ÉCRITS MATHÉMATIQUES INÉDITS

En dehors des quelques fragments que l'on trouvera plus loin, les écrits mathématiques de Galois que Liouville n'a pas publiés contiennent une cinquantaine de feuilles détachées (') pleines de calculs qui, pour la plupart, concernent la théorie des fonctions elliptiques et remontent sans doute à un moment où Galois étudiait les Mémoires de Jacobi (2), quatre pages sur les équations aux

(*) Trois de ces feuilles comportent du texte; une se rapporte à la théorie de la transformation, une autre au théorème d'addition pour la fonction sin am, déduit de la formule fondamentale de trigonométrie sphérique, la troisième au théorème d'addition pour la fonction n ( u, a).

(2) Les papiers que m'a remis Mme de Blignières contiennent un brouillon, couvert de ratures et de corrections, qui est de la main de Liouville, et qui porte en tête : Lettre d'Alfred Galois à M. Jacobi, 17 novembre 1847. Voici cette lettre :

Monsieur,

Jai l'honneur de vous envoyer, en vous priant d'en agréer l'hommage, un exemplaire de la première Partie des Œuvres mathématiques de mon frère.

Il y a près d'un an qu'elle a paru dans le Journal de M. Liouville, et, si je ne vous l'ai pas adressée plus tôt, c'est que, sans cesse, j'espérais pouvoir vous faire remettre d'un jour à l'autre l'Ouvrage complet, dont la publication s'est trouvée retardée par diverses circonstances. Au reste, cette première Partie renferme ce que mon pauvre Evariste a laissé de plus important et nous n'avons guère à y ajouter que quelques fragments arrachés au désordre de ses papiers. Ainsi on n'a rien retrouvé concernant la théorie des fonctions elliptiques et abéliennes ; on voit seulement qu'il s'était livré la plume à la main à une étude approfondie de vos Ouvrages. Quant à la théorie des équations, M. Liouville et d'autres géomètres que j'ai consultés affirment que son Mémoire, si durement repoussé par M. Poisson, contient les bases d'une doctrine très féconde et une première application importante de cette doctrine. « Ce travail, me disent-ils, assure pour toujours une place à votre frère dans l'histoire des Mathématiques. » Malheureusement étranger à ces matières, j'écoute avec plaisir de telles paroles : si votre précieux suffrage, qu'Évariste aurait ambitionné par-dessus tout, venait les confirmer, ce serait pour ma mère et pour moi une bien grande consolation; il deviendrait pour notre Evariste un gage d'immortalité, et je croirais que mon frère n'est pas entré tout entier dans la tombe. Etc., etc.

dérivées partielles du premier ordre, quelques calculs, avec un commencement de rédaction, sur les intégrales eulériennes (*), huit lignes, dont plusieurs mots sont déchirés, qui paraissent se rapporter au groupe alterné et n'avoir pas grand intérêt, un cahier dont la plupart des pages sont blanches et dont je dirai tout à l'heure deux mots, enfin une vingtaine de lignes sur le théorème d'Abel.

(*) En posant

[m, n] — ! (i — x)m~* x"-* dx, J §

Galois part de la relation

il en déduit, en désignant par/> un nombre entier positif quelconque,

puis

[in, n] = lim — ^ -•

[p, m H- n] n remplaçant [/>, /i ] par— / ( i \ x"~ldx, et en passant à la limite, il

' o obtient

Y m Vu

( m -h n ) Il établit ensuite la relation

/ -dx = 9 (n) — o (i),

c/ logF (n)

en partant de ce que Ton a, pour m = i,

dm r l

'dx

■ nicnibr

r l xn ,

d'où, en intégrant le dernier membre par parties

Ces vingt lignes peuvent être regardées comme un résumé delà célèbre « Démonstration d'une propriété générale d'une certaine classe de fonctions Iranscendantes » ('), qui est datée de 1829; elles occupent les deux tiers de la première page d'une feuille double de même format (3o X i5) que la lettre à Chevalier. On lit en haut de la page :

Théorie des fonctions de la forme / X dx, X étant une fonction algébrique de x.

Les mots « fonctions de la... », jusqu'à la fin, sont biffés et Galois a écrit au-dessus

intégrales dont les différentielles est algébrique.

Le premier titre est presque identique à ceux qui ont été signalés précédemment (p. 17 et p. a3). dont l'un porte la mention « septembre 1 83 1 ». L'énoncé du théorème d'Abel (qui n'est pas nommé) est précédé des mots « Lemme fondamental ». Après la démonstration on lit

Remarque. Dans le cas où

Le reste de la page, les deux pages qui suivent sont en blanc (2). Ces quelques lignes sont-elles tout ce qui reste du troisième Mémoire qui concerne les intégrales, que Galois résume dans la lettre à Chevalier? Ce troisième Mémoire a-t-il été rédigé? Je rappelle quelques termes de la lettre

On pourra faire avec tout cela trois Mémoires. Le premier est écrit, et... je le maintiens... . . . tout ce que j'ai écrit là est depuis bientôt un an dans ma tête.

(1) Œuvres d'Abel, édition Sylow, t. I, p. 5 1 5 .

(2) La feuille a été pliéc; sur la moitié de la quatrième page, on trouve quelques calculs relatifs à l'intégrale

dx

r di

, ! \lx {X1— 2QIX -+- y2

\Jx ( x'1 — 2 a x H- Y1 ) ( xl — 2 jà x -r Y1 ) où Galois fait la substitution

ï" x -+■ — = iz.

Le premier est écrit semble indiquer que les autres ne sont pas rédigés. On pourra faire avec tout cela trois Mémoires porte à penser que Galois laissait des notes, dont on ne peut plus espérer aujourd'hui qu'elles soient retrouvées. Une seule chose est certaine, c'est que, la veille de sa mort, il avait tout cela dans sa tête.

Le cahier est du format 20X1D; on lit sur la couverture : Notes de mathématiques, quatorze pages, seulement, sont utilisées. On trouve dans ce cahier et, parfois, sur la même page, deux sortes d'écriture : pour Tune, il n'y a pas de doute, c'est bien celle de Galois, avec son allure habituelle. L'autre, beaucoup moins lisible, est droite. Je me suis demandé si Galois ne s'était pas amusé à déformer son écriture; mais M. Paul Dupuv, après un examen attentif des deux écritures, a constaté qu'elles révélaient des habitudes très différentes : elles ne sont pas de la même personne.

Au reste, ce cahier, par son contenu, n'offre qu'un intérêt médiocre. Les pages qui sont de Galois contiennent quelques remarques sur les asymptotes des courbes algébriques et un court essai sur les principes de l'Analyse, dont je citerai quelques lignes; elles caractérisent un état d'esprit qui résultait sans doute de l'enseignement que Galois avait reçu; on n'oubliera pas qu'il n'était sans doute alors qu'un écolier, un écolier qui, peut-être, avait approfondi déjà des problèmes singulièrement difficiles.

Après avoir expliqué comment il juge la méthode de Lagrange, où le développement de ïaylor tient le rôle essentiel, préférable à la méthode qui consiste à partir de la notion de dérivée considérée comme la limite de l'expression

limite qui ne peut être constamment nulle ou infinie, et comment le raisonnement de Lagrange ne lient pas debout, il propose de lui substituer le suivant :

Considérons d'abord une fonction y (z) qui devienne nulle pour la valeur o de la variable. Je dis que l'on pourra toujours déterminer un seul

nombre positif et fini n de manière que — — ne soit ni nulle ni infinie, à

' x zn

moins que -l—i — ne soit nul quand z = o pour toute valeur finie de n.

cp ( z) Car si n'est pas nul quand z = o pour toute valeur finie de n,

cp ( z) . cp (z)

soit m une valeur telle que — — - ne soit pas nul quand z = o. Si — — - ac-

quiert alors une valeur finie, la proposition est démontrée. Si non — — - étant

infini et cp (z) nul pour z = o, en faisant croître n depuis n — o jusqu'à n — m,

o ( z) les valeurs de pour 5 = o devront être infinies à partir d'une certaine

limite. Soit p cette limite. -£ ne sera pas infini pour z = o mais — — - le

£/' l f zP+\h

pour z — o. La proposition est donc démontrée.

cp ( z ) sera, quelque petite que soit la quantité \x. Donc J- ne saurait être nul

De cette proposition ainsi ((démontrée», Galois conclut qu'une fonction y (s), qui ne devient pas infinie pour z = o, peut se mettre sous la forme

<p(s) = A+Bz«+ G2'» + ...+ P zp -^-z^W(z),

où les exposants positifs n} m, . . . , />, k vont en croissant, l'exposant k étant aussi grand qu'on veut et la fonction W (z) n'étant ni nulle ni infinie pour z = o.

De la formule du binôme il déduit ensuite le développement de Taylor.

Quant aux fragments qui suivent, j'ai cru devoir les reproduire tels quels, avec une exactitude minutieuse, en conservant l'orthographe, la ponctuation ou l'absence de ponctuation, sans les quelques corrections qui se présentent naturellement à l'esprit. Cette minutie m'était imposée pour les quelques passages où la pensée de Galois n'était pas claire pour moi; sur cette pensée, les fragments informes que je publie jetteront peut-être quelque lueur. Je me suis efforcé de donner au lecteur une photographie sans retouche. J. T.

[Première feuille] (l).

Permuta lions. Nombres de lettres m.

Substitutions. Notation.

Période. Substitutions inverses. Substitutions semblables. Substitutions circulaires. Ordre. Autres substitutions.

Groupes. Groupes semblables. Notation.

Théorème I. Les Permutations communes à deux groupes forment un groupe.

Théorème II. Si un groupe est contenu dans un autre, celui-ci sera la somme d'un certain nombre de groupes semblables au premier, qui en sera dit un diviseur.

Théorème III. Si le nombre des permutations d'un groupe est divisible par/? (/> étant premier), ce groupe contiendra une substitution dont la période sera de p termes.

Réduction des groupes, dépendants ou indépendants. Groupes irréductibles.

Des groupes irréductibles en général.

Théorème. Parmi les permutations d'un groupe, il y en a toujours une où une lettre donnée occupe une place donnée, et, si l'on ne considère dans un groupe irréductible que les permutations où une même lettre occupe une même place et qu'on fasse abstraction de cette lettre, les permutations qu'on obtiendra ainsi formeront un groupe. Soit n le nombre des permutations de ce dernier mn (2).

Nouvelle démonstration du théorème relatif aux groupes alternes.

Théorème. Si un groupe contient une substitution complète de l'ordre m et une de l'ordre m — i, il sera irréductible.

(*) Ce fragment, occupe deux feuilles, écrites sur les deux faces, du format a3 x 18.

(2) Cette phrase elliptique a été ajoutée dans une fin de ligne et dans Tinterligne au-dessous.

Discussion des groupes irréductibles. Groupes, primitif et non primitif. Propriété des racines (').

On peut supposer que le groupe ne contienne que des substitutions paires.

Il y aura toujours un système conjugué complet de m permutations quand m = /\n et 4"H-i> "n système conjugué complet

de — permutations quand m = l\n 4- 2.

Donc t = m — 2 dans le premier cas, t = dans le

second (2).

[Deuxième feuille.]

Application à la théorie des fonctions et des équations algébriques. Fonctions semblables. Combien il peut y avoir de fonctions semblables entre elles. Mr Cauchy. Groupes appartenant aux fonctions. Théorème plus général, quand m > 4- Quelles sont les fonctions qui n'ont que m valeurs, ou qui ne contenant que des substitutions paires, n'ont que im valeurs.

Théorème. Si une fonction de m indéterminées est donnée par une équation de degré inférieur à m dont tous les coefficients soient des fonctions symmetriques permanentes ou alternées de ces indéterminées, cette fonction sera elle même symmetrique, quand m > 4*

Théorème. Si une fonction de m indéterminées est donnée par une équation de degré m dont tous les coefficients, etc.; cette fonction sera symmetrique permanente ou alternée par rapport à toutes les lettres ou du moins par rapport à m — i d'entre elles.

Théorème. Aucune équation algébrique de degré supérieur à 4 ne saurait se résoudre ni s'abaisser.

Du cas ou une fonction des racines de l'équation dont le groupe est G est connu [e].

Théorème. Soit H le groupe d'une fonction cp des racines, G est

(*) La première page finit ici: les six lignes qui suivent sont au verso. (2) Un peu plus bas, on lit : Discussion des groupes irréductibles; le texte de Ja page est couvert de calculs, écrits en renversant la page de haut en bas.

un diviseur de H, o ne dépendra [plus que d'une] (1) équation du ^ièine degré.

On peut ramener à ce cas celui où on supposerait plusieurs fonctions connues.

Premier cas. Quand le groupe appartenant à la fonction connue est réductible. Cas où une seule permutation lui appartient.

2e cas. Quand le groupe appartenant à la fonction est irréductible non primitif.

3e cas. Quand le groupe appartenant à la fonction est primitif m étant premier (2).

4e cas. Quand le groupe appartenant à la fonction est primitif et que m = p-,

5e cas. Quand le groupe est primitif m — i étant premier ou le carré d'un nombre premier (3).

Note sur les équations numériques.

Ce qu'on entend par l'ensemble des permutations d'une équation.

(') Les mots mis ici entre crochets sont barrés; au reste tout ce passage, à partir de « Du cas ou » jusqu'à « plusieurs fonctions connues » est couvert de ratures et de surcharges; on lit, par exemple, sous une rature : « Si D est le commun diviseur à ce groupe et à celui de la fonction supposée »; tout ce passage est un renvoi placé au bas de la page, de façon à être substitué à trois lignes qui sont barrées, et dont voici le texte :

Du cas où une fonction des racines est censée connue.

Remarque. On peut réduire à ce cas celui où on supposerait plusieurs connues.

(2) Au-dessous en interligne :

Jusqu'ici on avait cru

(3) Les deux fragments qui suivent sont sur l'autre face de la feuille; ils sont séparés par un blanc laissé au milieu de la page; au-dessus de l'avant-dernière ligne du premier passage et dans le blanc, on trouve les mots suivants dont le premier est couvert d'une rature et dont les autres sont bàtonnés; la lecture du mot Présenté est douteuse.

Mémoire

sur la théorie des fonctions et sur celle

des équations littérales.

Présenté à l'Institut par

K. Galois.

Octobre 1829.

Du cas où cet ensemble constitue un groupe.

Tl n'y a qu'une circonstance où nous ayons reconnu que cela doit nécessairement avoir lieu. C'est celui où toutes les racines sont des fonctions rationnelles d'une quelconque d'entre elles. Démonstration.

C'est improprement, etc. Du reste, tout ce que nous avons dit est applicable à ce changement près. i°. théorème. Si une équation jouit de la propriété énoncée, toute fonction des racines invariable par les m — i substitutions conjuguées sera connue, et réciproquement. 2°Théorème découlant de la réciproque précédente (1). Toute équation dont les racines seront des fonctions rationnelles de la première ; jouira de la même propriété. 3° Corollaire. Si ae§\ une racine imaginaire d'une pareille équation et que fa en soit la conjuguée, fx sera en gênerai la conjuguée d'une racine quelconque imaginaire, x.

On peut passer aisément de ce cas à celui où une racine étant connue, quelques unes en dépendent par des fonctions rationnelles. Car soient

Ces racines, si l'on prend, etc.

Il est aisé de voir que la même méthode de décomposition s'applique au cas où dans l'ensemble des permutations d'une équation, n mêmes lettres occupent toujours a mêmes places (abstraction faite de l'ordre) quand une seule de ces lettres occupe une de ces places, et il n'est pas nécessaire pour cela que l'ensemble de ces permutations constitue un groupe.

(*) Mois placés en interligne et presque illisibles; on pourrait aussi bien lire remarque que réciproque.

On appelé groupe un système de permu talions tel que etc. Nous représenterons cet ensemble par G.

GS est le groupe engendré lorsqu'on opère sur tout le groupe G la substitution S. Il sera dit semblable;

Un groupe peut être fort différent d'un autre et avoir les mêmes substitutions. Ce groupe en général ne sera pas GS.

Groupe réduclible est un groupe dans les permutations duquel n lettres ne sortent pas de n places fixes. Tel est le groupe

abcde abdec abecd bacde badec baecd

Un groupe irréductible, etc.

Un groupe irréductible est tel qu'une lettre donnée occupe une place donnée. Car, supposons qu'une place ne puisse appartenir qu'à n lettres. Alors toute place occupée par l'une de ces lettres jouira de la même propriété. Donc etc.

Groupe irréductible non-primitif est celui où l'on a n places et n lettres telles que une des lettres ne puisse occuper une de ces places, sans que les n lettres n'occupent les n places.

On voit que les lettres se partageront en classes de n lettres telles que les n places en question ne puissent être occupées à la fois que par l'une de ces places [classes] (2).

(*) Une feuille du format 23 X17, écrite sur les deux faces.

(2) En renversant la page, on trouve quelques lignes relatives à la décomposition d'un groupe, que l'absence de contexte rend inintelligibles, puis le commencement d'une question, qu'on retrouve en entier sur un petit fragment de papier, comme il suit :

Etant donnée une substitution S et deux permutations A et A' on demande une substitution S' telle que la lettre située au A"ième rang dans A prennant le cp/:ième rang dans AS, la lettre située au A-eme rang dans A' prenne le <p£iôn,e dans A' S'.

Supposons le problème résolu. Soit A'= AT, on aura évidemment