FF

IV. Soient C, C, C . . . plusieurs causes exclusives les unes des autres, mais également probables, qui peuvent faire naître par leur

action un certain événement E ; désignons par ^ la probabilité

de cet événement par l'action de la cause C, par -î— cette probabilité par l'action de la cause C, etc. ; lorsque l'événement E aura été produit, la probabilité qu'il est dû à la cause C sera à la

probabilité qu'il est dû à la cause C dans le rapport de %- à4r.

(Voir la note A pour la démonstration de ces principes.)

5. Supposons maintenant que nous ayons répété un très-grand nombre de fois une même observation destinée à déterminer directement la valeur d'un élément numérique quelconque. Remarquons d'abord que le nombre des erreurs différentes que nous avons pu commettre, quoique très-considérable, n'est pas infini. En effet, les limites de nos perceptions dans tous les genres d'observations, môme lorsque nous employons des instruments qui amplifient la puissance de nos sens, mettent nécessairement un intervalle dans la succession des résultats numériques de nos expériences ; cet intervalle peut s'amoindrir à l'aide de moyens plus parfaits, d'instruments plus puissants, mais il existe toujours; nous pouvons mesurer une longueur à un dixième, un centième, un millième, etc. de millimètre près, nous pouvons dans la mesure d'un angle tenir compte d'un dixième, d'un centième, etc. de seconde , mais il y a toujours un terme au delà duquel nous ne pouvons aller, une limite qui interrompt la continuité entre les deux résultats les plus voisins auxquels nous pouvons parvenir.

Nous nommerons i ce petit intervalle qui sépare les résultats successifs de nos observations. Nous désignerons par n le nombre qui exprime combien cet intervalle i est contenu de fois dans l'erreur extrême g^ en sorte que g— ni. Le nombre total des erreurs différentes que pourront présenter nos observations sera donc égal à 2» savoir n erreurs positives et n erreurs négatives , et le nombre total des résultats différents, en comprenant le cas d'une erreur nulle^ sera 2n+l .

Appelons m le nombre total de nos observations ; nous supposons ce nombre assez grand pour que toutes les erreurs possibles aient été produites et chacune d'elles un nombre de fois proportionnel à sa facilité à se produire.

Désignons par f (f*i) le nombre qui exprime combien de fois sur nos m observations s'est produite l'erreur ^i ; d'après ce que nous avons dit f* est un nombre entier et par une erreur égale à ^t nous entendons une erreur comprise entre (fx— 7) i et (fA+î) «.

Par le premier principe (4. 1) la probabilité que l'une quelconque de nos observations prise arbitrairement soit affectée d'une erreur \d étant représentée par P nous aurons :

Si nous désignons par M la valeur moyenne de f (ni), comme le

nombre de ces fonctions en y comprenant f{o) est égal à 2n+i

nous aurons :

D'un autre côté l'espace total du champ dans lequel sont comprises les erreurs depuis — (g+i i) jusqu'à -Hfl'+îi) est égal à

ou simplement en négligeant i comme insensible à l'égard de ^g

2flf={2w+l)i Si nous remplaçons dans l'expression de m le nombre {2w-h 1 ) par sa valeur tirée de cette dernière équation, il vient :

et en reportant cette valeur dans l'équation (i ) on a :

f (ai)

Mais le facteur ^ mr est une fonction de l'erreur td et de con-

stantes ; faisons p.i=\ et représentons cette fonction par cp (A) nous

aurons:

Telle est l'expression de la probabilité qu'une observation prise au hasard soit affectée de l'erreur a. Observons à l'égard de la fonction <p(A) que comme <p(A).t doit représenter un nombre abstrait, il aurait semblé plus rationnel d'introduire dans le calcul la fonction inverse de <p (a) et de prcscnlcr P sous la forme :

P=__----- en faisant ^b (A)= -— ,

^(A) cp(A)

parce qu'alors yh (a) aurait désigné une quantité concrète de môme espèce que i, c'est-à-dire de môme espèce que celle dont l'observation a pour but de déterminer la valeur. Mais au fond cela a peu d'importance, il suffit d'en faire la remarque et de se rap-

peler que c'est — -- qui présentera ce caractère. 1

6. D'après la remarque qui termine le second principe (4. II), si l'on fait la somme des probabilités de toutes les erreurs possibles, savoir :

f (—9) i+? i—gt-i) î+ . . . . +(p (t) i+f (0) i+^ (i). e4. . . . +^ (g) % cette somme exprimera la probabilité qu'une erreur déterminée quelconque soit comprise entre —g et +g ; or cette probabilité équivaut à la certitude, puisque toutes les erreurs possibles sont comprises dans cet intervalle. On a donc

7. La fonction (^ (^) appartient à la classe des fonctions discontinues et si l'on construisait le lieu géométrique formé par la succession des points dont les abcisses seraient les différentes valeurs de A croissantes par intervalles égaux à i et dont les ordonnées seraient les valeurs correspondantes de y (a), ce lieu géométrique formerait une suite de points isolés, tous placés au-dessus de l'axe des abcisses et d'une manière symétrique à l'égard de l'axe des ordonnées ; les points extrêmes seraient placés sur l'axe même des abcisses à une distance de l'origine égale à ±.g.

Or si l'on remarque que plus les observations deviennent parfaites plus aussi l'intervalle i devient petit et plus les points successifs tendent à se rapprocher et à former une courbe continue, on est en droit de conclure que l'on peut considérer la continuité de la fonction <p(A) au moins comme une approximation, et comme une approximation d'autant plus étroite, que les observations seront plus parfaites et en plus grand nombre. Sous cette hypothèse l'intervalle i devient la différentielle d A et le signe s de

l'équation (3) devient le signe intégral / ; on a donc

8. En outre, si nous considérons en elles-mêmes les limites +g et —g des erreurs extrêmes , nous reconnaîtrons que ces limites ne sont jamais tranchées d'une manière précise et qu'elles conservent dans chaque nature d'observations un caractère de vague et dans une certaine mesure de l'indétermination. D'un autre côté, en attribuant à la fonction ^ (\) le caractère de la continuité, nous nous sommes privés de la possibilité de la rendre nulle à la fois pour ^=dzg et pour toutes les valeurs supérieures à celles-là. Ce double inconvénient sera levé si, en continuant à considérer <p (a) comme une quantité continue, nous attribuons à cette fonction une forme telle qu'elle ait pour ^=±ig une valeur très-petite et au delà un décroissement extrêmement rapide , bien que ce décroissement ne la rende nulle que pour une valeur infinie de i. On pourra alors remplacer l'équation précédente par

(A).rfA = 1 (4)

-oc

En résolvant ainsi la difficulté, il ne pourra y avoir aucun inconvénient, puisque par la nature de <p (a) l'intégrale

Aoo

sera tout à fait insensible et négligeable et il y a ce nouvel avantage que les limites extrêmes -i-g et — g avec leur caractère d'indétermination disparaissent entièrement de l'intégrale et par conséquent de l'expression de <p(A) dont l'équation (4) a pour but de fixer l'une des constantes.

9. Nous devons maintenant chercher à déterminer la forme de la fonction <p(A). Dans ce but nous la considérerons d'abord dans sa nature réelle , c'est-à-dire comme une fonction discontinue exprimant la fréquence relative d'une erreur a.

Supposons que dans une série de w observations destinées à faire connaître la valeur de n inconnues a?, y, z . . ., w étant plus petit que m, les erreurs inconnues qui affectent chacun des m résultats soient représentées individuellement par a', a", ... a (") , et désignons comme plus haut par t l'intervalle que la limite de nos perceptions impose à la succession des résultats numériques auxquels nos observations nous conduisent.

La probabilité que l'erreur a' affecte Tobservation dans laquelle elle s'est manifestée est représentée, comme nous l'avons vu (2), par

De môme la probabilité que l'erreur a" affecte l'observation où elle a eu lieu est :

Et en raisonnant de même sur chaque observation , nous obtiendrons une forme analogue pour la probabilité de chaque erreur spéciale. Par conséquent la probabilité que l'ensemble de nos observations ait amené le système des erreurs réellement obtenues sera la probabilité composée relative à la simultanéité de toutes ces erreurs ; elle sera par conséquent (4. III) égale au produit de toutes ces probabilités simples. En la désignant par W nous aurons :

en désignant par F le facteur de i™.

D'après le 4°*« principe (4. IV) le système le plus plausible sera celui qui donnera à W la plus grande valeur possible. Or i est constant, il faudra donc pour atteindre le but déterminer la valeur des inconnues x, î/, r . . . et par suite celle des erreurs a', a" . . A^'»^ de manière à rendre P maximum. Or l'on a :

Et comme les variables indépendantes sont x,y, z . . , l'équation du maximum , savoir :

dP=o ou ce qui revient au même — . cfP=o

se décomposera dans les équations suivantes :

1 dP i dP i dP

— . -— =o; -^ -r- =o; ,. =0 ; etc.

P dx P dy P dz

Si nous développons ces équations en restituant à y (a) son caractère de fonction continue comme constituant une approximation suffisante et en posant en général :

ellef^ deviendront :

di' . , , ,,. d\" , , .,«, d^

dx dx dx

,'(y)^^.^'(A'')4^-|.cp'(A-)-^ + ...=o etc.

dy ^ "^ dy ' "^ dy '

Ces équations qui sont en nombre égal à celui des inconnues et qui doivent servir à déterminer leur valeur la plus plausible ne peuvent être utilisées dans ce but qu'à la condition que la valeur de y' (à) sera connue.

10. Pour cela supposons que nos observations aient pour but de déterminer une seule inconnue^?; nous n'aurons alors à considérer que la première des équations (7). Supposons en outre que ces observations consistent dans la mesure directe et immédiate de cette quantité, et nous aient donné pour valeurs de cet élément les nombres : M', M", W'^h Les équations que nous aurons à considérer seront immédiatement :

et après les avoir corrigées des erreurs des observations : ^'—x—M!; ^''=3D—W; a^"' =a?— M^»")

On tire de là -~ — =1 ; -3 — = 1 ; ... . — ^, — =1. Parcon-

dx dx dx

séquent la première des équations (7) devient :

D'un autre côté le premier principe du g 3 sur la fréquence égale des erreurs positives et des erreurs négatives nous impose l'obligation de rendre nulle la somme algébrique de toutes les erreurs. Par conséquent :

Comme nous n^avons qu'une seule inconnue à déterminer, les deux équations (7) et (8), vraies l'une et l'autre et destinées toutes deux à déterminer la même inconnue au moyen des mômes données, doivent]étre, à un facteur près, identiques. Si par conséquent nous désignons par C le facteur constant par lequel on doit multiplier la seconde pour l'identifier à la première, nous aurons en

ou d'après l'éq. (0)

Cette dernière équation donne en intégrant :

tCa*

v(A)=C'ef

en désignant par C la constante.

Puisque la fréquence des erreurs doit diminuer avec leur valeur absolue, la constante { C doit -être négative; représentons-la par •—A* nous aurons :

Pour déterminer C nous substituons cette valeur dans l'équation (4) et nous en tirons (voir la note B) :

donc enfin :

f e rfA

h — ft'A"

Cette expression explicite et complète de la fréquence relative des erreurs d'après leur valeur absolue a été donnée pour la première fois par Gauss en 1809 dans son ouvrage intitulé : Theoria mottis corporum cœlestium. Quoique nous y soyons parvenus par l'examen d'un cas spécial , nous ne pouvons pas mettre en doute sa généralité. Quelque idée en effet que nous puissions nous faire sur la nature des causes physiques ou physiologiques qui altèrent le résultat de nos expériences, l'ensemble de ces causes doit produire des effets analogues dans toutes les espèces d'observations. Les faits d'ailleurs sont venus prouver, de la manière la plus remarquable, la justesse et la généralité de cette forme de la fonction ;p(A); nous aurons plus tard plusieurs occasions de signaler ce curieux contrôle.

il . Il est facile de voir que la valeur de x qui résulte de l'équation (8), que nous avons prise pour base de notre détermination, est la moyenne arithmétique de toutes les valeurs observées.

En effet, en remplaçant dans cette équation a', a" . . . a^"*) par leurs valeurs x — M', x — M", on obtient :

o=mx—W-W—W -]»(•") d'où

Or tous les observateurs admettent comme un principe incontestable que la moyenne arithmétique, entre plusieurs mesures également précises d'un môme élément numérique, représente la valeur la plus plausible de cet élément ; aussi aurions-nous pu appuyer sur ce principe la démonstration développée dans le n* précédent, en en déduisant l'équation (8) comme conséquence. La marche que nous avons suivie, et qui est au fond la môme, nous a paru cependant plus rationnelle et plus simple dans sa forme.