CHAPITRE n

De la méthiNle des moindres carrés.

12. La méthode des moindres carrés a pour but d'indiquer la marche à suivre pour résoudre de la manière la plus plausible un système de m équations pour en déduire la valeur de n inconnues, m étant plus grand que n. Les m équations sont déduites d'observations affectées d'erreurs inconnues et ne sont qu'approximativement vraies ; elles doivent donc ôtre préalablement corrigées de manière à ce que chacune d'elles devienne compatible avec Tensemble de toutes les autres.

Pour que les calculs que nécessite cette méthode no soient pas trop onéreux, il est important et il est toujours facile de faire en sorte que les équations à résoudre soient du premier degré à l'égard des inconnues que l'on veut déterminer. Cela aura lieu immédiatement si les équations qui lient les éléments à déterminer aux valeurs observées , satisfont elles-mêmes à cette condition. Dans le cas contraire, il faudra transformer ces équations en v présentant chaque inconnue sous une forme nouvelle. On rem-

placera x, par exemple, par une valeur approchée $ de cette inconnue, augmentée d'une correction x, assez petite pour que l'on puisse négliger comme insensibles son carré et ses puissances supérieures ; de cette manière une fonction quelconque f(x) de cette inconnue se remplacera dans l'équation par f(i)+x, f (S) ; on aura fait ainsi disparaître la fonction non linéaire de l'inconnue a?5 et la nouvelle inconnue x, n'entrera dans l'équation qu'au premier degré. Si en achevant le calcul on trouvait pour x une valeur trop considérable pour que son carré puisse être considéré comme insensible, il faudrait recommencer l'opération en prenant pour Ç la valeur corrigée de a?, à laquelle on aurait été conduit.

13. Nous supposerons donc que les équations à résoudre sont du premier degré à l'égard des inconnues et qu'en introduisant dans les équations de condition les valeurs observées, on soit conduit au système suivant :

o=aa?-f-6y -hcz-f-. . . .-|-A:.

o=a'x+b'y -^c'z-h -j-if (10)

o=:a''x+b''y-^cfz+ -j-r

Ces équations au nombre de m et renfermant seulement n \n~ connues doivent (pour être rendues exactes et compatibles entre elles) être corrigées des erreurs des observations. Nous désignerons

ces erreurs par a, a', a" et le système à résoudre deviendra

après cette correction :

^ =sax +by +cz -f- . . . . +k.

A' =a'a?-|-ft'y+(J'z-|- -j-*' (11)

^'=a''x-\'l/'y+crz-\^^ ....+*"

Ce système doit être résolu de manière à donner aux inconnues

X*, y, z , , . . et par conséquent aux erreurs A, a', a" qui en

dépendent des valeurs telles qu'elles rendent maximum la probabilité de la simultanéité de toutes ces erreurs.

Or d'après ce que nous avons vu au chapitre précédent, cette probabilité donnée par l'équation (5) est :

OU bien en remplaçant y» (a) par sa valeur trouvée (9) :

„, . , .in, -fe'(A«-HA''+A--H...) ....

Et les seules variables étant A, a', a" .... cette quantité deviendra maximum lorsqu'on donnera à a?, y, z ... des valeurs qui rendront minimum le facteur variable de l'exposant négatif, c'està-dire la somme des carrés des erreurs, ou :

Cette condition fournira autant d'équations qu'il y a d'éléments à déterminer. En effet, E est une fonction des variables a?, y, z... et la condition du minimum donnera les équations suivantes :

dE dÈ dE ^ ^^ dx " ' dy ~ ^ dz ^

ou bien

dA . dùL m d^"

dx dx ax

^ rfA ^ ^, d\' , ^, d\'

dy dy dy

dz dz dz

ou enfin :

b{ax^hy^Z'\: .^k)\b\a'x\Vy-{c'z\, .■W)W{a''xWy^..^V)-\: .=o (i 4)

14. Si l'on convient de représenter les sommes des carrés et des produits des coefficients numériques par la notation suivante :

[&«]=6« +ft'«+ft"«+ .... [ac]=ac+aV+a"c". . . . (15)

(c*j=:c» +c'«-i-c**+ [&c]=6c+6'c'+&"c" etc.

les équations (14) pourront s'écrire de la manière suivante:

(a*]a?+[a%+[ac]z-H -H[aA:]=o

[a&]H-lHy+N^+- • • .+[&*]=o (16)

[ac]aH-[k]y+[c"]z+ H-[cA:]=o

Et ces équations, dont le nombre est égal à celui des inconnues, donneront pour chacune d'elles la valeur la plus probable que Ton puisse déduire des observations.

15. Avant d'indiquer la manière la pins commode et la plus sûre de parvenir à ces équations et de les résoudre, en se garantissant des erreurs de calcul que Ton doit craindre dans une suite d'opérations qui peut, dans quelques cas, être longue et onéreuse, nous devons présenter sur la fonction y (a) quelques remarques qui nous permettront de juger du degré de confiance que mériteront les valeurs trouvées pour les inconnues. Nous ferons seulement observer que les valeurs des inconnues, et par conséquent celles des erreurs des observations, ne seront jamais déterminées qu'approximativement. Nous ne pourrons d'ailleurs admettre pour ces valeurs que celles que nous donnera le calcul. Nous serons donc forcément contraints de considérer les erreurs calculées conmie étant les vraies erreurs , et les déterminations auxquelles nous aurons été conduits par la méthode précédente, comme représentant pour nous la vérité. Mais nous n'oublierons pas que ce n'est la vérité absolue que dans la mesure dans laquelle il nous est donné de l'atteindre. C'est sous la réserve de cette remarque, réserve dont nous aurons l'occasion de mesurer l'étendue, que devront nécessairement se placer les résultats auxquels nous serons conduits.