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est la moyenne de (A')^ qui est égale à e^ ; on a donc enfln :

M=ïA6ee«««-|"Bg .g .£ . + C£ , t .e (35)

a P 7 a' p' 7' a." fi" y

C'est-à-dire que la valeur moyenne de «« est égale à une somme de termes déduits de ceux même qui composent n», en y remplaçant (aO* , (A")^ ... par leurs valeurs moyennes.

33. Nous verrons plus tard que les valeurs des inconnues^ déduites des observations par la méthode des moindres carrés, se présentent toujours sous la forme suivante :

a?=a*-[-a'i'-f a^JSr-f (36)

a, a% a" . . . étant des quantités numériques et A, A;', A», . . . des valeurs déduites d'observations toutes également précises dont le poids est pris pour unité.

Désignons par A, A', A*", . . . les erreurs dont sont affectées les quantités A:, f , A^. . . et par X Terreur de x, nous aurons en vertu de l'équation (36) :

X=aA-fa'A'-fa''A''4- (37)

Si nous voulons la valeur moyenne de X que nous appellerons Xi, nous devrons remplacer chaque erreur a, a', . . par sa valeur moyenne ci d'après le principe du n*» précédent, donc :

Xi— (a-|-a'-|-a''-|-. . .) ^i

mais e,=;0 (n° 23) donc :

Pour obtenir la valeur moyenne du carré des erreurs , il faut élever au carré l'équation (37), prendre la valeur moyenne du résultat et en extraire la racine carrée. On trouve :

-f 2aa AA' -f Saa'^AA" + 2aV'A'A" + . . .

Pour obtenir la valeur moyenne de X' que nous désignerons par X,* nous remplacerons, d'après le théorème précédent, dans chaque terme deX*, les puissances des erreurs par leurs valeurs moyennes savoir: A, A', A" . . par ei=0 et A*, A'% A"*, ... par n* il viendra, ainsi :

XÎ = (a« + «'*+«'^ + . . .)eî = H^! (39)

en adoptant la notation indiquée au n*" 14.

Donc : X» = £, y/ïaïf

Nous concluons de là que Terreur moyenne à craindre sur la valeur de a?, est égale à «« v^f^ ; que par conséquent le poids d'une

observation isolée étant l'unité, celui de la valeur de x déduite par

la méthode des moindres carrés sera r—r et l'erreur probable ^

En sorte que si l'on fait A=aft-t-«'*'+a"'^ ... on aura :

a? = A+p«\/2. \/ïSj" (40)

On trouverait de même pour y en supposant qu'on ait :

y = pA + p'A' + P''A«'+... =B

y = B + pitV^2.v/[pr. (40)

et ainsi pour les autres inconnues.