CHAPITRE PREMIER

De 1» nature de» erreurs dans le» expérience» de précision et de leur distribution autour du résultat irrai*

1 . Les erreurs des observations appartiennent à deux catégories très-distinctes Tune de l'autre et qu'il est important de caractériser. Les premières, que Ton nomme erreurs constantes ou régulières, proviennent d'une ou de plusieurs causes qui agissent constamment de la même manière, et ont pour effet d'altérer toujours dans le même sens le résultat de l'expérience. Ces erreurs doivent être évitées avec soin , parce qu'elles ôtent toute valeur aux observations qu'elles affectent. L'observateur doit donc étudier avec attention les causes qui les produisent, afin de les faire disparaître si cela est possible; s'il ne peut y parvenir, il doit chercher au moins à en apprécier l'effet, afin d'en dégager, dans chaque cas, le résultat de l'observation.

Les erreurs de la seconde catégorie, que l'on nomme erreurs fortuites, sont celles qui naissent capricieusement dans chaque observation et qui sont dues à des causes physiologiques ou physiques qui agissent tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre, sans paraître obéir à des lois régulières. Ces erreurs sont les seules dont on doive supposer affectées les observations dont on veut soumettre les résultats au calcul.

2. Qu'il s'agisse par exemple de mesurer une ligne droite pour déterminer sa longueur en mètres. Si l'on se sert pour effectuer cette mesure d'une règle de métal , et si l'on commet une erreur sur la température à laquelle sa longueur représente celle du mètre, toutes les observations seront affectées d'une erreur régulière provenant de cette cause , et quelque grand nombre de fois que Ton répèle l'opération, il sera impossible d'en conclure un

résultat exact. Si, au contraire, on connaît exactement la température à laquelle la règle équivaut au mètre et si l'erreur affecte dans les différentes observations la température actuelle de la règle, chaque observation sera entachée d'une erreur fortuite, mais ces erreurs auront lieu tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre, et en répétant un grand nombre de fois l'opération on pourra espérer d'en anéantir l'effet en les compensant.

3. Quoique les erreurs fortuites semblent par leur nature ne donner aucune prise au calcul, et être le fruit de l'inconstance et de rirrégularité, elles sont cependant en réalité soumises, dans leur ensemble , à des lois beaucoup plus précises qu'on ne serait tenté de le croire a priori. Ces lois, que la réflexion et la pratique ont révélées , peuvent s'énoncer dans leur généralité de la manière suivante :

i" Des erreurs en plus et en moins, mais égales en valeur absolue, sont également possibles et sont aussi fréquentes les unes que les autres dans un très-grand nombre d'observations. 2*» Dans chaque espèce d'observations il y a une limite que les plus grandes erreurs absolues ne dépassent pas, en sorte que si g désigne cette limite, les erreurs négatives sont toutes comprises entre et — g^ et les erreurs positives entre et +g ; l'intervalle total du champ des erreurs comprenant ainsi une étendue égale à ig.

3« Les erreurs ne se distribuent pas d'une manière uniforme dans toute l'étendue de l'intervalle ^g qui les comprend toutes ; les erreurs les plus fréquentes sont les plus petites et leur nombre tend à diminuer à mesure que la grandeur absolue de l'erreur augmente. Il en résulte que, si l'on représente par a la grandeur absolue d'une erreur et par <p (a) la fréquence relative ou la facilité relative de cette erreur dans un très-grand nombre d'observations, cette fonction aura son maximum pour A = et tendra à diminuer à mesure que la valeur absolue de A augmentera, de manière à devenir nulle pour à^±g; mais ses décroissements seront d'autant plus lents que la valeur absolue de A sera plus petite et d'autant plus rapides que A s'approchera d'une des limites dzg.

Celte fonction ^ (a) que Gauss appelle : Coefficient de la proba-

bilité de Veneur A , est d'une extrême importance dans la discussion des observations, et nous devons d'entrée nous occuper de fixer d'une manière précise sa signification réelle et de rechercher sa forme.

4. Nous rappellerons d'abord les principes suivants, que la méthode des moindres carrés emprunte au calcul des probabilités :

I. La probabilité qu'une cause amènera par son action un certain événement £, est représentée par une fraction qui a pour numérateur le nombre des cas dans lesquels cette cause fait naître l'effet E, ou, comme Ton dit, le nombre des cas favorables, et pour dénominateur le nombre des cas possibles.

II. Lorsqu'une cause peut faire naître, par son action, différents événements E', E"... E (°) et seulement ceux-là, si l'on représente par f^ f. . . /"{") le nombre respectif des cas favorables à chacun d'eux, la probabilité que par une seule action de la cause l'événe-

ment E' sera produit , est exprimée par -^en faisant F= f-j-^". . .

+A") > de môme la probabilité que par une seule action de la cause l'un des événements E' ou E" sera produit, est exprimée par

-^+~r ; etc. Et la probabilité que l'un des w événements E', E" r r

. . . E (n) sera produit par une seule action de la cause sera :

c'est-à-dire la certitude, comme cela est évident.