CHAPITRE IV

Lorsqu’on est fixé sur le choix approximatif d’un tracé, on doit rapporter sur le même profil en long la configuration du terrain sur toute la direction adoptée, et celle du tracé lui-même. Nous avons donné un modèle de ce dessin (Pl. III — fig. 21), où ABGDEFG repré-

sente une coupe du terrain, eX.abCde'Ÿ g celle de la route. Toutes les fois que la roule est audessus du terrain , comme dans la partie ABC ba^ il y a remblai ; dans le cas contraire, il y a déblai. Lorsque enfin la liijne de la route coupe celle du terrain , on dit qu’il y a point de pas~ sage. C et F sont deux points de cette espèce. On les a ainsi nommes parce qu’ils marquent généralement les endroits où la route passe de l’état de remblai à celui de déblai.

Les différences Aa, B D d, etc., entre les cotes du terrain et celles de la route portent le nom de cotes rouges. Il est nécessaire de les calculer pour obtenir les déblais et les remblais. *

Aux points'de passage, la cote rouge est zéro, ce qui fait qu’oii les nomme quelquefois points à zéro.

Pour qu’un profil en long soit complètement dessiné et coté, il faut donc faire trois calculs distincts :

lo. Celui des cotes de la route;

2°. Celui des cotes du terrain ;

3o. Celui des deux cotes rouges, c’est-à-dire,; des différences entre les deux premiers.

-Ces trois opérations doivent être faites régulièrement sur trois carnets distincts, et vérifiées avec soin.

Il faut ensuite rapporter le profil de la route sur les'profils en travers du terrain.

Pour cela , ceux-ci ayant été dessinés comme on le voit fig. 20, on découpe trois modèles de profil de route, savoir: un en remblai, un autre en déblai; enfin un troisième qui soit en rem-

i92 ROUTES ET CHEMINS VICINAUX. MANUEL.

blai d’un côté et en déblai de l’autre. Ces modèles sont destinés à servir en quelque sorte de patron ; ils doivent être en carton mince et consistant, ou encore mieux en corne.

On rapporte sur les profils en travers, comme on le voit fig. 22, les cotes rouges du profil en long, A«, B^, D</, etc.; on a alors les points a, b , etc., par lesquels doit passer sur chaque profil du terrain le profil de la route, et on des- ^ sine facilement celui-ci en se servant des modèles dont nous avons parlé précédemment.

On obtient ainsi sur chaque profil des surfaces transversales de remblai et de déblai, telles que MN PQ fig. 22, qu’il faut évaluer avant de procéder au calcul définitif des terrasses.

L’évaluation des surfaces ne présente aucune 'difficulté ; il suffit de les décomposer en trian* ' gles et en trapèzes élémentaires, qu’on calculera séparément par les procédés connus des géomètres. Nous allons rappeler sommairement en quoi ces procédés consistent :

• On appelle triangle une figure qui a trois angles et trois côtés. Telles sont (Pl. IV — 17 et 1 8) les fig. ABC ou D E F.

On peut prendre pour base dans un triangle l’un quelconque de ses côtés. Si alors , d’un sommet de l’angle opposé, on abaisse une perpendiculaire sur la direction de ce côté , elle prend le nom de hauteur.

Ainsi, par exemple, si, dans le triangle ABC, on prend le côté AB pour base, la portion de perpendiculaire C D sera la hauteur correspondante.

Si, dans le triangle DF E, on prend le côté

D E pour base , la porlion de perpendiculaire F G sera la hauteur.

On démontre en géométrie que la surface <Pan * triangle est égale au produit de la base par le. moitié de la hauteur.

Supposons, par exemple, que la base AB soit égale à 17“, et la hauteur CD à 15®, on obtiendra la surface du triangle par le calcul sui- Tant :

La base est. . 17™, 00

La moitié est. 8“,50 Hauteur . . 15®, 00

Surface. . 127®, 60

On appelle parallélogramme une figure qui contient quatre angleset quatre rôles, et dont les

côtés opposés sont parallèles. Ainsi (Pl.IV 19)

la figure ABCD est un parallélogramme. On peut prendre l’un quelconque des côtés cr/pour base, et la perpendiculaire M ^ élevée entre les deux côtés parallèles AB, CD, sera la hauteur correspondante.

On démontre en géométrie que la surface d’un parallélogramme est égale au produit de sa base par sa hauteur.

Supposons par exemple que sa

base soit égale à Igm.

La hauteur égale à. , 12®.

La surface sera égale à douze fois 16®, c’est-à-dire à 192™.

Dans ce cas particulier ou les côtés contigus d’un parallélogramme sont perpendiculaires l’un à 1 autre, la fig. prend le nom de rectangle. Nous avons représenté un rectangle (Pl. IV — 20).

Sa surface est aussi égale au produit de sa base par sa hauteur.

Enfin on nomme trapèze une figure qui a quatre angles et quatre côtés, dont deux seulement sont parallèles entre eux , les autres pou- Tant avoir une direction quelconque. La figure ABCD (Pl. IV — 21} représente un trapèze.

Les deux côtés AB et CD sont parallèles entre eux et portent le nom de bases. Les côtés A C et BD divergent d’une manière quelconque. La perpendiculaire, MN, abaissée à la fois sur les deux bases, s’appelle la hauteur.

La surface d’un trapèze est égale au produit de la demi-somme de ses bases par la hauteur.

Supposons, par exemple, que la hauteur M N

soit de 17 mètres.

La base inférieure de ...... 1I“,00

La base inférieure de 14™, 00 ^

La somme des bases sera égale à 25™, 00 ,

La demi-somme à 12™, 50

Multiplions par la hauteur , . .' 17™

- 'Nous aurons le produit 213™,60

qui exprime la#sui face clterchée.

Lorsque par le milieu K de la Hgne M N oa mène une ligne EF parallèle aux deux bases, la longueur E F quiportelenomde^af^7Aoy«iin^, est précisément égale à la demi-somme des deux bases du trapèze. On peut dune dire aussi que la surface d’un trapèze est égale au produit de sa base moyenne par sa hauteur.

Ces principes admis, voyons comment OH.

calcule une surface de déblai ou de remblai.

Prenons, par exemple , la surface de remblai

DTJ CALCUL DES TÉRRASSEMEItS. 19^i

PRINQ; on supposera, pour simplifier les calculs , que les deux parties Mæ et Na de la surface du chemin soient droites au lieu d’être courbes comme elles le sont réellement. La courbure est en effet si faible, que l’erreur commise par cette simplification peut être négligée. D’ailleurs les terrassiers n’exécutent jamais la courbe du premier coup. Ce n’est que plus tard qu’on la fait dessiner par les manœuvres chargés d’exécuter les ragréages et l’empierrement. Gela posé, pour calculer la surface du remblai, on procédera de la manière suivante.

Celte surface contient les parties suivantes : lo. Un triangle MP R. Sa surface est égale à '/, MR X PI.

2°. Un trapèze AaMR. Sa surface est égale à •/, (MR + Aa) X AU.

3°. Un trapèze A «N S. Sa surface est égale à '/, (Afl + NS) X AV. .

4®. Un triangle NSQ. Sa surface est égale à*/, NSxQT.

Expressions qui toutes résultent des. règles . que nous avons données précédemment.

Si on avait voulu calculer une surface eu déblai comme celle qui est représentée sur le profil n®4 de la fig. 22 , il aurait fallu la décomposer en parties élémentaires de la manière suivante : - . .

’ I®. Un triangle H I J. '

2®. Un trapèze I ,J KL. ,

3®. Un trapèze LKVU.

4°. Un trapèze LUCf.

5®. Un trapèze C c M N.

196 KOUTES ET CHEHINS VICINADX. MANUEL.

C®. Un trapèze MNP O.

.. 7°. Un trapèze PORQ.

8°. Un triangle RQS.

Enfin si la surface était moitié en déblai, moi* tiéen remblai, comme dans le n® 3 de la fig. 22, déjà citée, la décomposition devrait se faire de la manière suivante :

' lo. Un triangle H IJ.

2o. Un trapèze IJ KL.

■ 3o. Un trapèze LKMN.

Jo. Un trapèze M N Ce.

5®. Un triangle Ce O.

6°. Un triangle OPQ.

lo. Un triangle PQR.

Tout se réduit donc à trouver la surface de trapèzes et de triangles donnés, et nous avons déjà appris comment on fait cette opération.

Mais pour calculer les surfaces, il faut avoir la Kase et la hauteur de toutes les figures. Or, deux moyens se présentent pour cela. L’un , tout graphique, conduit rapidement au but, mais ne donne que des résultats plus ou moins rapprochés ; il consiste à prendre les dimensions avec un compas et une échelle. Ainsi , par exemple, pour avoir la surface du triangle HIJ, on abaissera la perpendiculaire HT, à l’aide d’un équerre sur la base jl prolongée; on mesurera, à l’échelle, la longueur ly, on ea prendra la moitié et on la multipliera par la longueur II T , prise aussi à l’échelle. Ce moyen est à la portée de l’intelligence la plus vulgaire. Quoiqu’il ne donne pas un très-grand degré d’exactitude , on l’emploie pour faire les

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Dü calcul des TERRASSEMENS. 197

tâtonneraens qui conduisent à la rédaction du projet définitif.

L’autre moyen, qui est plus exact, mais beaucoup plus long , consiste à calculer tous les élémens linéaires des suifaces. Pour mieux nous faire comprendre, appliquons nos raisonnemens à la surface n° 4, fig. 22.

Les élémens qu’il faut calculer sont d’abord un élément horizontal HT , et ensuite des élémens verticaux IJ, K L, N M et qui sont sur les profils en travers ce qu’étaient tout à l’heure les cotes rouges sur le profil en long, et que, pour cette raison , on nomme aussi des cotes rouges.

Pour que nos raisonnemens s’appliquent à tous les cas possibles, nous allons les appliquer au calcul des cotes Eouges :

1°. Du demi-profil en déblai, représenté fig. 22 , n° 4 , par les lettres H 1 C c.

2®. Du demi-profil en remblai, représenté n° 1 , fig. 22’, par les lettres kaMp.

3**. Du demi-profil partie en remblai , partie en déblai, représenté n° 3, fig. 22, par lès lettres Ce PR.

. Commençons par la première de ces trois figures. Ce qu’il faut avoir, ce sont les lignes :

Ce, UV, LK, IJ, HT.

Ce est connue, car elle représente la cote rouge du profil en long que nous avons tout à l’heure appris à calculer.

Pour calculer la ligne UV, menons par le pointe une parallèle c x k la ligne C U ; il est évident que la longueur V U sera la forme des trois parties V u, ux , xlJ. Or, V u est évidem-

I 98 ROUTES ET CHE-UESS VlCOiAUX. MANUEL.

ment égal à la pente de la ligne CV multiplié par la longueur C,u ; ux est égal à G ç , et Ü x est égal à la pente de la ligne GU multipliée par la longueur ex ou G «. Les trois portions de longueur sont donc très-faciles à calculer.

La longueur LK se décompose en L/t, puis ' K k. La première de ces quantités est évidemment égale à la pente de la ligne GL multipliée par la longueur G^'. La deuxième est égale à la longueur U u déjà calculée , augmentée de la profondeur du fossé,

La longueur 1 j se décompose en ij -f I/.

/ÿ est égal à la pente de la ligne Cj multipliée par la longueur ci, et It est égal à kk déjà calculé.

Reste à trouver la longueur de l’horizontale HT.

On y parvient à l’aide d’un calcul très-simple^ que nous allons faire. Mais ceux qui sont toutà-fait étrangers à l’étude des mathématiques pourront se borner à en lire les résultats.

Appelons P la pente de la ligne H G; celle de la ligne H I. Dans le triangle THy, l’angle H représente l’inclinaison de la droite II G sur , rhorizontale ; on a donc, d’après les notions précédempient exposées :

Dans le triangle THl, l’angle H représente l’inclinaison de la droite H1 sur l’horizontale y on a donc :

WJ CALCUL DBS TEHRASSEMEMS. 19?

Je retranche la de ces équations de la 2«, et je trouve :

P ÎÏT ~ HT

D’où: