GH

AB

Ge qu’il fallait démontrer.

Appliquons ceci à des exemples :

Si (Pl. III — 32, n° 4 ) j’abaissais du point S une perpendiculaire S y sur la ligne RQ, elle tomberait entre le point R et le point Q; il fau* drait donc , pour obtenir sa longueur , diviser la longueur de RQ par la somme des pentes de la ligne RS et de la ligne SQ.

Si (Pl. III — 21 ) j’abaissais du point G une pei-pendiculaire G x sur la ligne Bi, elle tomberait encore entre les deux points B et b; il faudrait donc, pour obtenir sa longueur, diviser la cote' rouge B^ par la somme des pentes de la ligné B G et i c , c’est-à-dire des pentes de la route et du terrain.

Si ( Pl. III-— 21) j’abaissais du point de passage F une perpendiculaire sur la ligne E « , il est évident qu’elle tomberait en dehors des points E et «/que sa longueur serait, par conséquent, égale à la cote rouge E« , divisée par la différence entre la pente de la route et celle du terrain.

Voilà tout ce que nous avons à dire sur le

calcul des cotes rouges du demi>profil eu déblai, 4. Occupons-nous maintenant du demi-profil en remblai B ô H I , n» 2.

Les élémens linéaires qu’il faut connaître sont :

Bù, llj, IK.

B b est la cote rouge calculée sur le profil en

long-

H j se compose de H t et i j. H i est égal a B b, moins la pente de la ligne H b , multipliée par la demi - largeur Bt du chemin, ij est égal à là pente de la ligne BI, multipliée par la même demi-largeur. Enfin , il est évident que l’horizontale IK sera égale à H y, divisée parla diffL-rence entre la pente de la ligne H I et celle de la ligne I j.

Prenons maintenant le profil, partie en remblai, partie en déblai Ce PR (PI. 111 — 22, n®3). Les élémens qu’il faut avoir sont :

La rote rouge G c, qui est déjà calculée.

La perpendiculaire abaissée du point o sur la verticale Ce. Elle tomberait en dehors des deux points G et c; elle serait donc égale à la cote rouge G c , divisée par la dilférence entre la pente de la ligne G Q et celle de la ligne rP.

La cote rouge PQ. Elh; est égale à — Pjo.

Or Qy) est égal à la largeur G/) de la route , multipliée par la pente de la ligne G Q, et Bp est égale à la cote rouge Gc, plus le produit de la largeur G p par la pente de la ligne c P.

La perpendiculaire abaissée du point o sur la ligne PQ. Elle est égale à la cote rouge PQ, divisée par la dilférence entre la pente de la ligne OQ et celle de la ligne O P.

202 ROüTjES et chemins vicinaux. — MANÜEL.

La perpenHiculaire abaissée du point K suit la ligne PQ. Elle est, égale à la cote rouge PQ, divisée par la différence entre la pente de la ligne PR et oelle de la ligne QR.

Voilà ce que nous avons à dire sur le calcul des surfaces de déblai et de remblai. Passons à présent à la cubature des solides.

Il est des méthodes à l’aide desquelles on peut cuber les solides de déblai et de remblai avec une très-grande approximation. Notre but n’est pas de les exposer ici, parce qu’il nous faudrait présenter sur la manière de concevoir la surface d’un terrain des considérations qui demanderaient, pour être comprises, de très-longs développemens. Ceux qui voudraient éludiia:

cette questioti à fond pourront consulter le Pro~ gramnu <£ an cours de construction de Sganzin, le Traité de topographie de Puissant et l’ouvrage de Basson cCEscars sur le Calcul des terrasses. Mais dans ce livre toul-à-fait élémentaire, nous nous bornerons à exposer une méthode d’approximation extrêmement simple, et qui donne, dans presque tous les cas, des résultats d’une exactitude suflisante.

Pour la>rendre intelligible, résumons d’abord en peu de mots ce qu’«in enseigne en géométrie sur la mesure des solides élémentaires.

On donne le nom de cube à un solide régulier dont toutes les arêtes et tous les angles plans sontégaux.Nous l’avons représenté (Pl. 1V — 17). Son volume est égal au produit de la base ABCD par sa hauteur, qui est égale à l’une quelconque de ses arêtes D E.

^ Ou appelle pyramide un solide qui a une base

D(J CALCUL ȣS TERSASSEHEiNsi 303

polygonale à laquelle aboulisseiit plusieurs faces triangulaires purtanl du même sommet. Telle est la figtire S A B C D E (^Pl. IV — 18). La baæ peut avoir urx nombre quelconque; de côtés.

Dans le cas particulier où elle est triangulaire, le solide prend le nom de pyramide triangulaire {Pl. IV— 19).

La hauteur d’une pyramide se me sure sur la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base. Son volume est égal au tiers du produit de la base par la hauteur.

On appelle prisme un solide qui a deux bases égales parallèles, et placées l’uiie au-dessus de l’autre, de telle sorte que leurs côtés correspoadans soient parallèles entre eux. Tel est le solide ABCDE , abede représenté ( Pl. IV — 20).

Son volume est égal au produit de la hase par la hauteur.

' Dans le cas particuli r où les bases sont triangulaires, on lui donne le nom de prisme triangulaire. Si en outre les arêtes sont perpendiculaires aux bases, elles deviennent égales>à la hauteur, le prisme prend le nom de prisme triangulaire droit, et son volume est égal an produit de sa base par l’uue quelconque 'des arêtes.

En ce cas, on peut donner de ce vohime tme autre expression qui est quelquefois plus commode dans la pratique et que nous allons faire coiinnîlre. ' ' ...

Soit ABC abc (Pl. IV — 21) le prisme en question. Son volume sera égal , d’après ce que nous venons de dire, à ABC X A a. Or, si dans le triangle ABC oous.abaistsous du sommât C

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Hne perpendiculaire G D sur la base  B , la surface ABC sera égale à '/j AB x CD et l’expression du volume donnée ci-dessus deviendra :

•/, AB X CD X Aa ou

•/, ABx Aa X CD

mais AB X A a est évidemment égal à la surface du rectangle A B a la -formule ci-dessus devient donc :

•/, CD X ABaù;

d’où il résulte que, pour obtenir la solidité du prisme triangulaire donné, il faut multiplier une face rectangle quelconque par la moitié de la perpendiculaire, abaissée sur celte base d’un point de l’aréte opposée.

Si au lieu d’un prisme triangulaire complet, on avait ( Pl. IV — 23 ) un tronc de prisme ABCD abcd obtenu en tronquant le prisme primitif par un plan CH cd, parallèle à l’une des bases rectangles, il est facile de démontrer qu’on obtiendrait son volume en multipliant une base moyenne entre A B a A et CD cr/, par la distance perpendiculaire M N entre les deux bases

Cette opération est analogue à celle par laquelle on obtient dans la géométrie plane la surface d'’un trapèze; aussi a-t-on donné au solide dont nous venons de parler le nom de solide trapézoïdal.

Supposons maintenant qu’on ait un rectangle plan ABCD 'Pl. IV — 24); que par une ligne M N parallèle à deux de ses côtés on fasse passer

DU CALCUL DES TERRASSEllENS.

un plan EF G H; qu’on le limite de deux côtés par deux droites EG, FH, perpendiculaires à MN; qu’enfin par les ligues AB et CD, on mène deux rectangles AB EF, CD GH, dont les plans, soient perpendiculaires à celui du rectangle AB CD; ces opérations détermineront les arêtes de deux prismes triangulaires droits M N A B E F, et M NC DG H, dont il sera facile de calculer le volume ; en effet , il sera égal pour le premier prisme à la base G D GH, multiplié par la moitié de la hauteur MC, et pour le second à la base A EB F, multiplié par la moitié de la hauteur M A.

Ces deux hauteurs M A, M C sont faciles à calculer, lorsqu’on connaît les bases CG et AE.

Il suffit pour cela d’observer que les deux triangles MC G et MAE étant semblables donnent la proportion .