Dans ce but considérons l'équation (12) n<» 13 savoir
Cette expression de la probabilité des erreurs doit être rendue la plus grande possible, et c'est cette condition qui nous a conduits aux équations qui fixent la valeur des inconnues. La résolution de ces équations permet ensuite d'évaluer les erreurs A', a" .... Si nous représentons comme plus haut par (e,)* la moyenne de leurs carrés, nous pourrons écrire l'équation (12) sous la forme :
Or dans cette équation tout est connu sauf W et A, et si nous voulons en déduire la valeur de cette dernière constante, nous
devons choisir celle qui donne à W la plus grande valeur. Nous devons donc poser :
-^]5L=o ou 0=1— 2At(£,)i d'où fc=— ^ an cjVT
Ce résultat montre que la valeur de h la plus probable est celle que Ton tire de la moyenne du carré des erreurs. Désignons cette valeur par H et proposons-nous de calculer son erreur probable. Pour cela comparons la probabilité W que la valeur de h soit égale à H, à la probabilité W que cette valeur soit H-j-A.
Nous aurons :
1X7/ m/TT . .\« — TWl mt' (H-|-A)'
ou en remplaçant tl par sa valeur -^^ :
W'=t°»(H+A)"»ir""?*^^T (^+h)' Observons que l'on a :
(H+A)»==H«(14-^)"==H«e™»«?(*+H)=H"^"V H— 2HÎ"*"3i^ * '^ donc:
ou:
Donc:
W:W'=t"H"ir-2"'e-'?:i'»H"»K-2'"^"""(2+Hi gF» 4H* 5H8-^ ou:
mA« A , ^j^ ^5
Le dernier terme de cette proportion en raison de la grande valeur de m ne pourra devenir sensible que si j- est très-petit et
dans ce cas la série très-convergente qui forme le second facteur de l'exposant do e se réduit à son premier terme ; la proportion devient donc :
W : W' = 1 : e "~ "ni"
Par conséquent dans la détermination fe=H, la probabilité d'une erreur nulle est à la probabilité d'une erreur A (W : W) comme
1 est à e u« ; donc d'après le principe du n° 20 la mesure du degré de précision de cette détermination est égale à —11; en
sorte que l'erreur probable de H est égale à -^— d'après l'équa-
tion (20). On a donc :
ou: *=~7^(^-^"-T^) (26)
ce qui doit s'entendre dans ce sens : 1° que la valeur la plus pro-
bable de h est — -::;: et 2° qu'il y a wn contre un à parier que la
valeur exacte est comprise entre :
* (l^ et —{i-^--^
Si l'on reporte cette valeur de h dans l'expression de Terreur probable donnée par l'équation (20), on trouve que cette erreur probable a pour valeur :
s = —^ ou, en négligeant les puissances de -y= supé-
riéures à la première :
£ =3 pc.v/ 2 (1 + -?^ ) == 0,6744897 e, (i + ^'^'^^^^^^ ) (27)
27. L'importance qui résulte de cette analyse pour l'erreur cj lui a mérité une attention particulière. Gauss la nomme Yerreur moyenne à craindre ou Yerreur moyenne. Nous rappelons que c'est
la racine carrée de la moyenne des carrés des erreurs. Sa valeur se déduit, par un calcul relativement peu onéreux, du résultat final auquel la méthode conduit et de quanlilés auxiliaires dont elle exige la détermination.
Les géomètres français nomment c Verreur moyenne; c'est une locution qui devrait être écartée, afin de ne pas introduire de confusion ; la véritable erreur moyenne est la moyenne arithmétique de toutes les erreurs considérées avec leur valeur absolue, en faisant abstraction de leur signe; c'est cette moyenne que nous avons désignée par c, dans les n°» 23 et 24. Nous adopterons pour éviter toute méprise les dénominations suivantes :
€ erreur probable.
€i moyenne des erreurs.
£« erreur moyenne à craindre.
28. Nous devons présenter ici une observation qui a quelque importance. La détermination de h et par suite celle de g ont pour but de nous éclairer sur Tincertitude du résultat que nous déduisons de nos expériences. Mais la valeur de h se déduit de celle de Bt (n« 26), et celle-ci à son tour s'obtient au moyen des erreurs qu(» l'on calcule en remplaçant dans les équations de condition, les inconnues qu'elles renferment parles valeurs trouvées. Les valeurs des inconnues, obtenues en rendant minimum la somme des carrés des erreurs, sont bien pour nous les plus probables, mais elles ne sont pas la vérité absolue. Or tout changement que l'on fera subir à la valeur des inconnues rendra plus grande la somme des carrés des erreurs calculées, par conséquent augmentera la valeur de 6, et diminuera la valeur de h. Supposons qu'il n'y ait qu'une seule inconnue .r et que le calcul nous ait donné pour sa valeur :
et admettons que la vraie valeur soit :
Toutes nos erreurs calculées se trouveront altérées de o et la vraie somme des carrés des erreurs w(6t)' au lieu d'être
sera :
mais CD a : I (a') = ; donc la somme précédente se réduit à : l(l'*y\-inS* ; en sorte que n doit être déduit de Inéquation :
Mais quelle valeur conyient-il d'attribuer à ^? Observons que c^est Terreur commise sur la détermination x=k et que cette détermination a un poids égal à m et une précision relative égale à •~. Or si nous voulions tenir compte d'une observation isolée nouvelle, sans que nous soyons renseignés sur Terreur dont elle est affectée, nous prendrions comme valeur la plus probable du carré de cette erreur la valeurmoyenne ct*. Hais la valeur A trouvée pour a?, a un poids représenté par m ; Terreur dont cette valeur est affectée doit être plus petite que Terreur de Tobservation isolée dont nous parlions, dans le rapport do v/;r à i , nous devons donc
prendre «î= — - — ou S^ — * ou m<î*=ct'; Téquation précédente devient donc : %
wc;=:=2(A' •)+€,' d'où:
On voit par là que, pour trouver la vraie valeur de Verreur moyenne à craindre dans une série de m observations destinées à faire connaître la valeur d'une inconnue , l'on doit considérer la somme des carrés des erreurs calculées comme appartenant non à m, mais à m — 1 observations.
M. Engke, outre la démonstration précédente, donne de ce précepte une raison métaphysique qu'il est utile de connaître, parce qu'elle montre la convenance et le moyen de le généraliser pour le cas de plusieurs inconnues. Lorsque fi inconnues sont assujetties à satisfaire à ^ équations approximatives indépendantes les unes des autres, les inconnues sont toutes déterminées et il est absolument impossible d'avoir la moindre donnée sur les erreurs qui ont pu avoir lieu. Si le nombre des équations est m et que Ton ait m>jii, Ton pourra, après avoir consacré ^i de ces équations à
la détermination des inconnues, évaluer au moyen des m—fi autres équations un pareil nombre d'erreurs qui jetteront quelque jour sur Texactilude du résultat. Mais comme on ne peut pas, parmi toutes les équations, faire un choix rationnel de fx d'entre elles pour les considérer comme l'expression de la vérité absolue, on est conduit à disposer le calcul de manière à les faire toutes^ sans exception, concourir à la détermination ; mais on ne se soustrait pas par là, à la nécessité analytique cle consacrer^x équations tirées de l'ensemble de toutes, à l'évaluation des inconnues. Par conséquent, les fonctions des erreurs qui surgiront du calcul, ne se rapporteront pas à m, mais à m—fx erreurs. Dans le cas spécial, examiné plus haut, il n'y a qu'une inconnue etw— /ji devient»! — i.
