CHAPITRE V

Dv poiiUi de la dètermiiiatloii dans le ea« de plv-

(iieurii iiteamiueM*

31. Les principes que nous avons établis dans le chapitre III, sont suffisants pour déterminer l'incertitude du résultat lorsque les observations ont pouj but de fixer directement la valeur d'un seul élément numérique; nous en avons vu un exemple dans le chapitre précédent. Mais il arrive le plus fréquemment que les observations sont destinées à fixer à la fois un certain nombre d'inconnues, et pour parvenir dans ce cas à déterminer le poids ou 'erreur probable de chacune des valeurs obtenues , on est appelé à recourir à de^ principes auxiliaires que nous nous proposons de développer dans ce chapitre.

Désignons par w une fonction des erreurs a', a*, a*', . . . de la forme:

(29) «=A.{A') (A'') (A*').... + B(A')(A'') (A'^)...+ C(A') [bT) (A'")...+ etc.

La probabilité que u> soit comprise entre a et 6 sera donnée par l'intégrale multiple :

P = /^(A') f (A") .... dA'. il' (30)

étendue à toutes les valeurs de a', a", . . . pour lesquelles w est compris entre a et 6. Or cette môme probabilité peut être exprimée d'une autre manière; nonmions en effet ^ (y)dy la probabilité d'une valeur y de «), on aura :

P= J^(y)dy =:L{u>)do, (31)

Or, d'après l'équation (29) l'une des erreurs A' peut ôtre considérée comme une fonction de w et de toutes les autres erreurs ; supposons qu'en la résolvant nous trouvions:

nous en tirerons :

dtû

parce que toutes les erreurs A' A' A** . . . sont indépendantes entre elles. En substituant ces valeurs dans l'équation (30) elle devient :

p = Ap(/') -X . ^(^y) . y (j,^) . . . rfy . di"'. . . rfu).

où o) doit varier de a à ft et les autres variables a*, a*' . . . reçoivent toutes les valeurs pour lesquelles f est réel.

En comparant les équations (31) et (32) on en déduit :

«y do»

Intégrale multiple dans laquelle a> devra être considérée conmie constante , les variables A", a*^ . . . devant recevoir toutes les valeurs pour lesquelles f est réelle.

32. L'intégrale (32) ne peut être obtenue en général, en raison de la détermination de f qui n'est possible que dans des cas spéciaux ; mais si l'on demandait non plus la probabilité de ta, mais la valeur moyenne de cette variable, on parviendrait facilement à la trouver ; en effet, en désignant par M cette valeur, il faudrait d'après l'équation (31) intégrer entre les limites — œ et -f-oo la fonction suivante :

= f w . ^ (tel) aw.

M = f w • ^ (tel) aw. (34)

Or si dans cette équation on remplace >L (o) par sa valeur (33) et si l'on remplace dans le résultat :

df <p(/) —• d« par sa valeur <f(y) dV »<#

00 obtient :

M = /L . y(AO<p(A') . . . . di\dà"

L'intégration devant être étendue de — oo à -|-^ pour toutes

les variables a', A" . . . Or en remplaçant o par sa valeur (29) on aura en isolant les différentes intégrations :

M = a/ (a') % (A') dlj(^") > (A") dA'7 (A*') \ (A") dA*'

-j- etc.

Hais chacune des intégrales est la moyenne d'une puissance particulière des erreurs, en sorte que par exemple :