CHAPITRE IV
Tériflcatlon par l'expérience, de 1» loi des erreurs»
29. On peut contrôler de plusieurs manières, par les faits observés, la loi exprimée par l'équation (9). Nous présenterons dans ce chapitre quelques exemples de cette vérification.
L'équation (18) n^ il indique le nombre relatif d'erreurs inférieures à a, si l'on intègre le second membre jusqu'à la limite ah. Il en résulte que, lorsque A est connue, on peut, au moyen de la table que nous donnons, calculer le nombre relatif des erreurs inférieures à a, à 2a, à 3a, etc. et par soustraction, le nombre des erreurs comprises entre et a, entre a et 2a, entre 2a et 3a, et ainsi de suite. On peut ensuite comparer le résultat théorique, déduit ainsi de la loi des erreurs, avec les faits tels que l'observation les a créés.
On trouve quelques exemples de ce calcul dans les Fundamenta astronomiœ de Bessel, page 19 et 20. En calculant 300 observations de déclinaisons des étoiles Aldébaran^ Bételgueux, Sirius, Procyon, Arcturus et Altatr par Bradley, il a trouvé pour valeur de c=0",98. Il en résulte ft==0,48667 et en faisant a=0",4 on trouve aA— 0,194608. En prenant ce dernier nombre et ses mul-
tiples comme arguments, et en déterminant par la table les valeurs correspondantes de Va on trouve que la fréquence relative ou la
probabilité d'une erreur
moindre que 0»,4 = 0,217
(r,8 = 0,419 i%i = 0,591 Vfi = 0,729 2",0 = 0,831 *',4 = 0,901 2^8 = 0,946 y,2 = 0,972 3^fi = 0,987 , , 4^0 =:= 0,994
plus grande que 4',0 = 0,006
Il en résulte que la fréquence relative ou la probabilité d'une erreur comprise entre 0^,0 et 0^,4 = 0,217
plus grande que A%6 » — 0,006
si Ton multiplie ces différents résultats par 300, nombre absolu des observations, on obtient la répartition théorique des erreurs telle que rétablit la loi, et en comparant aux faits, cette répartition, Ton trouve le tableau suivant :
Nombre des erreurs
par le calcul
par
l'expérience
entre
(y fi et Qr,\
\\'i » i"fi
\"fi . 2',0
entre
Nombre des erreurs
par le calcul
par l'expérience
•e 2",0 et 2",i
rA » ^,s
3",2 » ar,G
au-dessas de 4',0
Dans un second exemple, développé par Bessel et relatif à 300 observations d'ascensions droites de différentes étoiles comparées entre elles, il trouve :
Nombre dea
erreurs
tre 0»,0
et
. Osl
le calcul
par l'expérience
Enfin dans un troisième exemple, dans lequel il rapporte 470 observations d'ascensions droites de Sirius et de Altaïr, comparés au soleil, il trouve :
Nombre des
[ erreurs
par le calcul
par l'obseryation
entre
oso
et
Osl
plus grandes que
L'accord n'esl
ipa
s absolu.
sans
doute, mais
il est assez frappant,
surtout dans ce
dernier tableau où le nombre des observations
était plus considérable, pour inspirer un grand degré de confiance à la loi des erreurs exprimée par Téquation (9).
30. On peut obtenir une autre vérification en calculant la valeur de h par les différentes formes du n° 24 éq. (25). Mais Bessel n'ayant pas donné les valeurs individuelles des erreurs dans les recherches rapportées plus haut/nous choisirons un autre exemple dans ce but. Nous prendrons les observations suivantes du diamètre du grand axe de l'anneau extérieur de Saturne faites au micromètre à double image par le professeur Kaiser à Leyde (Monthly Notices of the Royal Astronomical Society of London, t. XVI, page 147).
Gr. axe ré-
Grand aie ob-
doit à la di$l.
Ecarts de la
No
de Leyde.
servé.
Doyenne.
moyenne.
Mars 10
tt
40',77 moyenne
Sir
on écrit les différentes
erreurs en les rangeant
par ordre de
grandeur et en faisant abstraction de leurs signes , on obtient le
tablean suivant, dans lequel nous avons placé les quatre premières puissances des erreurs, afin de pouvoir calculer la valeur de h par différentes voies.
At»
En divisant toutes ces sommes par 19=^—1, et en prenant les racines, on obtient (n° 28) :
E,=0",1200 €,=0",1463 £3=0%1655 u=ff\iSOS.
En calculant la valeur de A par la formule (26) on trouve :
A=4,8336 (ldbO,10665) ce qui donne pour limites probables 5,3491 et 4,3181 .
Si maintenant nous calculons h par les différentes formes (25) nous trouvons :
On voit que, malgré le petit nombre des observations, ces valeurs présentent un accord très-satisfaisant , la tendance qu'elles présentent vers des valeurs de plus en plus grandes à mesure que Ton prend les ordres plus élevés de «„ finirait plus tard par disparaître.
Si au moyen de la valeur trouvée pour h on calcule la valeur do t par la formule (20) ; ou si, ce qui revient au môme, on emploie l'équation (27) on trouve
€ = 0,09867ih0,0i052
en sorte que l'erreur probable d'une détermination isolée est comprise entre les limites
0",i092 et 0",0882.
Si l'on avait déterminé l'erreur probable directement par l'inspection du tableau des erreurs, on l'aurait trouvée comprise entre 0",103 et 0",107, c'est-à-dire égale à :
résultat qui ne diffère presque pas de celui du calcul.
Si l'on voulait dans cet exemple faire à l'égard de la distribution des erreurs une recherche analogue à celles qui font le sujet du n® précédent, on calculerait la valeur de ah en attribuant à a une valeur déterminée. Faisons par exemple a=0",10 on aura aA=0,48336 et au moyen de la table on trouve pour le nombre relatif des erreurs :
moindres que 0",iO = 0,5058
au-dessus de 0^30 = 0,0403
Il en résulte une fréquence relative
entre 0",00 et 0",10 = 0,5058
au delà de 0",30 = 0,0403
En multipliant ces nombres par 20, nombre des observations, on trouve les résultats suivants en regard desquels nous plaçons ceux que l'observation a fournis :
Nombre des erreurs par le calcul : par l'cxpéricnoe :
comprises entre 0^00 et 0",10 10 9
au delà de 0",30 1
Pour achever la discussion de ces observations, nous pouvons calculer le degré d'incertitude dont est affecté le résultat :
Dans ce but comme l'erreur probable d'une observation isolée
est:
Terreur probable de x dont le poids est égal à 20 sera :
On aura donc :
Ce qui veut dire que la valeur la plus probable qui résulte de ces observations pour le diamètre du grand axe de l'anneau de Saturne est 39"5513 avec une incertitude de 0"5022 qui fait osciller cette détermination entre 39",491 et39",535.
L'accord que nous avons trouvé entre les faits et la théorie dans la discussion de ces dernières observations est sans doute très-loin d^étre absolu. En choisissant une série plus complète, nous serions arrivés à une concordance plus satisfaisante ; mais cet exemple que nous avons pris au hasard, nous a semblé suffisant pour diriger le calculateur dans des recherches analogues, et l'accord entre le calcul et l'observation assez grand, en raison du nombre restreint des observations, pour que nous puissions le considérer comme un argument de nature à appuyer la justesse de la loi des erreurs.
