CHAPITRE m
Pour déterminer un ressort, il faut connaître dV bord les conditions auxquelles il doit satisfaire, c'est-&dire qu'il faut se donner :
1* La flexibilité qui est variable smvant les cas. Ainsi , les ressorts de suspension de locomotives sont très-peu flexibles, les ressorts de wagons le sont plus , ceux des voitures à voyageurs encore davantage , etc. ;
3"* La charge normale que doit porter le ressort , charge qui est toujours déterminée, puisqu'elle se compose, pour les ressorts de suspension, du poids du véhicule qui porte sur les ressorts et du poids maximum en marchandises ou en voyageurs dont le wagon ou la voiture peuvent être chargés , et pour les ressorts de traction du poids total à traîner, en tenant compte de la vitesse des convois, des pentes du chemin, etc... Pour les ressorts de choc , il n'y a pas de charge normale , ce qui est déterminé à l'avance c'est comme on Fa vu le plus grand choc que le ressort doit pouvoir amortir , et par conséquent le volume total du ressort.
S"" On se donne aussi évidemment l'allongement correspondant à la charge normale , allongement qui est , ' on le sait , plus ou moins fort , suivant que sous la même chaîne on veut faire travailler plus ou moins l'acier. On se donne encore soit la longueur du ressort ou de la première feuille soit la corde de fabrication ou la
corde sous charge. Ces deroiëres parties sont toujours déterminées par la disposition des points d'attache des ressorts au véhicule. Enfin , la laif;eur des feuilles d'acier qui n'entre du reste dans les formules que pour déterminer le moment d'élasticité.
Ainsi pour établir un ressort , on doit se donner forcément :
1* La largeur des feuilles=: a ;
t"* La flexibilité ou flexion par i .000 kil. = t ;
S"" La charge normale = 2Q ;
4"" L'allongement correspondant à la chaîne normale ;
5"" La longueur de la première feuille comptée à partir des points de contact ou d'appui = aL ;
Ou la corde de fabrication = 2c.
Ou la corde sous charge = 2c'.
Cela posé , nous allons calculer une série de ressorts correspondants aux différents types décrits et analysés précédenunent.
Soit à déterminer les dimensions d'un ressort de >*' 'yp*. suspension de wagon-ballast à feuilles d'égale épaisseur d'dgaieép^ar! dans les conditions suivantes :
Largeur des feuilles o'",o75
Longueur développée de la première feville
eDtre les points de contact l'^^oo = aL
FlexibOité par 1.000 kiL 0^^0275 = i
Charge normale a.ooo = aQ
Allongement correspondant o^ooaa = a
Et supposons que l'aplatissement du ressort ait lieu sous la charge correspondant à un allongement de o,oo5 ; d'après ce qui a été dit dans les préliminaires, les |
charges étant proportionnelles aux allongements , cette |
charge d'aplatissement sera donnée par la proportion :
a.ooo kil. : o^ooaa :: x : o^ooS,
d'où
X = ■ = 4*5oo fcil. entirôo =± ar.
o^ooit
DéiermiDaïkNi Là âêxibilitè étà&t pf ôMftiotmelle à la cbarM , la
de la flèche â*a * »
de fabrieauoii. flëcbe dû fessort sera dôûiiêe par la {^roporuDii \
Rayon des feuilles.
Épaisseur des feuilles.
d'où
i.lMHl kiL : o»os75 n 4Mo : f^
, 0^0275 X 4-5oo
/ = «• m u i Mu as o.is4^
Nous connaissons déjà la relatiaii
d'tA
L'épaisseur des feuilles se déterminé pdt la relation déjà connue
fin remarquant que « est toujours Tallottgeniaoït côrreq^ndant & raplatissement du ressort , on aura
e =r a X 1.008 X 6^o6S fcs ii^^eiëëS.
En général « à moins qu'il ne s'agisse d'instruniêht de préobion , la flexibilité d'un ressort peut toujours Varier sÀtis inconvénient de o^^^ooi ou o%ooâ ou même de ô'^fOoB par t.ooo kilogrammes; par eonséquéift, comme mesuré pratique et pour fecilitef là fabricaticm , il est préférable dé né falpé varier les épaisseurs des feuilles que de millimètre en millimètre sans aucune fraction , c'est ce qu'il est du reste ^ et comme on va le voir, toujours facile de faire.
Noos avons trouvé comme épaisseur des feuilles e = 0,01008; l'épaisseur en millimètres sans fraction qui se rapproche le plus de ce chiffre est o",oi , qu'on
prrad alors comme épaisseur ot de laquelle on déduit ensuite le rayon , puisqu'on a :
r = — =. =: l",ÔO ,
ea i X o.oo5 d'où on a pour valeur de la flèche
On a donc
f te o*ji45
r =r l">^000 C = 0%OlO
L'étagement se détermine par la formule MêHAintHon
W Pllafiittwit*
Pr
On trouve la valeur de M pour des feuilles de o",oio dans le tableau, donné dans les préliminaires, et j'ai donné du reste la manière d'en trouver la valeur dans tous les cas , on aura donc :
aîE5o X 1
Connaissant Tétagement qui est le même pout* toutes lel feuilles , le nombre des feuilles sef a ég^al à k demilongueur de la mattresse^feuille divisée paàr èct éd^ement ou
♦• "* 7 '^^ ^;^555 =^ 9 "ocj ott gfenille».
On fixe ordinairensent les ressorts par leur milieu au Aemarqat. moyen de brides affectant différentes formes. On comprend dès lors que toutes les feuilles qui n'auraient pas une longueur plus grande que cette bride ne seraient d'aucun effet et par conséquent qu'elles peuvent èWè supprimées , c'est ce qu'il faut toujours faire ,
puisqu'on diminuera de cette manière le poids du ressort.
Le ressort que nous conâdérons est pris par son milieu siu* une longueur totale de o™,i90 , dont la moitié est de o",o6 = d.
Si on mettait neuf feuilles, la longueur de la dernière feuille serait plus faible que la largeur de la bride. On peut donc ne mettre que huit feuilles et alors la demilongueur de la huitième ou dernière feuille sera
Ly = o,5oo — (7 X o,o555) = 0,1 1 1.
i^étermination Pour obtenir la demi-longueur de toutes les feuilles
dMfeaiiiês/ du ressort, il faut retrancher successivement l'étage-
ment de la dernière longueur obtenue, nous aurons
ainsi :
L = o,5oo as i'« feuille.
L, = o,5oo — o,o555 = o,444^ = 2' L, = 0,444^ — o,o555 = 0,3890 = 3* L, = 0,3890 — o,o555 = 0,3335 = 4' L4 = 0,3335 — o,o555 = 0,2780 = 5" L5 = 0,2780 — o,o555 = 0,225 = 6* Lj = 0,2225 — o,o555 = 0,1670 = 7* Ly = 0,1670 — Q,o555 = o,iii5 = 8*
Amineiuement Lcs feuillcs de rossorts doivout être amincies à leurs de l'étagement. extrémités sur une longueur correspondant à celle de l'étagement.
Voici comment on détermine ces amincissements : Soit / {fig. 11) la longueur de l'étagement ab et e l'épaisseur de la feuille ; l'épaisseur e, , au point c , sera donnée par la proportion
€* : c'. :: / : /., d*où : e,= e \/ j.
et K = e \/ T. etc.
On se donne à volonté les points c, d, etc. ; on a donc autant de points qu'on veut des épaisseurs correspondantes.
Le calcul démontre que le volume de la partie enlevée par cette manière d'amincir les feuilles est le quart du volume total correspondant aux étagements.
Pour tous les ressorts que j'ai calculés jusqu'ici , j'ai divisé l'étagement , à moins que sa longueur ne dépassât o",200 en cinq parties égales, que j'ai désignées par 5/4, 1/2, 1/4, 1/8, parce que ac^ ad, etc., sont les 5/4 , les 1 /a , etc. de l. Or les fractions 5/4 » 1 /a , 1 /4 ^
1 /8 , ne sont autre chose que les rapports y , y, etc.
J'ai donc déterminé une fois pour toutes la valeur de la racine cubique de ces rapports ou des expressions numériques :
Vh
Et alors, pour avoir les épaisseurs é, e,, etc., il n'y a plus qu'à nmltiplier l'épaisseur totale de la feuille par les résultats ci-dessus.
Appliquons cette méthode à notre exemple, nous aurons
X 0,91 = 9""" environ.
Détermination 11 lie nous restfe plus màîntériàht qu*à chérchier le ou volume DoiAs du Fcssoi t dué Dous vchoris dc déterminer. Voici
du ressort. x i i , . i . ,./,
une méthode très-simple, et pour simplifier encQte , on prend le décimètre pour unité.
Faire la somme des demi-longueurs de la première et de la dernière feuille :
Multiplier cette somme par le nombre de feuilles 6,11 X 8= 48*^'", 88, on a la longueur développée de toutes les feuilles.
Multiplier ce dernier résultat par l'épaisseur des
feuilles
on a la surface du ressort en décimètres quarrés ; les feuilles supposées non amincies. D'après ce qui a été dit, il faut retrancher de cette valeur la surface due aux amincissements, opération qu'on fait à part.
Pour cela, multiplier le double de la longueur de l'étagement par le nombre de feuilles
i%ii X 8 = 8%88.
Multiplier cette somme par l'épaisseur des feuilles :
8%88xo%i; prendre le quart de ce produit
— - — =o%aa2,
et on a la surface, dans le sens de l'éjiaisseur de là feuille de l'acier enlevée par les amincissements. On retranche ensuite ce résultat de la surface obtenue dU ressort ,
4*»,88 — o^aaa = 4%658.
et on a la surface réelle du ressort.
Multiplier ce volume par la largeur des feuilles pour avoir le volume du ressort
4%658 X o-,75 = Z'^Ag
Multiplier ce volume par la densité de Facier, qui est
3*%49 X 7.8 = a7Saa
et on a le poids du ressort.
i"" Dans les ressorts à feuilles d'égale épaisseur, on Remarques, peut modifier la flèche à volonté , de sorte que comme simplification pour les calculs, on peut toujours supposer que le ressort s'aplatisse sous la chafge normale aQ , qui devient alors la charge d'aplatissement , et dans la relation e = 2ra, a correspond à la charge «Q.
2*» Pour le ressort que j'ai pris potir exemple, j'ai supposé que lèt longueur développée de la première feuille
était donnée , et au moyen de la relation ^=-^» nous
avbus déterminé le tayon. Si au lieu de donner sL on donnait la corde de fïibrication âe ^ on déterminerait le rayon par la relation
de laquelle on tire :
Si on donnait la corde sous la chaîne normale, et qu'on désignât par i la perte de dèche correspondante à cette charge, on aurait alors
d'où Ton tirerait , pour valeur de f.
Dans tous les cas, on pourra donc déterminer un ressort à feuilles d'égale épaisseur.
Légende du ressort d pincettes (fig. 2).
Largeur des feuilles* o",o5
Long, développée de la 1" feuille. 0^960
Données. {Charge normale i5okiL
Allongement correspondant. . . o",oo2 Flexibilité par 100 kil o°»,o3oào,o55
e — - O9O10 f PqJ^Jj jy ressort ou de
Résultats.' I ^ *i»^5,^ l la feuille a%8o
Flexion par 100 kil o,o32
^type. Le calcul des ressorts à feuilles sensiblement de
"?eMVbitmeiu*' ï^èi^e épaissouT se fait d'une manière analogue, nème ép^aissear. ^^ flècho et le rayon de la première ou maîtresse
feuille se déterminent absolument comme nous l'avons fait.
Soient donc r le rayon de la première feuille , et e son épaisseur, puisque dans ces ressorts toutes les feuilles sont juxtaposées , c'est-à-dire, puisque les rayons croissent à chaque fois de l'épaisseur de la feuille précédente , le rayon de la deuxième feuille sera
d'où, au moyen de la relation «,= art», on déterminera e^ ou l'épaisseur de la seconde feuille. Le rayon de la troisième feuille sera
r. + e, = r,, d'où
e, = ar,a et ainsi de suite.
Les étagements correspondants aux épaisseurs ^, e, , fj, etc. , seront donnés par
Pr*
/. « ^, etc.
Pr,
Le nombre des feuilles et la longueur de chacune d'elles , seront déterminées en retranchant successivement de la première feuille le double des divers étagements / , Z, , î, , etc. , jusqu'à ce qu'on arrive à une longueur égale au minimum à la longueur de la bride du collier, et au maximiun à cette longueur de bride, plus le double du dernier étagement
Connaissant les épaisseurs des feuilles , leurs rayons, leiu^s épaisseurs et le nombre de ces feuilles , le ressort sera déterminé.
Seulement, puisque les feuilles ne sont plus d'égale épaisseur, on ne pourra pas en déterminer le poids d'après la méthode précédente , il faudra évidemment faire la surface de chaque feuille , dans le sens de son épaisseur, pour avoir la stu-face totale du ressort; ceci fait , on continuera comme il a été dit précédemment.
Soit à déterminer les différentes dimensions d'un„ **.^7'.„
Ressort à feoilles
ressort de ce type, dont les données sont les sui- d'épaisseurs
^'^ ' décroissanies
vantes : ( Aa. » )•
Largeur des feuilles o"*^o75
Longueur de la i" feuille entre les points de
contact (a, b) où se produit refitort o",95o =: aL
Flexibilité par i.ooo kil o^^^oaS = «
Charge normale correspondant à l'aplatissement du ressort a.ooo kil.
Allongement correspondant 0,002a
J'ai remarqué, dans le chapitre premier, que les ressorts à feuilles d'inégale épaisseur ayant la même ré-
— assistance que les ressorts à feuilles toutes de même épaisseur et ayant aussi le même volume , avaient nécessairement la même flexibilité; il faut donc commencer par déterminer un ressort à feuille de même épaisseur répondant aux conditions données.
Ce ressort , en appliquant les formules données , sera composé de la Tpanière suivante :
f =: OyoSa Flexibilité par i.ooo kil = o%oa6
$ =r o,op9 l Vo^^^ne du ressort = 5**,45
n = 10 Poids du ressort = 26^990
Le problème se pose ma^itenant aipsi :
Faire un ressQ^t h feuilles d'épaisseurs décroissantes dont la longueur de la première feuille est donnée, ainsi que l'allongement correspondant à raplatissemsQt (et la charge d'apls^tissement qui est la charge normale) , et dont le yolume SQit s^psi]}lemeQt égal k i%l^i ou la
surface = -^ = 4'''',6o.
On comprend de suite que la ^Qlutjop cl§ cjs probl^ioe ne peut se trouver que par un p^u de tatonnemeq| ; cependant, en proi^édapt suivant i)P.e certaiu^ uiétbode , ces tâtonnements sç r^dui^nf ^ fort peu de chose.
Première condition : Si e désigne T épaisseur des feuilles du ressort type à feuilles d'égale épaisseur, et e V épaisseur de la première feuille 4^ ressprt 4 feuilles d'épaisseurs décroissantes, on devra avoic
Nous avons trouvé er= o",oo9, faisons es=o",oio, et mettons trois feuilles , pai; exerop^H* de cettç épais-< seur ; pour ces trois feuilles nous wyons ;
M -^ t\ t\it\ \ LoDKoeun développées
e — 0,0 10 \ 3j ces feuilles
«11'* feuille. . . . o,o5o l r= 2,273 = — r ^ J Surface en
> l decimet.
I^o,o55 = —y ^>^M quarrés. 2,46
Supposons maintenant trois autres feuilles d'une épaisseur moindre, par exemple de 0,009. ^^ ^^^^ alors :
• Longoenrs déreloppéfs
ide ces feallles.
Cherchons la surface de ces deux premières parties d'après ]^ inéthode déjà donnée, mais sans tenir compte , pour simplifier, des amincissements , on trouvera pour la première partie 5^2,46, et pour la deuxième partie «1;^ i,53. Si on retranche la somme de ces deux surfaces de la surface totale du ressort , on aura la surface 5,, qu'il reste à compléter:
Quels sont l'ép^sseur et le nombre de feuilles qui donneront cette sqrface? D'abord la longueur de la septième fieuille sera évidemment 0,422 — 0,0892, le double de Tétagement, ou o, 5 32.
Si le trapèze ABQF {^. 12) représente approa^iififtivement la demi-surface de la parti^ (lu r^sort que pous vençms de dét@n]p||)er, )^ . triangle CPF représentera approximativement la demi-surface de la partie du ressort qui reste à trouver; or connaissant PF==X, pu
la demi-longi^çur de la septième feuille , et la surface -
du triangle GDF , la hauteur DG=A sera déterminée, puisqu'on a:
d'où jk — '- — ^'^* — « -îCA^
Si « exprime l'épaisseur d'une feuille quelconque déjà déterminée , par exemple de la première feuille , / l'étagement correspondant à cette épaisseur, on démontre qu'on a:
e^ désignant l'épaisseur des feuilles qui restent à déterminer; on aura donc:
e'XX (o^iorx 1,66 , '•^TITÂ ~ 0,55X0,367 -"^•^**'
et en fonction du mètre o",oo84, ou environ, pour prendre une épaisseur exacte en millimètres , o™,oo8. Connaissant «, , on en déduira :
Le rayon r, = -i=: i",82.
aa
Le moment d'élasticité M. = 6^
ML
L'étagement L = —— = o",o55.
X o.i66 Le nombre des feuilles n^ = - = — -- = 4*
et la longueur des feuilles en retranchant successivement l'étagement.
On aura donc pour cette troisième partie du ressort :
e, = o,oo8 ( 7« feuille = o,55a ]
r= i.8ao 8« = 0,262 ^^.. e.
n, = 4 Vio* == 0,122/
Là surface de cette troisième partie, en ne tenant pas compte des amincissements , sera
Si cette surface était trop différente de celle que Ton cherche, on modifierait un peu l'épaisseur qu'on vient de trouver; mais pour le cas qui nous occupe , l'approximation est suffisante. La surface totale du ressort sera donc
S = 5 -}- «, 4- »a = a>46 + 1^55 -j- 0,7264 = /i,7i , et en tenant compte des amincissements ,
ou sensiblement égale à la surface du ressort propre* ment dit, qui est de 4^''»6o.
Le ressort étant ainsi déterminé , on peut vérifier au moyen de la formule ( IV ) qu'il a la flexibilité voulue. Nous avons trouvé au chapitre II , en faisant l'analyse de ce ressort, que sa flexibilité était de o™,o24 par 1.000 kilogrammes, approximation suffisante, puisque nous nous étions donné pour flexibilité o",o25 par 1.000 kilogrammes.
De cette manière de procéder pour déterminer les ressorts à feuilles d'épaisseurs décroissantes , il résulte évidemment qu'on peut faire un grand nombre de ressorts répondant très- approximativement aux mêmes conditions de flexibilité et de résistance tout en étant composés d'une manière différente. Ainsi pour le ressort que nous venons de calculer, on aurait pu ne mettre, par exemple, que deux feuilles de o"*,oio au lieu de trois; quatre feuilles de o",oo8 au lieu de trois feuilles de 0^,009 , et alors le reste du ressort n'eût pas été composé de la même manière ; ou bien encore mettre quatre feuilles de o",oii et chercher par la
méthode donnée 1^ f^n^plé^ent du volume du ressort , et ainsi de suite.
