V. Delaunay

N. Le bon ( F. Gervais } A. Chevalier

et une liste de onze noms, soigneusement biffés.

Je dois, en passant, signaler, page 34 des Œuvres, l'omission de deux lignes, qui figurent dans le manuscrit et dans le texte de Liouville; elles devraient terminer l'avant-dernier alinéa :

..., en général par quantité rationnelle une quantité qui s'exprime en fonction rationnelle des coefficients de la proposée.

Dans la marge de la troisième page du manuscrit, en face du lemme III (page 36), se trouve la note au crayon que voici :

La démonstration de ce lemme n'est pas suffisante; mais il est vrai, d'après le n° 100 du Mémoire de Lagrange, Berlin, 177;).

Au-dessous, Galois a écrit :

Nous avons transcrit textuellement la démonstration que nous avons donnée de ce lemme dans un Mémoire présenté en i83o. Nous y joignons comme document historique la note suivante qu'a cru devoir y apposer M. Poisson.

On jugera.

Puis, plus bas :

Note de l'auteur.

Galois voulaitévidemmentque la note de Poisson ( ' ) etson propre commentaire fussent publiés. Au surplus, les notes de Poisson et de Galois figurent dans la copie de Chevalier et dans l'épreuve. Liouville les a supprimées finalement, pour des raisons évidentes.

La note de la page 3- des Œuvres est en face du lemme IV et semble d'une encre différente de celle du texte; mais il ne me paraît nullement certain que ce soit une addition de la dernière

(') Grâce à l'obligeance de Vl,ue de Blignières, j'ai pu comparer l'écriture de relie noie avec celle de Poisson, dans une lettre à Liouville; aucun doute ne peut subsister.

heure : je crois que Galois a dû, à celle dernière heure, remanier et développer hâtivement la démonstration de ce lemme IV; elle ne comportait probablement, dans le texte primitif, que quatre ou cinq lignes; elle est maintenant écrite, partie dans la marge, partie dans le blanc qui restait au bas de la page, d'une écriture serrée, nerveuse : au reste, un mot injurieux, biffé, et qui est de la même encre que le « chérubins » de la couverture ne laisse guère de doute sur l'impatience que ce passage a fait éprouver à l'auteur.

La note de la page 38 des OE uvres est en marge, en face de la proposition L À. la suite de cette note, avec l'indication a à reporterdans les définitions », se trouve ce qui est imprimé pages 35 et 36\ à partir de la ligne 22 (Les substitutions sont. . .) jusqu'à la ligne 3 (la substitution Sï); ce passage est en face du texte imprimé du milieu de la page 38 au milieu de la page 'Ag.

En marge de la page suivante (cinquième) au manuscrit, le scholie Jl (') (page /\o) est immédiatement précédé de ces indications, qui sont biffées :

Ce qui caractérise un groupe. On peut partir d'une des permutations quelconques du groupe.

Vraisemblablement, c'est après avoir écrit et biffé ces lignes que Galois s'est décidé à écrire le passage « à reporter dans les définitions ». Un peu plus bas est la note «. .. je n'ai pas le tems », puis cinq lignes biffées, mais qui sont d'une écriture calme et remontent peut-être à la première rédaction, les voici :

Car si l'on élimine r entre /(V, r) = oet F r = o F(r) étant de degré premier/;, il ne peut arriver que de deux choses l'une : ou Je résultat de l'élimination sera de même degré en V que /"(V, r) on il sera d'un degré p fois plus grand.

Ce passage biffé doit évidemment être rapproché des indications données dans le premier alinéa de la note de la page 4o- Ces indications sont de Liouville; la note de Chevalier était ainsi conçue :

Vis-à-vis la démonstration de ce théorème, dans le manuscrit j'ai trouve ceci

« Il y a quelque chose. . . »

(') Les numéros I, II des scholies (p. 3o cl \o) ne sont pas dan.** le manuscrit.

C'est ainsi qu'elle figure dans l'épreuve. Les six premières lignes de la noie de la page /\o sont donc de Liouville.

Au reste, Liouville a été visiblement préoccupé de cet endroit (proposition II) du texte de Galois : il a jugé un moment convenable de reprendre l'hypothèse primitive de Galois (p premier) et d'éclaircir complètement la démonstration dans ce cas, par une note que je crois devoir transcrire, non pas qu'elle puisse apprendre quelque chose au lecteur, mais parce qu'elle me semble une trace touchante des soins et des scrupules que Liouville apportait dans sa publication; le renvoi correspondrait a la ligne 9.0 de la page /[° des OE uçres :

Ceci mérite d'être expliqué avec quelque détail.

Désignons par 'b(V) = o l'équation dont l'auteur parle, et soient /'(V, /*), y"i(V, r), ..., //-i(V, /') les facteurs irréductibles dans lesquels »L(V) devient décomposable par l'adjonction de r, en sorte que

Gomme r est racine d'une équation irréductible, on pourra dans le second membre remplacer r par /*', /•", . . ., /,(/; l). Ainsi <^(V)/' est le produit des /■ quantités suivantes

/,-^V, #-)//-i(V, ;•-)... /,,(V, rii-»),

dont chacune, symétrique en ;*, /*', ..., r^P~l) et par suite exprimable en fonction rationnelle de V indépendamment de toute adjonction, doit diviser ^(V)/' et se réduire en conséquence à une simple puissance du polynôme <}>(V) qui cesse de se résoudre eu facteurs lorsqu'on n'adjoint pas les auxiliaires r, /■', etc. J'ajoute que le degré de la puissance est le même pour toutes. En effet, les équations /(V, r) — o,/i(V, r)= o, . . .,//i(V, r)— o qui dérivent de 6(V) = o et dont les racines sont fonctions rationnelles les unes des autres ne peuvent manquer d'être du même degré. En faisant donc

/(v, /-)/(V, /•')•• -/(v, /■(/-») = «KV)is

on en conclura p = i\x. Mais p est premier et i > 1; donc on a i = p, d'où [J. = 1, et enfin

<KV)=/(V,r)/(V, /•').../( V, ,.<p-i>).

Ce qu'il fallait démontrer.

1 1- Liouville:. )

Assurément, en rédigeant cette note, Liouville se conformait au précepte d'être « transcendantalement clair » qu'il a rappelé dans l'avertissement aux Œuvres mathématiques de Galois. Il s'est aperçu ensuite, en réfléchissant davantage, que la proposition Tl n'impliquait pas que le nombre/? fût premier etil a soigneusement noté les différences essentielles entre les deux rédactions successives de l'auteur. Qu'il ait reculé devant les explications nécessaires pour donner à la pensée de Galois toute la clarté qu'il faudrait, cela, aujourd'hui, n'a aucun inconvénient.

Page 4i des Œuvres, les lettres pi, v remplacent les lettres/;, n dont s'est servi Galois; pareil changement a été fait dans la lettre à Chevalier; ces petites modifications, destinées à éviter des confusions possibles, sont de Liouville : les lettres/?, n figurent encore dans l'épreuve.

Les lignes 7, 8, 9 de la même page sont une addition marginale, mais qui ne semble pas de la dernière heure. Cette addition est suivie de la nouvelle rédaction de la proposition III, datée de i832, sur laquelle l'attention est appelée dans la note qui est au bas de la page qui nous occupe. Ici encore, Liouville est intervenu; la note de Chevalier était ainsi conçue :

Dans le manuscrit de Galois renoncé du théorème qu'on vient de lire se trouve en marge et vis-à-vis de la démonstration qu'il en avait écrite d'abord. Celle-ci est effacée avec soin; l'énoncé précédent porte la date i83'2 et montre par la manière dont il est écrit que l'auteur était extrêmement pressé : ce qui confirme l'assertion que j'ai avancée dans la note précédente.

C'est donc Liouville qui a déchiffré et intercalé le texte primitif de la proposition III.

La phrase (il suffit ... substitutions), placée entre parenthèses au bas de la page 43 des Œuvres et en haut de la page 44? esl une note marginale.

Page 46, ligne 24, Galois a simplement écrit « Journal de C École, XVII )>.

11 y a dans les manuscrits de Galois une feuille (double) qui est une sorte de brouillon de la proposition V; ce brouillon a passé en grande partie dans la rédaction du Mémoire (1).

( ' ) Je ne pense pas qu'il y ait intérêt à publier ce brouillon.

Avant de parler du manuscrit contenant le fragment imprimé dans les dernières pages des Œuvres, je dois dire un mot d'une feuille détachée (') en partie déchirée, qui, par le format du papier, la couleur de l'encre et la forme de l'écriture, paraît avoir appartenu au cahier dont ce manuscrit faisait partie. Elle contient une rédaction antérieure de la proposition 1 et de sa démonstration, rédaction qui semble avoir été écrite au moment môme où Galois venait de trouver cette démonstration : l'énoncé de la proposition fondamentale est, presque textuellement, le même que dans le Mémoire sur les conditions de résolubilité, puis viennent

roduis :

Considérons d'abord un cas particulier. Supposons que l'équation donnée n'ait aucun diviseur rationnel et que toutes ses racines se déduisent rationnellement de l'une quelconque d'entre elles. La proposition sera facile à démontrer.

En effet, dans notre hypothèse, toute fonction des racines s'exprimera en fonction d'une seule racine et sera de la forme cp.r, x étant une racine. Soient

X X\=JiX x>=j2X ..., iï/n—l—Jm—l^

les m racines. Écrivons les ni permutations

... Jm-[X'

• • • fm-\X\

Le reste de la démonstration suivait, contenu dans une douzaine de lignes qui sont devenues les lignes i3-2Ô de la page 39 des Œuvres : on distingue assez bien les x surchargés des V de la rédaction définitive; ces douze lignes sont d'ailleurs réunies en marge par un Irait, avec l'indication : à reporter plus loin. Galois a changé d'idée; il trouve maintenant inutile de s'arrêter au cas particulier; mais il semble que ce cas particulier lui ait été d'abord

(') C'est M. P. Dupuy qui a appelé mon attention sur cette feuille. Quelques autres débris apportent un peu de lueur sur la suite des idées de Galois : ils seront publiés dans un second article-

nécessaire, car les douze lignes que je viens de dire sont suivies de celles-ci :

Le théorème est donc démontré dans l'hypothèse particulière que nous avons élablic.

Revenons au cas général.

Ces trois lignes sont biffées avec un soin particulier, Galois est en possession de la démonstration générale, sous la forme simple et définitive; il est joyeux; il couvre de hachures les seize lignes puis les trois lignes dont il n'a plus besoin. Vient ensuite la vraie démonstration, les deux dernières lignes de la page 38 des Œuvres et le commencement de la page 3o,, jusqu'à : « je dis que ce groupe de permutations jouit de la propriété énoncée ». Puis l'indication, en marge, à demi déchirée : mettre ici la partie sautée, et les lignes 24, 20 de la page 39 des Œuvres,

Ne semble-l-il pas qu'on assiste à un moment essentiel dans le développement de la pensée de Galois? L'émotion s'accroît encore à la lecture des lignes du bas de la feuille, couvertes de ratures et de surcharges, et où le nom propre a disparu dans un trou, produit d'une tache et de l'usure :

Je dois observer que j'avais d'abord démontré le théorème autrement, sans penser à me servir de cette propriété très simple des équations, propriété que je regardais comme une conséquence du théorème. C'est la lecture d'un Mémoire qui m'a suggéré

La fin de la ligne est indéchiffrable : après suggéré, il y a des mots, l'un au-dessus de l'autre, qui sont biffés, peut-être cette surmonté de la pensée, puis, dans la partie la plus usée du papier, assertion ou analyse, ou autre chose, et enfin, plus bas, je crois lire que Je dois. Quant au nom propre, les quelques traits qui subsistent, à côté du trou, ne confirment pas la supposition qui vient de suite à l'esprit (page 3n, ligne 1 1), que ce nom est celui d'Abel.

Sur la marge de cette curieuse feuille, se trouvent encore quelques formules, à demi effacées, qui correspondent visiblement aux lemmes lï et III.

Des équations primitives qui sont solubles par radicaux •(*)

(pages 5i-6i).

Le manuscrit du ■« Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux », après Ja petite introduction biffée par Galois et reproduite par Chevalier, porte l'indication « ier Mémoire »; le fragment « Des équations primitives qui sont solubles par radicaux », écrit sur du papier plus petit (35 x 22), commence au milieu d'une page. La moitié supérieure de cette page contient vingt lignes de Galois, qui sont biffées et que je reproduis plus loin; dans la marge, en face de la dernière ligne, suivie d'un grand trait horizontal, se trouvent les mots « fin du Mémoire », écrits par Galois lui-même, si je ne me trompe; au-dessous du trait est le titre du fragment et, en face, les mots « Second Mémoire » : ce fragment ou second Mémoire commence par les mots :

Revenons maintenant à notre objet et

que Chevalier a supprimés. Voici le commencement de la page qui, je le répète, est biffé dans le manuscrit :

soient représentés par

OxX, <?2(#)î ?3<>) ?/i-lO)

je dis que, P et p étant des nombres quelconques, on aura

(P -p)(P -?lp)(P -o2p)(P ~~o3p). . .(P -9ft^p)^F(P) (mod. Fp).

Démonstration : Jl suit de l'hypothèse que l'on pourra par des opérations entières et rationnelles déduire de l'équation

F x = o celle-ci

(P tJ.)(P__?1^)(P?2^)...(l) — ?«-i#) = F(P)

quel que soit P.

(') On a le manuscrit cl la copie par Chevalier de ce fragment.

Or on a évidemment

Fp — o (mod. F/?).

Donc, en substituant les congruences aux égalités, on aura le théorème énoncé.

xv f

Corollaire : Soit Fx = ? v étant premier nous aurons o{x = x2

o.2x = .t3 ..... Donc on aura en général, si v est un nombre premier, (p p)(P/,.)(P iB»)....(P jpv-i)=£=I (nl0d.^=i

Si enfin l'on fait P — py on aura le théorème suivant v étant premier.

mod-

Quelques fragments, qui seront publiés ultérieurement, paraissent se rapporter au même ordre d'idées.

Le manuscrit du fragment sur Les équations primitives. . . contient dix pages. On n'a pas ici de raisons de penser que les additions qui sont en marge ne soient pas à peu près contemporaines de la rédaction; je les note cependant :

Page 53 des Œuvres, lignes 19 et 20 : « en remplaçant. . . indices ».

Page 5^ : de la ligne 5 à la ligne 18.

Page 09, ligne 21, à partir de : « et de là... » et les lignes 22 et 23.

Voici maintenant les observations qui résultent de la comparaison du texte imprimé et des manuscrits de Galois et de Chevalier.

Liouville a imprimé les indices comme Galois les disposait, par exemple,

pour désigner une lettre a dont les indices sont

et ;

dans les Œuvres, on a adopté la notation, plus conforme aux habitudes actuelles,

Page 5a des Œuvres, ligne /j : à la place de « en premier lieu » il y a i° dans le manuscrit; la correction est de Liouville. Page 5-'), ligne (), on doit lire

«/,-,, /,, a^ ot non «/,,,/,,,...,/,,,..

Page 53, ligne i4, on doit lire

ay[kx), •!;( a-2), -/iA-3 ),..., cr(/,,j et non «cpiA-4), ^(A-)2, «/i*3), ..., <r ( /-^ ) -

Page 54, ligne 12, on doit lire

(imici + n,** et non am/ii + nk^

Page 55, ligne 3, on a imprimé à tort

d'après le texte de Galois, de Chevalier et de Liouville, il faudrait

#/»! A ^ -+- «1 A-2 -+- a^ /»2 Ai + «2 Ai -+- a2 5 si je ne me trompe, on doit lire

^//?! A^ +-«! A2 + a,, ;;?2 At 4-«2 A2+ a2

(voir page 56, ligne 2 5).

Page 57, ligne 3 : le mot « est » manque dans le texte de Galois. Page 5-, ligne 16 : Galois a écrit

<2 et est par conséquent o on 1 et non

< ?. et se trouve par conséquent être o ou 1.

Cette correction et la précédente sont de Chevalier. Page 58, ligne 28; on a imprimé correctement

en corrigeant une faute commise par Chevalier et répétée par Liouville; Chevalier a écrit m1 à la place de /i, ; il y a d'ailleurs une surcharge dans le manuscrit de Galois, mais la lecture n'est pas douteuse.

\ oici maintenant quelques observations concernant les pièces A, B, C, D, E que le lecteur trouvera plus loin.

A. Le fragment du Discours préliminaire est écrit sur les deux faces d'une même feuille : l'écriture est ferme, rapide, presque joyeuse ; les ratures abondent; c'est un premier jet. Dans la marge, deux taches d'encre que Galois a sûrement faites en effaçant le mot Evariste, qu'il venait d'écrire sur un prénom féminin. Un monogramme formé des lettres E S, entrelacées d'une façon assez élégante, est répété deux fois. Au reste, Galois écrivait volontiers son prénom et son nom, sans doute en suivant quelque pensée : à la fin de la pièce E, j'ai compté une douzaine Ôl Evariste écrits dans tous les sens; il y avait, en outre, Eva, Evar..., plusieurs E, trois Galois...

Le fragment a été copié par Chevalier; outre la note qu'on lira plus loin, sa copie contient, en haut et à gauche, l'indication que voici et qu'il a biffée :

Discours préliminaire fait en 7b,c i83o.

B. La pièce B, qui est d'ailleurs en deux morceaux, est le haut d'une feuille (double) qui, si l'on en juge par la largeur, est à peu près du même format que le papier sur lequel est écrite la lettre à Chevalier. Le bas est déchiré. Les mots note de V éditeur sont de la main de Galois. La note se trouve sur un morceau détaché, qui contient une partie des trois dernières lignes du passage biffé que j'ai reproduit; il se raccorde parfaitement avec la dernière page. Cette pièce ne porte pas de date; je pense, d'après l'avis de Al . Dupuv, qu'elle a été écrite à la prison de Sainte-Pélagie.

Il convient de rapprocher, des indications qu'elle fournit, celles-ci (pie je trouve sur une feuille déchirée :

icl Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux

( Janvier i83o)

-}? Mémoire sur le même sujet

(Juin i83o)

.Mémoire sur les Equations modulaires des fonctions elliptiques

(Février i83.>)

Mémoire sur les fonctions de la forme j XcLr, X étant une jonction quelconque algébrique

(Septembre 1 83 1 ).

Sur la même feuille, de l'autre côté, se trouvent les phrases suivantes :

C'est aujourd'hui une vérité vulgaire que les équations générales de degré supérieur au 4e ne peuvent se résoudre par radicaux, c'est-à-dire que leurs racines ne peuvent s'exprimer par des fonctions des coefficients qui ne contiendraient pas d'autres irrationnelles que des radicaux.

Cette vérité est devenue vulgaire, en quelque sorte par ouï-dire et quoique la plupart des géomètres en ignorent les démonstrations présentées par Ruffini, Abel, etc., démonstration fondée sur ce qu'une telle solution est déjà impossible au cinquième degré.

Il paraît, au premier abord, que là se termine la de la résolution par radicaux.

Ce qui suivait a élé déchiré.

Le reste de cette feuille contient des calculs, en partie numériques, d'autres qui se rapportent à l'équation modulaire pour n — 3, à des essais de développements en fraction continue, etc.

C. La pièce C existe en entier, en double, de la main deGalois et de celle de Chevalier. Après l'avoir lue et relue, je me suis décidé à n'en publier qu'un extrait, la fin, un peu moins de la moitié ; c'est que je suis arrivé à cette conviction qu'en écrivant les premières pages, Galois n'était pas en possession de lui-même : le malheureux enfant était en prison, il avait la lièvre, ou il était encore sous l'influence des boissons que ses compagnons de captivité le forçaient parfois d'avaler. Dans ces pages, sans intérêt scientifique, la continuelle ironie fatigue par sa tristesse; les injures à Poisson, aux examinateurs de l'Ecole polytechnique, à tout l'Institut sont directes et atroces; certaines allusions sont obscures et veulent être perfides; les plaisanteries, assez lourdes, se prolongent d'une façon fastidieuse et maladive ; il y a tel passage où l'écriture est si désordonnée, si surchargée, que Chevalier luimême n'a pu, à ce qu'il semble, le lire complètement; telles notes qu'il n'a pas voulu reproduire dans sa copie. On est moins devant la souffrance morale que devant la souffrance physique qui la T. 2

double; je crois que la curiosité qui s'adresse au génie n'exclut pas toute pudeur, et je n'ai pas voulu imposer au lecteur la vue de cette douleur exaspérée : celui-ci connaît, par le travail de M. Dupuj, la vie, l'exaltation, les tortures de Galois, et ne s'étonnera pas qu'il se soit plaint. Vers le milieu de la préface, la pensée se calme; c'est de mathématiques qu'il s'agit; la sérénité revient.

D. L. F. Bien que les trois morceaux ne se relient que d'une façon assez lâche au sujet traité dans ce qui précède, je les publie

Les fragments D, Ë sont écrits sur une seule feuille (3i,5X2o), du même format, à peu près, que la lettre à Chevalier : dans la copie qu'a faite ce dernier, ils se suivent, séparés par plusieurs lignes de points. Ils devaient évidemment faire partie d'un même ensemble et Chevalier a mis au commencement la note suivante :

Je place ici quelques notes recueillies dans les papiers de Galois. Elles sont relatives à une série d'articles, sur les progrès de l'analyse pure, qu'il voulait publier dans un journal scientifique.

(A. Gu.)

Dans le manuscrit de Galois, la pièce D occupe une grande page; puis, la feuille étant pliée, la pièce E tient une (petite) page et demie. Le manuscrit est plein de ratures, de surcharges, de dessins à la plume, de taches d'encre; quelques passages, comme on s'en assurera à la lecture, auraient besoin d'être retouchés ou complétés ; la difficulté même de la lecture m'a amené à dater approximativement le manuscrit; en l'examinant à la loupe, j'ai aperçu quelques mots écrits à l'envers, et en le retournant j'ai pu distinguer ces mots, dont la disposition semble indiquer que Galois n'avait pas de goût pour le calcul mental :

jeudi

29 mars

dimanche

lundi

\>. avril

mardi

jeudi

vendredi.

n'cmier avril

de l'année 1

Le premier avril de Tannée iSo2 étant un dimanche, le doute n'est pas possible, puisque Galois est mort le 3o mai i<S.v>..

Le fragment F se trouve en tête d'une feuille couverte de calculs et de dessins à la plume ; par la pensée, il se rattache aux pièces D, E.

G. Enfin le bizarre fragment G se trouve sur une feuille déchirée; aucun indice ne me permet de lui donner une date approximative.

J. Tanner y.

.PAPIERS INEDITS

ÉVARISTE GAL01S

Discours préliminaire (').

Le mémoire qui suit a été adressé il y a environ sept mois à l'Académie des sciences de Paris, et égaré par les commissaires qui devaient l'examiner. Cet ouvrage n'a donc, pour se faire lire, acquis aucune autorité et cette raison n'était pas la dernière qui retenait l'auteur dans sa publication. S'il s'y décide, c'est par crainte que des géomètres plus habiles, en s'emparant du même champ, ne lui fassent perdre les fruits d'un long travail.

Le but que l'on s'est proposé est de déterminer des caractères pour la résolubilité des équations par radicaux. Nous pouvons affirmer qu'il n'existe pas dans l'analyse pure de matière plus obscure et peut-être plus isolée de tout le reste. La nouveauté de cette matière a exigé l'emploi de nouvelles dénominations, de nouveaux caractères. Nous ne douions pas que cet inconvénient ne rebute des les premiers pas le lecteur qui pardonne à peine aux auteurs qui ont tout son crédit, de lui parler un nouveau langage. Mais enfin, force nous a été de nous conformer à la nécessité du sujet dont l'importance mérite sans doute quelque attention.

(!) Ce qui suit est un fragment du discours préliminaire destiné par Galois à être placé en tète du Mémoire sur la théorie des équations qu'il avait résolu de publier. Ce projet formé en septembre i83o n'a pas [eu] de suite; des obstacles de tout genre s'y sont opposés.

( Xote d'Auguste Chevalier.)

Etant donnée une équation algébrique, à coefficients quelconques, numériques ou littéraux, reconnaître si ses racines peuvent s'exprimer en radicaux, telle est la queslion dont nous offrons une solution complète.

Si maintenant vous me donnez une équation que vous aurez choisie à votre gré et que vous desiriez connaître si elle est ou non soluble par radicaux, je n'aurai rien à y faire que de vous indiquer le moyen de répondre à votre question, sans vouloir charger ni moi ni personne de le faire. En un mot les calculs sont impraticables.

Il paraîtrait d'après cela qu'il n'y a aucun fruit à tirer de la solution que nous proposons.

En effet, il en serait aînsi si la question se présentait ordinairement sous ce point de vue. Mais, la plupart du tems, dans les applications de l'analyse algébrique, ont est conduit à des équations dont on connaît d'avance toutes les propriétés : propriétés au moyen desquelles il sera toujours aisé de répondre à la question par les règles que nous exposerons. Il existe, en effet, pour ces sortes d'équations, un certain ordre de considérations Métaphysiques qui planent sur tous les calculs, et qui souvent les rendent inutiles. Je citerai, par exemple, les équations qui donnent la division des fonctions Elliptiques et que le célèbre Abel a résolues. Ce n'est certainement pas d'après leur forme numérique que ce géomètre y est parvenu. Tout ce qui fait la beauté et à la fois la difficulté de cette théorie, c'est qu'on a sans cesse à indiquer la marche des calculs et à prévoir les résultats sans jamais pouvoir les effectuer. Je citerai encore les équations modulaires.

| rrenuere page.| Deux Mémoires d'Analyse pure sums d'une dissertation

SUR LA. CLASSIFICATION DES PRORLEMES PAR EvARISTE GalOIS.

| Deuxième page. |

Table des matières.

Mémoire sur les conditions pour qu'une équation soit soluble par radicaux.

Mémoire sur les fonctions de la forme / X dx, X étant une fonction de x.

Dissertation sur la classification des problèmes de Mathématiques et sur la nature des quantités et des fonctions transcendantes.

| Troisième page ( l ). |

Ampère

Cauchy

Gauss

Hachcltc

Jaeobi

Lacroix

Lcgendre

Poinsot

Poisson

Sturm

Yernier

Richard

Bulletin des Sciences

Ecole normale

Ecole Polytechnique

Institut.

(') Cette liste se trouve à droite; à gauche est une autre liste de noms, à peu près les mêmes : tous ces noms sont bifl'és. sauf ceux de Sturm, de Richard cl un

[ Quatrième page]

Àbel parait être l'auteur qui s'est le plus occupé de cette théorie. On sait qu'après avoir cru trouver la résolution des équations (générales) du cinquième degré ('), ce géomètre a démontré l'impossibilité de cette résolution. Mais, dans le mémoire allemand publié à cet effet, l'impossibilité en question n'est prouvée que par des raisonnements relatifs au degré des équations auxiliaires et à l'époque de cette publication, il est certain qu'Abel ignorait les circonstances particulières de la résolution par radicaux. Je n'ai donc parlé de ce mémoire qu'afin de déclarer qu'il n'a aucun rapport avec ma théorie.

[ Passage biffé : Depuis, une lettre particulière adressée par Abel à M. Legendre annonçait qu'il avait eu le bonheur de découvrir une règle pour reconnaître si une équation est [ou était] résoluble par radicaux; mais la mort anticipée de ce géomètre ayant privé la science de ses recherches, promises clans cette lettre, il n'en élait pas moins nécessaire de donner une solution de ce problème qu'il m'est bien pénible de posséder, puisque je dois cette possession à une des plus grandes pertes qu'aura (?) faites la science.

Dans tous les cas, il me serait aisé de prouver que j'ignorais même le nom d'Abel, quand j'ai présenté à l'Institut mes premières recherches sur la théorie des équations et que la solution d'Abel n'aurait pu paraître avant la mienne.]

autre que je n'ai pu déchiffrer. Parmi les noms de cette première liste, qui ne figurent pas dans la seconde, je distingue ceux de :

Manchet, Leroy, Poullet de l'Isle, Francœur.

(') Même erreur est arrivée en 1828 à Fauteur (il avait seize ans). Ce n'est pas la seule analogie frappante entre le géomètre norvégien mort de faim, et le géomètre français condamné à vivre ou à mourir, comme on voudra, sous les verrous d'une prison.

{Note de l'éditeur.)

Deux Mémoires d'Analyse pure par E. Galois

Préface.

Cecy est un livre de bonne foy.

Montaigne.

Les calculs algébriques ont d'abord été peu nécessaires au progrès des Mathématiques, les théorèmes fort simples gagnaient à peine à être traduits dans la langue de l'analyse. Ce n'est guère que depuis Euler que cette langue plus brève est devenue indispensable à la nouvelle extension que ce grand géomètre a donnée à la Science. Depuis Euler les calculs sont devenus de plus en plus nécessaires et aussi (*) de plus en plus difficiles à mesure qu'ils s'appliquaient à des objets de science plus avancés. Dès le commencement de ce siècle, l'algorithme avait atteint un degré de complication tel que tout progrès était devenu impossible par ce moyen, sans l'élégance que les géomètres modernes ont du imprimer à leurs recherches et au moyen de laquelle l'esprit saisit promptement et d'un seul coup un grand nombre d'opérations.

Il est évident que l'élégance si vantée et à si juste titre n'a pas d'autre but.

Du fait bien constaté que les efforts des géomètres les plus avancés ont pour objet l'élégance on peut donc conclure avec certitude qu'il devient de plus en plus nécessaire d'embrasser plusieurs opérations à la fois, parce que l'esprit n'a plus Je tems de s'arrêter aux détails.

Or je crois que les simplifications produites par l'élégance des calculs (simplifications intellectuelles, s'entend; de matérielles il n'y en a pas) ont leur limite ; je crois que le moment arrivera où

(1) Je suis le texte de Chevalier; il y a dans le manuscrit de Galois un mot illisible.

les transformations algébriques prévues par les spéculations des analystes ne trouveront plus ni le tems ni la place de se reproduire ; à tel point qu'il faudra se contenter de les avoir prévues; je ne veux pas dire qu'il n'y a plus rien de nouveau pour l'analyse sans ce secours : mais je crois qu'un jour sans cela tout serait épuisé.

Sautera pieds joints sur les calculs; grouper les opérations, les classer suivant leurs difficultés et non suivant leurs formes; telle est, suivant moi, la mission des géomètres futurs ; telle est la voie où je suis entré dans cet ouvrage.

11 ne faut pas confondre l'opinion que j'émets ici, avec l'alfectation que certaines personnes ont d'éviter en apparence toute espèce de calcul, en traduisant par des phrases fort longues ce qui s'exprime très brièvement par l'algèbre, et ajoutant ainsi à la longueur des opérations, les longueurs d'un langage qui n'est pas fait pour les exprimer. Ces personnes sont en arrière de cent ans.

Ici rien de semblable (J); ici l'on fait l'analyse de l'analyse : ici les calculs les plus élevés [les fonctions elliptiques (2)] exécutés jusqu'à présent sont considérés comme des cas particuliers, qu'il a été utile, indispensable de traiter, mais qu'il serait funeste de ne pas abandonner pour des recherches plus larges. Il sera tems d'effectuer des calculs prévus par cette haute analyse et classés suivant leurs difficultés, mais non spécifiés dans leur forme, quand la spécialité d'une question les réclamera.

La thèse générale que j'avance ne pourra être bien comprise

(l) Chevalier, dans sa copie, a supprimé celle phrase : « Ici rien de semblable » et a placé cet alinéa avant le précédent. C'est ainsi qu'il est, en effet, placé dans le texte de Galois; mais, d'une part, les mots « Ici rien de semblable » ne sont nullement biffés dans le manuscrit; ils ont, au contraire, été ajoutés en interligne; d'autre part, ils sont précédés d'un astérisque suivi d'un trait (assez peu distinct) dont l'extrémité indique sans doulc la place où l'alinéa doit être placé; à cette place, les mots supprimés par Chevalier ont un sens très clair; ils n'en ont pas quand on laisse le second alinéa avant le premier : c'est évidemment la raison pour laquelle Chevalier les a supprimés.

(-) On sait assez que le second Mémoire est perdu : toutefois, il subsiste un morceau (non daté) où Galois traite de la division de l'argument dans les fonctions elliptiques et dont le contenu correspond assez bien à l'indication du texte; on peut donc supposer que ce morceau pouvait rentrer dans l'ensemble que Galois voulait publier. Il sera publié dans un second article.

que quand on lira attentivement mon ouvrage qui en est une application, non que le point de vue théorique ait précédé l'appliealion; mais je me suis demandé, mon livre terminé, ce qui le rendait si étrange à la plupart des lecteurs, et rentrant en moimême, j'ai cru observer cette tendance de mon esprit à éviter les calculs dans les sujets que je traitais, et qui plus est, j'ai reconnu une difficulté insurmontable à qui voudrait les effectuer généralement dans les matières que j'ai traitées.

On doit prévoir que, traitant des sujets aussi nouveaux, hasardé dans une voie aussi insolite, bien souvent des difficultés se sont présentées que je n'ai pu vaincre. Aussi, dans ces deux mémoires et surtout dans le second qui est le plus récent, trouvera-t-on souvent la formule « je ne sais pas ». La classe des lecteurs dont j'ai parlé au commencement ('), ne manquera pas d'j trouvera rire. C'est que, malheureusement, on ne se doute pas que le livre le plus précieux du plus savant serait celui où il dirait tout ce qu'il ne sait pas, c'est qu'on ne se doute pas qu'un auteur ne nuit (2) jamais tant à ses lecteurs que quand il dissimule une difficulté. Quand la concurrence c'est-à-dire l'égoïsme ne régnera plus dans les sciences, quand on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académies des paquets cachetés, on s'empressera de publier les moindres observations, pour peu qu'elles soient nouvelles,, et en ajoutant « je ne sais pas le reste ».

De Ste Pélagie Xbl° i83i

EvAllISTK G.VLOIS.

( ' ) Voici la phrase à laquelle Galois fait allusion :

« Tout ce qui précède, je Pai dit pour prouver que c'est sciemment que je m'expose à la risée des sots. »

(-) Texte de Chevalier: on ne distingue que la lettre n ; le resle du mot est un trou.

sciences mathématiques Discussions sur les progrès oe l'analyse pu lie

De toutes les connaissances humaines, on sait que l'Analyse pure est la plus immatérielle, la plus éminemment logique, la seule qui n'emprunte rien aux manifestations des sens. Beaucoup en concluent qu'elle est, dans son ensemble, la plus méthodique et la mieux coordonnée. Mais c'est erreur. Prenez un livre d'Algèbre, soit didactique, soit d'invention, et vous n'y verrez qu'un amas confus de propositions dont la régularité contraste bizarrement avec le désordre du tout. 11 semble que les idées coûtent déjà trop à l'auteur pour qu'il se donne la peine de les lier et que son esprit épuisé par les conceptions qui sont la base de son ouvrage, ne puisse enfanter une même pensée qui préside à leur ensemble.

Que si vous rencontrez une méthode, une liaison, une coordination, tout cela est faux et artificiel. Ce sont des divisions sans fondement, des rapprochements arbitraires, un arrangement tout de convention. Ce défaut pire que l'absence de toute méthode arrive surtout dans les ouvrages didactiques, la plupart composés par des hommes qui n'ont pas l'intelligence de la science qu'ils professent.

Tout cela étonnera fort les gens du monde, qui en général ont pris le mot Mathématique pour synonyme de régulier.

Toutefois, on sera étonné si l'on réfléchit qu'ici comme ailleurs la science est l'œuvre de l'esprit humain ('), qui est plutôt destiné à étudier qu'à connaître, à chercher qu'à trouver la vérité. En effet on conçoit qu'un esprit qui aurait puissance pour percevoir d'un seul coup l'ensemble des vérités mathématiques non pas à nous connues, mais toutes les vérités possibles, pourrait les (2) déduire régulièrement et comme machinalement de quelques

i ' ) Mol peu lisible, omis par Chevalier.

(-) Un mot illisible, je suis le texte de Chevalier.

principes combines par des méthodes uniformes; alors plus d'obstacles, plus de ces difficultés que le savant [rencontre dans ses explorations (')]• Mais il n'en est pas ainsi; si (2) la tâche du savant est plus pénible et partant plus belle, Ja marche de la science est moins régulière [:] la science progresse par une série de combinaisons où le hazard ne joue pas le moindre rôle; sa vie est brute et ressemble à celle des minéraux qui croissent par juxlà position. Gela s'applique non seulement à la science telle qu'elle résulte des travaux d'une série de savants, mais aussi aux recherches particulières à chacun d'eux. En vain les analystes voudraient-ils se le dissimuler (:î) : ils ne déduisent pas, ils combinent, ils comparent ('•); quand ils arrivent à la vérité, c'est en heurtant de coté et d'autre qu'il y sont tombés.

Les ouvrages didactiques doivent partager avec les ouvrages d'invention ce défaut d'une marche sûre toutes les fois que le sujet qu'ils traitent ( ') n'est pas autrement soumis à nos lumières, ils ne pourraient donc prendre une forme vraiment méthodique que sur un bien petit nombre de matières. Pour la leur donner, il faudrait une profonde intelligence de l'analyse et l'inutilité de l'entreprise dégoûte ceux qui pourraient en supporter la difficulté.

(*) C'est le texte de Chevalier. Le passage est illisible; je ne puis lire « reneontre »; après explorations » qui est douteux, il y a les mots, douteux aussi : « et qui souvent sont imaginaires » et ceux-ci, bien nets : « Mais aussi plus de rôle au savant ». Chevalier a supprimé ce qui ne s'accordait pas avec son texte.

(2) Chevalier a écrit : « et la... ».

(3) Je suis le texte de Chevalier; il y a ici, en interligne, une phrase dont le copiste n'a pas tenu compte, malgré son intérêt; malheureusement, elle est en partie illisible : j'y distingue à peu près ce qui suit :

c< toute immatérielle qu'elle [if fis.] l'analyse n'est pas plus en notre pouvoir que d'autre [if lis.]. »

(' ) Autre addition, en interligne, supprimée par Chevalier : « il faut l'épier, la sonder, la solliciter [la vérité] ». (•') Dans le manuscrit : « qu'il traite ».

[[ serait en dehors de la gravité de cet écrit d'entrer dans une pareile lutte avec des sentiments personnels d'indulgence ou d'animosité à l'égard des savants. L'auteur des articles évitera également ces deux écueils. Si un passé pénible le garantit du premier, un amour profond de la science, qui la lui fait respecter dans ceux qui la cultivent, assurera contre le second son impartialité.

Il est pénible dans les sciences de se borner au rôle de critique : nous ne le ferons que conlraint et forcé. Quand nos forces nous le permettront, après avoir blâmé, nous indiquerons ce qui à nos yeux sera mieux. JNous aurons souvent ainsi l'occasion d'appeler l'attention du lecteur sur les idées nouvelles qui nous ont conduit dans l'étude de l'analyse. Nous nous permettrons donc de l'occuper de ces idées, dans nos premiers articles, afin de n'avoir point à y revenir.

Dans des sujets moins abstraits, dans les objets d'art, il y aurait un profond ridicule à (aire précéder un ouvrage de critique par ses propres œuvres : ce serait avouer par trop naïvement ce qui est presque toujours vrai au fond, que l'on se prend pour le type auquel on rapporte les objets pour les juger : mais ici, il ne s'agit pas d'exécution, il s'agit des idées les plus abstraites qu'il soit donné à l'homme de concevoir; ici critique et discussion deviennent synonymes, et discuter, c'est mettre aux prises ses idées avec celles des autres.

Nous exposerons donc, dans quelques articles, ce qu'il y a de plus général, de plus philosophique, dans des recherches que mille circonstances ont empêché de publier plus tôt. Nous les présenterons seules, sans complications d'exemples et de hors-d'œuvre, qui chez les analystes novent d'ordinaire les conceptions générales. Nous les exposerons surtout avec bonne foi, indiquant sans détour la voie qui nous y a conduit, et les obstacles qui nous ont arrêté. Car nous voulons que le lecteur soit aussi instruit que nous des matières que nous aurons traitées. Quand ce but aura été rempli, nous aurons conscience d'avoir bien fait, sinon par le profit qu'en retirera directement la science, du moins par l'exemple donné, d'une bonne loi qu'on n'a pas trouvé jusqu'à ce jour.

ici comme dans toutes les sciences chaque époque a en quelque sorte ses questions du moment : il y a des questions vivantes qui fixent à la fois les esprits les plus éclairés comme malgré eux et sans que [////.?.] ait présidé à ce concours, il semble souvent que les mêmes idées apparaissent à plusieurs comme une révélation. Si l'on en cherche la cause il est aisé de la trouver dans les ouvrages de ceux qui nous ont précédés où ces idées sont présentes à l'insu de leurs auteurs.

La science n'a pas tiré, jusqu'à ce jour, grand parti de cetle coïncidence observée si souvent dans les recherches des savants. Une concurrence fâcheuse, une rivalité dégradante en ont été les principaux fruits, il n'est pourtant pas difficile de reconnaître dans ce fait la preuve que les savants ne sont pas plus que d'autres faits pour l'isolement, qu'eux aussi appartiennent à leur époque et que lot ou tard ils décupleront leurs forces par l'association. Alors que de temps épargné pour la science!

Beaucoup de questions d'un genre nouveau occupent maintenant les analystes. C'est à découvrir [un lien entre ces questions que nous (')] attacherons

( * ) Passage bifle.

Tout voir, tout entendre, ne perdre aucune idée.

29 7bro 1801

SciEJNCES.

Hiérarchie. Ecoles

La hiérarchie est un moyen même pour l'inférieur.

Quiconque n'est pas envieux ou a de l'ambition a besoin d'une hiérarchie factice pour vaincre l'envie ou les obstacles.

Jusqu'à ce qu'un homme ait dit : la science c'est moi, il doit avoir un nom à opposer à ceux qu'il combat. Si non, son ambition passera pour de l'envie.

Avant d'être roi il faut être aristocrate. Machiavel.

L'intrigue est un jeu. Si l'on mérite ce qu'on brigue, on y gagne tout. Si non, on perd la partie.

On combat les professeurs par l'institut, l'institut par le passé, un passé par un autre passé.

Voici la [Mis.] de Victor Hugo. Renaissance, moyen âge, enfin, moi.

C'est à ce besoin de combattre un homme par un autre homme, un siècle par un autre siècle, qu'on doit attribuer les réactions littéraires ou scientifiques, qui ne sont pas de longue durée, Aristote, Ptolémée, Descartes, Laplace.

[Une ligne illisible,]

Ce jeu use celui qui s'en sert. Un homme qui n'est pas dévoué se fait éclectique.

Un homme qui a une idée peut choisir entre, avoir, sa vie durant, une réputation colossale d'homme savant, ou bien se faire une école, se taire et laisser un grand nom dans l'avenir. Le premier cas a lieu s'il pratique son idée sans remettre, le second s'il la publie. Il y a un troisième moyen juste milieu entre les deux autres. C'est de publier et de pratiquer, alors on est ridicule.