + x X ÏTÔ52 + x X 1,05 + x

car le versement x, fait à la fin de la première année, donne à la fin de la sixième année, c'est-à-dire au bout de cinq ans, le capital définitif xx 1,055; le versement x fait à la fin de la deuxième année donne à la fin de la sixième année, c'est-à-dire au bout de cinq ans, le capital

définitifs x 1,054 et ainsi de suite jusqu'au dernier versement x.

Or ces capitaux définitifs forment les termes d'une progression croissante ayant pour premier terme xf pour raison 1,05 et pour nombre de termes 6. Or, d'après la règle du numéro précédent,

la somme des termes ==

D'autre part, les 100000 francs empruntés valent, au bout de six ans, 100000 X 1,056. Pour l'amortissement on doit donc avoir :

,X(M5;-l)=10()0()0xI^e 0,0o

ou ftX1,0^ .71 = 100000 XJÛQ56

D'où l'on t're :

100000 XÎTÔ56X 0,05 ......

x = - = 19701 fr. 5£

Notons que, pour avoir la valeur de x, les calculs à effectuer sont identiques à ceux qu'indique la formule du n° 385.

tl.i