MULTIPLICATION

' Avant d’expliquer la multiplication en général , il est bon de faire connaître un avantage particulier des décimales.

On sait que , pour multiplier un nombre entier par 10, il suffit d’écrire un zéro à la* suite de ce nombre : ainsi 33, multiplié par ' 10 , donne 330. De même , pour le multiplier par 100 , on écrirait 3300 ; par 1000 , 33000, et ainsi de suite. #

Si le nombre contient des décimales, la multiplication par 10 se fera en reculant le point décimal d'un rang vers la droite ; si l’on veut rendré le nombre cent fois plus grand, on reculera le point de 2 rangs ; si.

c ? est mille fois plus que l’on désire , on recule le point de 3 chiffres. Ainsi , 2 . 354 , multiplié successivement par 10, par 100, et par 1000, devient 23.54, 235.4, et 2354.

Par une raison semblable , un nombre est* rendu 10 fois, 100 fois, 1000 fois pliis petit,

en séparant par un point décimal , 1 , 2 ou 3 chiffres par la droite ; ou , si ce nombre contient déjà des décimales, en avançant successivement le point , d’après la même règle. Par exemple, 2.5 est l(Wois plus petit que 25 ; de même 0.25 sera égal à 25 divisé par 100; 0.037 sera la millième partie de 37, et ainsi dai^ tous les autres cas.

Maintenait on concevra aisément que la multiplication des nombres décimaux doit se faire comme celle des nombres entiers , et qu’il suffit, dans le produit, de séparer’ par le point décimal autant de chiffres que l’on compte de décimales dans le multiplicateur et le multiplicande ensemble.

Exemple. Multiplier 52A.17 par 15.62 ; voici l’opération figurée :

On a séparé A chiffres décimaux dans le produit, parce qu’il y en a 2 dans le multiplicande, et 2 dans le multiplicateur : la raison en est qu’en faisant abstraction du point décimal dans les deux termes ou facteur»' de la multiplication, on suppose cha-

CALCUL DÉCIMAI,. 67

cun d’eux 100 fois plus grand qu’il n’est effectivement; le produit se trouverait donc 10,000 fois trop grand, parce que 100 multiplié par 100' donne 10,000 ; [c’est pour le ramener à sa vraie valeur, qu’on en sépare les quatre derniers chiffres par le point décimal, ce qui est la même chose que si on le divisait par 10,000.

Lorsqu’on n’a pas. besoin d’une précision »

plus grande que les centièmes , on ne conserve que les 2 premières décimales ; veuton pousser la précision jusqu’au* millièmes, il faut conserver 3 chiffres après le point.

Ainsi, dans l’exçmple précédent, après avoir trouvé le produit, on peut l’énoncer comme il. suit, 8187.53, ou 8187.535, en supprimant les deux derniers chiffres, si Ion se borne aux fractions de centièmes, ou seulement le. quatrième, si l’on veut exprimer des millièmes.

On ne doit pas craindre que ce retranehement donne une erreur sensible ou préjudiciable ; car les calculs n’ayant lieu , ans les usages courans, qu’en conséquence <res mesurages effectifs, ce serait un sera* pule déplacé que de vouloir donner aux calculs plus d’exactitude que n’en comportent les instrumens dont on s’est servi Pour mesurer. v

Si l’on veut obtenir un peu plus de pré-

68 galcül décimal.

cision, cc qui est possible sans rien changer à l’opération même , on aura attention , lorsqu’on supprimera quelques décimales dans les résultats, d’augmenter le chiffre précédent d’une unité , si la première des décimales supprimées est 5 ou au-dessus.

Alors, dans un certain nombre d’opérations , les parties négligées se compensent à très-peu près. Ainsi, dans la multiplication faite précédemment, le produit serait porté à 8187. 5A, au lieu de 8187. 53.

La suppression d’un certain nombre dedécimales abrège et simplifie lès calculs , mais elle ne doit pas être faite au hasard ; il faut avoir égard, tant»à la grandeur de l’unité , qu’aii degré d’exactitude qu’on veut obtenir : avec un peu d’habitude, on par vient bientôt à connaître, dans chaque cas* combien on peut négliger de décimales, sans craindre une erreur sensible.

Dans la plupart des opérations relatives»

aux ventes de marchandises, les multiplications ont pour objet f des questions analogues à celle-çi : La mesure de télle marchandise coûte tant, combien valent tant de mesures de la même marchandise ?

Par exemple , à 55 fr. le mètre de drap , combien coûteront 62 mètres ?

Réponse : Il faut multiplier 62 par 55 , ou 55 par 62 ; le produit est 3A10 ; par conséquent les 62 mètres vaudront 3A10 ft\

S’il se trouvait quelques décimales après le nombre des mètres, comme s’il y avait 62". 25 , et que le prix du mètre fût 55 f. 13 , le prix total s’obtiendra de même, en multipliant 6225 par 5513, ce qui donnera 3431 fr. 84, en supprimant les deux derniers chiffres, qui sont superflus , et qui n’équivalent qu’à un quart de centime.

Il peut arriver qu’il n’y ait pas d’entiers, dans l’un des termes, ni même dans les 2 fermes de la multiplication. Exemple: A 28 centimes le mètre, combien 62 mètres ?

28 centimes répondant en francs à 0.28 , il faut multiplier 62 par 28, et séparer les 2 derniers chiffres par le point décimal; le « produit sera 17, fr. 36.

Si l’on demande : A 36 centimes le mètre, combien 8 décimètres ? La multiplication de 0.36 par 0.8, ou simplement de 36 par 8, donnera 288, et en séparant S chiffres , jparce qü’il y a 3 décimales tant au .miilti-, plicande qu’au multiplicateur, 0.288 , c’està-dire 28 c. , en négligeant les millièmes de franc, et plus exactement 29 *c. , le chiffre supprimé étant supérieur à 5.

On appréciera aisément la supériorité du calcul décimal, pour tous les cas semblables, en essayant d’appliquer le calcul des fractions ordinaires. à résoudre , par exeiûple ; la question suivante : A 17 s. 8 d. l’aune, combien 1 3 aune&7 huitièmes ou 15 seizièmes P

. ' - • : ' di vision i* ; ■ • *

Pour diviser deux nombres , dont l’un seulement, ou tous les deux, contiennent des décimales, la règle à suivre est trèssimple, et fondée sur ce principe, que si, avant d’effectuer une division, on en multiplie ou divise les’ 2 termes, par une même quantité, on ne change pas la* valeur du quotient.

Si les deux termes ont le même nombre de décimales , on supprimera le point dans chacun d’eux , et l’on opérera comme sur des nombres entiers’. Ex. Pour diviser 120.62

par 34.15, on procède comme s’il s’agissait » de faire la division de 12062 par 3415.

S’il y a plus de décimales dans un terme que dans l’autre , on les égalise, en ajoutant des zéros aux décimales les moins nombreuses , ce qui n’en altère pas la valeur, et l’on supprime ensuite de part et d’autre le point décimal. Ex. 247.2 étant à diviserpar 57.83, on opérera comme pour diviser 24720 par 5783.

Enfin ,-s’il ne se trouve de décimales que dans l’un des deux nombres, on supprime le point , en ajoutant à l’autre autant de zéros qu’il y a de décimales au premier.

Ex. 2000 à diviser par 14.25, se considérera comme 200,000 à divises par 1425; et 217.18 par 12, comme 21718 par 1200. >

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La question se réduit donc à diviser un nombre entier par un autre nombre entier.

La plupart des questions oit la division est nécessaire sont analogues à celle-ci : A A fr. 25 cent, le mètre, combien en feraiton faire pour 2000 francs ?

Il s’agit de diviser 2000 par A. 25 .

Transformons ces nombres de cette nianière, 200000 et A25, et figurons l’opération. * »

On trouve d’abord A70 poür quotient ; et il reste 250 , qui, étant plus petit que %25, ne peut plus donner qu’une fraction. A-t-on intérêt de la connaître , voici comment on y parvient. Nous reprenons l’opération :

En supposant qu’il n’y ait pas d’intérêt à la prolonger plus loin que les centièmes, l’ajoute 2 zéros à 250 , et je continue la division. J’obtiens au quotient 2 nouveaux chiffres formant 58 , et je les sépare des précédens par le point décimal. Le quotient vrai , ou la réponse à la question proposée , est que , pour le prix donné 9 on aura £70

mètres 58 centièmes. Si l’on veut pousser la division jusqu’aux millièmes , on ajoute un 3* zéro, .etc. .

On voit que l’adjonction de 2 zéros à 250 a multiplié le dividende par 100, et que le placement du point divise le quotient par la même quantité ; la valeur du quotient ne se trouve donc pas altérée. On aurait pu, avant de commencer l’opération , augmenter le dividende de 2 zéros, et cela serait revenu au même

De là se déduit cette règle bien aisée à retenir : Lorsqu’on opère sur des nombres entiers, ou que, par un égal nombre de déçiniaies , les deux nombres sont dans le cas d’être divisés comme entiers, ajoutez au dividende autant de zéros que vous voulez avoir de décimales au quotient.

Il s’ensuit aussi que , si le diviseur n’a pas de décimales , ou en a moins que le dividende, on peut opérer la division comme sur des nombres entiers , en observant seulement de séparer au qüotient, par le point, autant de décimales que le dividende en a

plus que le diviseur.

Enfin, si.au dernier reste on ajoutait encore un zéro, et que le quotient de ce re^te ainsi, accru donnât un chiffre égal à 5, pu plus grand, on aurait plus de justesse dans le résultat total , en augmentant son dernier chiffre d’une unité. On peut même

CALCt't DÉCIMAL. 73

sc dispenser de prolonger ainsi la division ; il suffit d’examiner si le dernier reste est au-dessous ou au-dessus de la moitié du diviseur : s’il est au-dessous , il n’en faut tenir aucun compte ; s’il est de la moitié ou au-dessus , il faut ajouter une nnité au deç- * nier chiffre du quotient. *