CHAPITRE m

De lu mesure de l'exaetitade des olMienratkiiis et de l'erreur p r e lmM e dont «out affeetés les réeultets qui s'en déduisent.

16. D'après ce que nous avons vu dans le premier chapitre, la probabilité d'une erreur A est donnée par la formule :

f (A) dA =-^ e -^•^'rfA

et la probabilité qu'une erreur est comprise entre « et 6 en supposant b>a est :

rfA

Cette expression représente aussi le nombre relatif des erreurs

comprises entre a et 6 dans un grand nombre d'observations, en sorte que sur w observations il y en aura un nomi)re représenté par :

ml — d^

qui seront comprises entre a et &.

En particulier la probabilité P qu'une erreur quelconque ne surpasse pas en valeur absolue un nombre donné a sera exprimée par:

— a ^ TT

L'intégrale peut être mise sous une forme différente ; en effet, on sait que si f(x)=f(—x) on a :

/+« fa

J f(x)dx=2 J f(x)dx donc:

P=/Jiîl^ — d^. (17)

Cette formule exprime la probabilité qu'une erreur, prise au hasard parmi toutes les erreurs d'une série d'observations, ne surpasse pas a en grandeur absolue ; en sorte qu'il y a à parier P^ contre 1— P^ qu'une erreur quelconque est inférieure à a; en

d'autres termes parmi m observations il y en a mP dont l'erreur

ne surpasse pas a et m(i— P ) dont l'erreur surpasse a,

17. On donne à cette intégrale une forme plus simple et plus commode pour le calcul en posant Aa=^; elle devient alors en observant que la limite de t est ah :

Cette intégrale ne renfermant que des quantités abstraites, on a pu dresser une table de ses valeurs en prenant la limite ah pour

argument. Nous donnons cette table à la fin du volume avec une étendue suffisante pour les applications que l'on peut en faire. Elle donne les différentes valeurs de l'intégrale :

on a donc P , en prenant pour argument i^ah.

Cette table montre comment se répartissent les erreurs dont est affectée une série d'observations ; on voit par exemple que, puisque pour r=aft=0,5 on a P^ =0,52050 il y a à parier 5205 contre

4795, c'est-à-dire plus de un contre un que l'erreur dont est

affectée une observation prise au hasard est moindre que -^sr

en d'autres termes le nombre des erreurs plus petites que

est plus grand que le nombre des erreurs supérieures à ^r- dans

le rapport de 5205 à 4795. Cette table pourra donc nous servir à vérifier par les faits les résultats de l'analyse et à contrôler la justesse de la loi des erreurs à laquelle nous avons été conduits ; mais nous devons auparavant chercher à fixer la signification précise de la constante ft, et à obtenir sa valeur au moyen des résultats de l'observation.

18. Parmi toutes les erreurs possibles que peut présenter une série d'observations, il y en a quelques-unes qui méritent une attention spéciale. L'une des plus importantes est celle que l'on nomme Xerreur probable ; c'est Terreur qui dans l'ensemble de toutes est placée de manière que le nombre de celles qui la surpassent est égal au nombre de celles qui lui sont inférieures, en sorte qu'il y a un contre un à parier que l'erreur d'une observation isolée, prise au hasard, ne la surpasse pas. Si l'on désigne par e la valeur absolue de cette erreur, on trouvera cette valeur on résolvant par rapport à a l'équation (18) dans laquelle on fera In premier membre égal à ^.

On aura alors :

' J V^" dl

Si l'on désigne par p la valeur de la limite th de l'intégrale qui vérifie cette équation, on trouve par la table en interpolant :

et Ton a en même temps :

On voit par là que la connaissance de h est nécessaire pour déterminer Terreur probable £. D'ailleurs cette erreur pobable peut servir de mesure à l'incertitude de la détermination, en sorte que si A est la valeur de x que donne le calcul , on peut exprimer symboliquement ce résultat et l'incertitude dont il est affecté en écrivant :

19. La valeur trouvée pour t équation (20) montre que h peut être considéré comme une expression de la mesure de la précision des observations. En effet si, dans une série d'expériences, h a une certaine valeur, et si dans une autre série d'expériences analogues, h a une valeur double de la première, Terreur probable dans la seconde série aura une valeur moitié moindre que dans la première et par conséquent la précision de cette seconde série sera double de celle de la première. Et ce que nous disons de Terreur probable, est vrai à l'égard d'une erreur quelconque. Supposons en effet que deux séries d'observations comportent pour h les valeurs particulières K et h". La probabilité que Terreur d'une observation isolée de la première série ne surpasse pas a' est donnée par l'équation :

a' h' 2 e-'Vt

De même la probabilité qu'une observation isolée, prise au ha-

sard parmi celles de la seconde série n'est pas affectée d'une erreur supérieure à a" est donnée par l'équation :

od'h''

e ^ dt

Or ces deux probabilités seront égales si l'on a :

a' A'=a" r ou bien a! : a"=h'' :h\

Donc les valeurs absolues a' et a" des erreurs également probables dans les deux séries sont inversement proportionnelles aux valeurs de h' et de ft" ; en sorte que si h" était double de h\ a" serait moitié moindre que a' ; ce qui veut dire qu'une erreur double dans la première série a été aussi facilement commise et se rencontre aussi fréquemment qu'une erreur simple dans la seconde : donc la seconde série a un degré de précision deux fois aussi grand que la première. On voit donc que la constante h mesure le degré de précision des observations,

20. L'importance que ce résultat attache à la constante h fait que l'on doit rechercher- toutes les manières possibles de déterminer sa valeur. Observons que l'on obtiendrait facilement cette valeur si l'on connaissait le rapport des probabilités de deux erreurs déterminées A et A' par exemple. En effet, comme ce rapport a pour expression :

*^^^A« ^S : JLe-^'^''i ou bien i : e"^' (^'*-^')

si l'on en avait la valeur numérique, on déterminerait très-facilement h.

Si l'une des deux erreurs déterminées, dont le rapport de probabilité est connu, était une erreur nulle, comme cela a lieu le plus souvent lorsqu'on a recours à cette voie, ce rapport aurait pour expression :

On voit par là que : si dam une série d'observations, la probabilité d'une erreur nulle est à la probabilité d'une erreur à comme I : e ~^^^ on doit en conclure que la mesure du degré de précision de cette série, c'est-à-dire la quantité h, a pour valeur y/p.

21. Pour montrer une application de ce principe nous nous en servirons pour rechercher quelle est l'influence du nombre des observations sur la précision du résultat. Supposons qu'une série de m observations immédiates destinées à donner la valeur d'une inconnue x ait présenté les erreurs a', a" . . . . ^(^K Nous avons vu que cette inconnue se déterminera de la manière la plus plausible en rendant maximum la valeur de la probabilité de la simultanéité de toutes les erreurs. Cette probabilité est (12):

Désignons par a?=A la valeur trouvée en satisfaisant à cette condition et nommons (s,)* la valeur moyenne du earré des erreurs, c'est-à-dire posons :

m Nous pourrons écrire Tequation (12) sous la forme :

Supposons maintenant que nous donnions à x une valeur différente de A par exemple A-j-A ; la probabilité de cette nouvelle détermination sera :

W'=t» ftm ^-î*'* e-^* { (A'-A)t+(A''-A)i+. . . .+(A(n.)-A)»|

Si nous développons le facteur de ft* dans l'exposant de e nous obtenons :

en observant que la somme des erreurs est nulle et que la somme de leurs carrés est égale comme nous venons de le voir à m (g»)* ; donc :

Or W est la probabilité de a;= A ou d'une erreur nulle, tandis que W est la probabilité de a?=A-|-A ou d'une erreur A, et comme l'on déduit des valeurs précédentes :

ou bien :

on en conclut que, d'après les m observations , la probabilité d'une erreur nulle est à la probabilité d'une erreur a comme i : e""^^ . Or, dans une observation isolée, la probabilité d'une erreur nulle est à la probabilité d'une erreur a comme

-7=- * ''—j-zfT'^^^i ou comme 1 : e"*^*^*. Par conséquent d'a-

près le principe , la précision d'une observation isolée étant A, celle du résultat déduit de m observations sera Av^m.

Donc : te degré de précision dont jouit le résultat d'une série d'observations croît comme la racine carrée du nombre des observations dont elle se compose,

22. Il arrive quelquefois que l'on est appelé à faire entrer dans un môme calcul plusieurs observations qui ne sont pas également précises. On y parvient en tenant compte de ce que l'on nomme leur poids relatif. Dans ce but on convient de considérer la précision de l'une des observations comme assignant à cette observation l'unité de poids, et l'on représente le poids de chacune des autres, par les nombres qui expriment combien il faudrait combiner d'observations aussi exactes que la première, pour que leur moyenne donne des résultats respectivement aussi précis que chacune d'elles. On voit par là, et par le principe du w<> précédent, que la précision d'une observation est proportionnelle à la racine carrée de son poids, ou bien que : son poids est proportionnel au carré de son degré de précision.

Si, par exemple, une observation est deux fois aussi précise qu'une autre, son poids sera quatre fois aussi grand.

Lorsqu'une observation dont le poids est égal à f* a donné une équation de condition de la forme :

etjqu'elle doit être combinée avec des observations dont le poids est égal à l'unité, on remplace l'équation précédente par :

et Ton parvient au mène résultat que si Ton avait suivi la marche plus longue et qui pourrait sembler plus naturelle de faire entrer dans le calcul y. équations identiques à la première.

23. Nous allons maintenant chercher à déduire la valeur de h du résultat des observations. Pour cela, en généralisant la notation que nous avons introduite au n« 20, nous désignerons par So la racine »"»« de la moyenne des n"»" puissances des erreurs, en sorte qu'en posant :

nous aurons

Pour déterminer la valeur de £„ nous observons que (soY est la valeur moyenne des n"" puissances de toutes les erreurs. Or, cette moyenne est égale à la somme des produits des w™" puissances de chacune des erreurs multipliées par leurs probabilités respectives. On aura donc :

+00 V ic

Faisons ftA=<, les limites de t seront aussi dtoo et l'équation précédente deviendra :

(^"^"'^n-W-^' ^''dte-^^ (22)

Il est facile de voir que si n est un nombre impair, cette intégrale est nulle ; dans ce cas en effet on obtient très-facilement l'intégrale indéfinie du second membre et sa valeur étant nulle aux deux limites, l'intégrale définie est nulle aussi. Si au contraire n est un nombre pair, cette intégrale par une transformation semblable à celle du u° 15 peut être mise sous la forme :

^''^^^¥vJo '' ^' '"' *^''

Lorsque n est impair, Tintégraie indéfinie est nulle comme nous venons de le voir; on peut facilement reconnaître que ce résultat analytique tient à ce que, dans la moyenne des »*»«» puissances des erreurs, les puissances des erreurs négatives sont détruites, en raison de leur opposition de signe, par les puissances des erreurs positives. Or il y a quelque avantage à déterminer la moyenne des puissances d'ordre impair, en considérant les erreurs dans leur valeur absolue sans égard à leur signe, ou en les considérant toutes comme positives ; on y parvient en employant dans ce but la formule (23) étendue en cas de n impair.

24. Si nous intégrons la formule précédente par les méthodes connues, nous trouvons (note B) :

si n est impair (£..)°— ^ , .1.2.3... ^^^^^

hW^ \ 2 y

si n est pair (^.)^=4- • ill - ^

Si Ton prend la racine w°»« de ces équations on trouve pour n impair i^= — w \ 1.2.3... ^^— ^

pournpair .„=^y' j^.-| "-^

En employant alternativement ces deux formules on obtient ainsi :

V/ir 1/ 2.2.2