IV
.^QL^ri M, M,
5 \jl (M + M.)M (M-fM.+MJCM + M.)
(M + M.+ etc. +- M^,)(M + M.+ etc.+ M,
— etc. — ,^, . ^ , ,.. . w *» . » . ^., ■ w — 1 +
^ 3 L(M + M.)M ^ (M-|-M.+M.)(ltt + M.) ^ ^ ■' ^ '^'^"^ (M+M.+etc.+M JxM+M +etc.H-M^.) ^' "*" '"^
-(- etc. •+• /,
Dans cette formule ,
i est la perte de flèche sous la charge que Ton considère 9 Q , L et I sont connus ;
H, Ml 9 M,, et H|,.i sont les moments d'élasticité des feuilles; ces moments sont difiérents , puisque les épaisseurs des feuilles varient M est le moment de la première feuille , Ml celui de la seconde , etc. , et M^.i celui de la dernière feuille* Si par exemple un ressort est composé dé 8 feuilles, n — i sera égal à 8 — 1=7. Le moment de igL huitième feuille sera donc exprimé par M7.
n est facÛe de voir que cette formule est composée de deux parties , et , chose à remarquer, la première donne la flexion du ressort que l'on considère, toutes les feuilles étant supposées de la même longueur, c'est-àrdire sans être étagées; la deuxième partie, au contraire , donne la flexion due exclusivement aux étagements des feuilles. Ces deux quantités réunies donnent la flexion du ressort étage.
Galcal
de la flexion
du ressort
h feuilles
d'épaissears
décroissantes
qu'elle ne paraît. En effet, oâ remarque que les termes
^- . wv„ , etc. , sont communs dans les deux parties
(M+Mt)M '^
de la formule générale , et par conséquent qu'il n'y a besoin d'en chercher la valeur qu'une seule fois*
Qu'entre deux termes il y a toujours un des facteurs qui se répète, et qu'enfin les sommes M+Mj-f-etc., sont très-faciles à obtenir, en ajoutant successivement et au fur et à mesure du calcul , le moment d'une feuille à la somme des moments précédents^
Cette formule se simplifie encore quand toutes les feuilles ne varient pas d'épaisseurs , dlors il y a im certain nombre de mopfints égaux.
Un exemple de ce calcul fêta mieux comprendre toutes ces simplifications.
Ce ressort est composé de trois feuilles de o^^oio , trois feuilles de 0^,009 et quatre feuilles de o®,oo8. Si toutes les feuilles étaient inégales , les moments d'élasticité seraient désignés par
M^mTmC m, M4 M, M, M, M, M,
Dcms le cas présent , nous n'avons que trois moments différents, que l'on pourrait désigner par MMiM, , mais qu'il vaut mieux désigner par ]iLM|M«, parce que les indices 5 et 6 servent de repère pour savoir à quelle feuille l'épaisseur change. Pour le ressort qui nous occupe , la formule (IV) deviendra donc :
Ci)
3 L^ aM X M 3MxaM (3M-{-M3)3M M, M3
(3M + aM3)(3M+Mi) (3M4-3M,)(3M-haM0
Mj
(3H + 3B1,4- HJ (SU + 3M.)
(3M + 3H, + iM<} (3 H 4-311. + BIJ
Ua ^
{IUl + 311, + 3M,) (3M + 3M, + M^) ""
(3M+3M,+4IIJ(3M+3M.+3iy ^ 8 L»» K M ^
+ Sff|a^^^^^' + (3M + ij3»l ><^^ +
"*" (3M + 3M J (3M + aM.) X (^^ + »^0' +
"•■ (M + 5M. + Me)(3M + 3M0 ^ P^ + ''*)' +
"^ (3M+3M*+*M4)(5M+3M.+M,) ^ l'* + **« + W' + Me
w "^ (3]li+3M,+4M«)(5M+3HH*5H«} ^ '5'+3^»+5/.)^J.
En substituant , dàtis dette formulé , les valeurs numériques, on trouvera, comme flexibilité par i.ooo kil(^;rammes, ou pour valeur de i , o"',024.
Disposition du calcul, i'* rABTim.
^ =r 16,7574 SB o»oo8o
1** terme. • ^ 0,0040
»• . . = o,ooi5o
3* ^ o,ooo5ai4
4*. = o,ooo35o9
5* ^ o,ooo35aa
6* =s o,oooi385
Somme des 9 termes. = 0,00686076
Valeur de la i** partie :
a* PABTIB.
I* terme =: 0,000000664
4* SB o,ooooo3aoo
5* ss o,ooooo375o
8* — o,ooooo485o
Somme des 9 termes. = o,oooo365o3 Valeur de la a* partie :
^ 166,66 X o,ooooa65 = 0,00442 ; à'oû
% = 0,0190950 4- 0,0044^ s o,oa35.
D'après cet exemple, qui me parait suffisant, on
pourra trouver la flexibilité d'un ressort quelconque compris dans la catégorie des types n* 3 , n* 3 et n* 4* 2* L'allongement en un point quelconque de la mattresse-feuille et sous une charge quelconque , est donné par l'expression générale
âVr })'
La valeur de p, pour les ressorts à feuilles d'in^^ale épaisseur, est
. 7+7^ + ^+etc. + ^-Q(L-.X)
p M + M. + M.+ etc. + M^^,
Dans cette formule r fi r, etc. sont les rayons de fabrication des feuilles, qui varient, comme on l'a vu, avec les épaisseurs des feuilles.
Dans les ressorts à feuilles d'égale épaisseur, nous avons vu que l'allongement en un point quelconque était indépendant du rayon de courbure et ne dépendait que de la charge Q ; il n'en est plus ainsi quand les feuilles ont des épaisseurs différentes , parce que les rayons varient pour chaque feuille. Il est donc nécessaire de connaître ces rayons. On peut les obtenir en démontant le ressort et en prenant directement le rayon de chaque feuille , ou bien , ce qui est plus simple et assez exact , par la relation
c'est-à-dire en prenant la longueur des feuilles et leur flèche.
Si donc , pour le ressort {fig. 3 ) , on veut connaître l'allongement au milieu de la maîtresse feuille sous la charge de a. 000 kil. = aQ, on cherchera d'abord le
rayon de fabrication r de la première feuille , qui est le ipême pour les trois premières = «",273; r, le rayon du second groupe de feuilles d'égale épaisseur = a",o4& > et enfin le rayon r^ du dernier groupe =5 i",8îio. En substituant dans la formule (V) ces valeurs de r^r^^r^^. en remarquant que X = o , qu'il ^ été supprimé une feuille par Teffet de la bride et qu'il faut par conséquent supposer cinq imXm de o'^.qqS au lieu do quatre,
on aiu*a pour valeiu* de - 6X12S , 5x91.135 , §x64
Et en remplaçant dans la formule (II) - par 9a valeur, on aura :
QU très-approximativemept 0,0092, qui ^t l'allon^ce^ ment demsiAdé*
On peut rem^quer que ce ressort s'aplatissant sow une charge de 2,000 ^kilogrammes « il s'ensuit, la fleriofi étant proportionnelle à la charge, qu'il pourra se courba en sens inverse ou prendre une flèche négative. h" type. Je vais considérer d'abord le cas le plus fréquent,
h auxiliaire. c*est-à-dire quaud le ressort proprement dit est formé de feuilles d'égale épaisseur.
1*» La flexion de la première partie du ressort est donnée par la formule
OU
n est le nombre de feuilles du ressort proprement dit. Q est toujours la moitié de la charge sous laquelle on cherche la flexion du ressort.
Afin d'obtenir directement la flexion par i.ooo kilogrammes, j'ai toujours supposé 2Q = i.qoq kilo* grammes, ce qui en effet peut toujours se faire pom: les ressorts ordinaires. Mais il est évident que si la charge normale du ressort à auxiliaire que Ton considère était moindre que 1,00a kilogrammes, il ne serait plus exact de chercher la flexion sous ce poids, puisque au delà de la charge normale la flexibilité va en dimÎBuant. Pour ces ressorts , sQ doit donc être au maximum égal à la charge normale. Donc la première chose à chercher est cette charge normale, ou, ce qui revieut an même > i partir de quel poids le ressort proprement dit commence à être en contact , au delà du centre, avec l'auxiliaire* Pour que le contact du ressort proprement dit avec l'auxiliaire ne commence qu'à partir de la charge normale, U faut évidennnent que le rayon de fabrication de cet auxiliaire soît égal au rayon qui a lîeu au milieu du ressort sous cette même charge, rayon désigné, comme on le sait, par p et dont la valeur pour les ressorts à feuilles d'égale épaisseur est
d'où l'on tire , en remarquant que X = o ,
nM(p — r) rLp
Si j'appelle R' le ?ayo9 de fal^catioBi de Tau^oîliaire, àldvs, suivant çf^ qui a été dit plus haut.
Il est toujours facile d'avoir K\ soit » comme je Tai dit, au moyen de la relation
L' étant la demi-longueur de l'auxiliaire et ^ sa flèche ; ou bien en prenant ce rayon directement ; par conséquent Q ou la moitié de la chaîne normale sera déterminé.
Si j'applique cette formule avec les valeurs numériques relatives au ressort ( fig. 5) , on aura :
6 X i66,375(i 1,68 — i,5yi) ^,,
U = s rrr =ï l.lOOKll.
1,571 Xo,5o X 11,68
OU
aQ = 9.900 kil.
Pour ce ressort, on peutdoncfaire encore 8Q=i.ooo kilogrammes OU Q := 5oo , et en substituant les valeurs numériques dans la formule (VI) , on aura :
• = 6X6X^66,575 t»X(o.5)B+(6xo,o6o5)»]=o- o«5,
qui est laflexibilité du ressort proprement dit par 1 . oookilogrammes jusqu'à 2.200.
Il peut être utile quelquefois de connaître la flexibilité que conserve un ressort à auxiliaire sous une certaine charge supérieure à la charge normale. Pour cela, cette charge étant donnée , il faut chercher :
1" Sxu* quelle longueur l'auxliaire est en contact avec la dernière feuille du ressort proprement dit;
2® Considérer la partie de l'auxiliaire qui n'est pas en contact comme n'existant pas et calculer alors la flexion des feuilles en contact absolument comme un ressort à feuilles d'inégale épaisseur.
Par exemple, on veut connaître quelle est la flexibilité du ressort que je viens de considérer sous
2.6oo kilogrammes. Je suppose que sous cette charge que j'appelle 2Q' le ressort proprement dit soit en contact avec l'auxiliaire sur une longueur ab = X {fig. 5) , évidemment alors au point b le rayon de courbure des feuilles de la première partie du ressort, ou p, sera égal au rayon de l'auxiliaire R'. Or nous savons déjà qu'au point 6 la valeur de p est
On aura donc :
tM
R^"^ nSÎ
d'où Ton tire :
ou bien
nM nM
équation qui donne la valeur de X; c'est-àrdire la Ion-
gueiu* du contact du ressort proprement dit avec l'auxi*
liaire. Dans l'exemple qui nous occupe nous aurons
donc:
' ^\ii.68xi3oo 1.571 XiSoo/ ' ^^
Pour trouver maintenant la flexibilité du ressort , je regarde X comme la longueur de la dernière feuille, par conséquent la longueur de l'étagement I3 sera égale à la demi-longueur de la sixième feuille, que j'appelle Lf , moins X ou bien 1, = L. — X. On aura alors :
3 Lm
aMxM 3MX9M 4Mx3M M M ^' 1 ^
En substituant dans cette formule que Ton connâtt déjà les valeurs numériques s' appliquant au ressort pris pour exemple , on aura la fle^iUté demandée.
n n'y a aucun avantage à composer la première partie, des ressorts à auxiliaire de feuilles d'inégale épaisseur. Par conséquent il est plus simple , surtout au point de vue de la fabrication, de Iç^ faire en feuilles de la même épaisseur.
s"" L'allongement en un point quelconque du ressort proprement dit se ddtermine absolument comme pour les ressorts ordinaires, c'eat-à-dire par la formule
et» m mîiim 4h rc^sisQrt. {n^ U foro^^uU
anM*
est évident <{ue dans tous les cas la valeur da Q doit être égale au phis à la moitié de la charge normale.
Quant à Fanxilkum , fl b^ & éPintérftt à connatti^ que son allongement maximum. Or, comme le plus grand allongement correspond toujours pour les ressorts à auxiËaîre à l'aplatissement du ressort , il s'ensuit que l'allongement de l'auxiliaire sera donné p^ la formulé
Pour le ressort que nous venons d'analyser, cet allongement sera :
o'»,oa3
a = — - = O.OOOQO.
L'analyse d'un ressort de traction, quel qu'en soit le j^f^^'^Jj type , se fait d'après les mêmes règles que pour les ressorts de suspension.
Dans les ressorts de choc la flexion et l'allongement Ressorts de choc. S01I3 uuQ charge déterminée se calculent absolument cqmme pour les ressorts de suspension et de traction , niais il est une autre condition à rechercher, c'est le choc que ces ressorts sont susceptibles d'amortir otl, çn d'autres termes, la quantité de travail qu'ils peuvent absorber ; cette quantité de travail T est donnée par la relation
Dans cette formule E est le coeffleient d' élasticité de racler que nous avons pris égal à sooooooo eeo ; V le volume du ressort en fractions du mètre , volume quil est toujours facile de déterminer, et « TaDongement qu'éprouvent les feuilles du ressort quand il est aplati.
Ainsi , si nous considérons le ressort ( flg. g) dont le volume V est o'",oio77 et dont rallongeraetit correspondant à l'aplatissement est 0,00^9 on aura :
aoooooooooo X 0,01077 x(o,oq4)* . ,
Pour le ressort {jfig, 10) on aura :
9Q 000 000 000 X o,oo33 X (0,00^)*
Qvand on aura un ressort de choc à examiner, il faut dpno CQiQineiicer p^ jbi^n se rendre compte du trav^l détemuoé par 1@3 çboçg qui pourront se produire.
