EQUATIONS TERNAIRES ET QUATERNAIRES

Les six premières sont résolues aritbmétiquement et géométriquement; après quoi, l'auteur fait observer que les solutions géométriques des six autres exigent l'emploi des sections coniques, comme la troisième des binaires, et qu'il en est de même des sept quaternaires. Mais, avant de passer à la solution de ces quatorze équations , il donne celle des trois questions suivantes :

1*^ Insérer deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données ^^ 1^:}='^ ->^ jj' ^'ij-^

2^ Construire sur un rectangle donné un parallélipipède rectangle égal à un solide donné

ajLS ^^*J\ v3jt^ Ld.,**»2c^ ^ ^ V^U J^ J,^j »! jj J

3° Construire un solide dont la base soit un carré, et la hauteur égale à une ligne donnée, et qui soit en même temps égal à un solide donné m

Jp » Ji^ 6J>\Jjj\ j ^j^ Jj^li L,-.**^:^ J-*-*J A sX-^jJi I

11 reprend alors la troisième des binaires, à laquelle il applique la solution des deux moyennes proportionnelles par deux paraboles, et passe aux treize autres équations, lesquelles, ainsi que la précédente, sont du troisième degré, et qu'il ne

( 37» ) se propose de résoudre que géométriquement.

La première , qui est la septième des ternaires , est de la forme

x^-^mx — 71 = o.

L'auteur la résout par une construction où il emploie le cercle et la parabole.

C'est à la fin de cette solution que la copie se trouve interrompue, n'ayant pas été achevée par le copiste , qui a même omis les figures des trois dernières constructions.

Quoi qu'il en soit, ce petit traité montre d'une manière incontestable que les Arabes ont connu les équations cubiques, et l'art d'exprimer graphiquement les formules , art si beau et si précieux queKeppîer regrettait de ne pas savoir (i).

On a prétendu que nous avions attribué aux Arabes la résolution algébrique des équations du troisième degré, et notre réponse ne s'est point fait attendre (2); nous n'avons rien eu à retirer de ce que nous avions avancé, et le savant géomètre, M. Chasles , dans son appréciation de notre travail, n'y a point vu les assertions qu'on nous prétait : « Montucla , dit-il , pensait que les Arabes « pouvaient bien avoir traité des équations du

(i) Voy. plus haut, p. 124.

(2) Comptes rendus des séances de VJcadémie des sciences, aS avril et i3 mai i838.

( 376 ) « troisième degré; il se fondait sur le titre Ala gebra cubica seu de problematuni solidorum reso- « lutione d'un manuscrit de la bibliothèque de « Leyde, attribue à Omar-ben-lbrahim (le même, % «peut-être, qu'Omar- Alkheiami) ; le fragment « trouve par M» Sédillot confirme encore à cet | « égard la conjecture de Montucla, et en fait l'un « des points les plus importants et l'un des mocc numents les plus précieux de l'histoire scienti- « fique des Arabes. »

On voit que les documents originaux que nous possédons sur cette branche des mathématiques se réduisent à bien peu de chose, si l'on considère combien les savants de l'école de Bagdad nous ont laissé de traités d'algèbre (i).Il en est de même de l'arithmétique, qu'ils nous ont transmise avec 1 nos chiffres modernes , et dont ils ont développé les éléments dans un nombre infini d'ouvrages spéciaux que personne n'a pris la peine de traduire. M. Chasles, qui a répandu dans ces derniers temps une si vive lumière sur l'origine de notre système de numération (a), a plusieurs fois exprimé le regret de n'avoir pu trouver une version authentique d'un seul traité d'arithmétique arabe.

(i) Voy. uotre Introduction aux tables d'Oloug-Beg, p. 54, 56 , 62 , etc.

[1) Voy. plus loin notre V^ partie.

li^ii géométrie, nous sommes un peu plus au courant des travaux de nos devanciers. Dès le règne d'Almamoun , Euclide, Théodose, Apollonius, Hypsiclèset Menelaus avaient été traduits; le traité d'Ârcbimède de sphœrâ et cjlindro^ et probablement ses autres ouvrages, étaient commentés, et les productions multipliées des géomètres arabes prouvent que, pendant plusieurs siècles, ils s'occupèrent des questions les plusaidues de la science; l'intérêt qu'ils attacbaient aux discussions scientifiques, se révèle surtout dans leur correspondance mathématique, dont nous avons recueilli des fragments. L'auteur de la solution de ce problème : tfvui^er sur un miroir sphérique le point de réflexion, le lieu de V objet et celui de Vœil étant donnés^ était évidemment un esprit d'un ordre supérieur.

On est bien obligé de reconnaître que les Arabes ne se sont pas bornés à traduire les traités des Grecs; et si nous leur devons de la reconnaissance pour nous avoir conservé plusieurs livres d'Apollonius, d'Arcbimède, de Tbéodose , etc., la forme qu'ils ont donnée à la trigonométrie sphérique ne leur fait pas moins d'honneur. Ils substituèrent aux méthodes anciennes des résolulions plus simples, en proposant trois ou quatre théorèmes qui sont le fondement de notre trigo-

( 378 ) nométrie moderne. Ils employèrent, au neuvième siècle, les sinus des arcs au lieu des cordes des arcs doubles, et, comme nous l'avons déjà rappelé, ils simplifièrent, un peu plus tard, par l'introduction des tangentes, l'expression des rapports circulaires , d'abord si longue et si embarrassée (i).

Le petit traité de géométrie spéculative de Hassan-ben-Haithem (2), que nous avons fait connaître, donne une idée assez juste des considérations métaphysiques que les géomètres arabes ont répandues dans leurs écrits. On nous a reproché d'y avoir vu les principes d'une géométrie qu'on a nommée dans ces derniers temps géométrie de position; mais nous n'avons fait qu'émettre une idée partagée par nos plus habiles mathématiciens, et nous devons dire que, sur ce point encore, M. Chasles , analysant notre travail , n'en a fait l'objet d'aucune critique (3).

Hassan-ben-Haithem florissait vers l'an 4oo de l'hégire ( 1009 après J. C), et mourut au Caire en 43o ( io38 après J. C).

(1) Delambre, Hist. de l'astronomie au moyen âge, p. i5i et iSa : Analyse des travaux de mon père; Chasles, Aperçu des méthodes, etc., p. 494> et 49^> 5 et plus haut, p. 27.

(2) Ms. ar. n** 11 04, fol. 11 ; — Des connues géométriques ^ par Abou-Ali-al-Hassan-ben-al-Hassan-ben-al-Haithem.

(3) Journal asiatique, i834; M. Cliasles, loc. cit. , Comptes rendus de l'Académie des sciences, 2 3 avril et i3 mai i838.

ïl a composé aussi un recueil d'observations astronomiques, un commentaire de FAlmageste, et un autre sur les définitions qui sont en tête des Éléments d'Euclide (i).

La copie du traité des connues^ qui se trouve dans le manuscrit t io4 de la Bibliothèque royale, est de Fan 5*39 1 '^ 9 ^^ dzoulhiggeb(3 juin i \l\l\).

Hassan-ben-Haitliem était un astronome distingué, et l'attention qu'il accorde à des questions élémentaires de géométrie nous fait voir l'importance qu'il attachait aux principes de la science; ce qui caractérise l'esprit des érudits de son temps, et montre aussi qu'ils cultivaient les sciences pour elles-mêmes, et qu'ils cherchaient à découvrir tous les points de vue sous lesquels elles peuvent être considérées.

Les préliminaires du traité d'Hassan-ben-Haithem permettent d'apprécier assez exactement la philosophie mathématique des Arabes ; quant à

(i) Le catalogue de la Bibliothèque bodleyenne porte, art. 908 : « Codex Bombycinus anno hegir. 987, Christ. 1579, « exaratus, ubi reperiuntnr, i® Ibn-al-Haithami geometrae ce- « leberrimi, in definitiones quae elementis Euclidis prgemit- « tuntur, commentarius , 71 fol. constans ; mortuus autor « Cairi anno hegir. 480, Christ. io38. » — On trouve dans l'ouvrage d'Abou-Ossaibah la liste de quatre-vingt-huit de ses ouvrages ; voyez le Mémoire que nous avons inséré dans le t. XIII des Notices et extraits des manuscrits^ publiés par l'Académie des inscriptions et belles-lettres, p. 128.

( 38o ) l'ouvrage même, il est divisé en deux livres; Fauteur fait remarquer que « le premier comprend a des choses tout à fait neuves et dont le genre « même n'a pas êtê connu des anciens gëomè- « très (i), et que le second contient une suite de « propositions anologues à celles qui ont été trai- « tées dans le livre des Data, mais qui ne se trouce vent pas dans cet ouvrage d'Euclide. »Âu reste, si Hassan-ben-Haithem marche sur les traces d'Euclide, il ne se montre pas inférieur à son modèle. 11 commence ainsi : Prolégomènes : définition des CONNUES, c^L^jlxit leurs divisions et subdivisions.

(i) Pappus d'Alexandrie a indiqué, dans le vu® livre de ses Collections mathématiques , tout ce que ses devanciers avaient écrit de locis ; en supposant que Hassan-ben-Haithem ait emprunté aux Grecs l'idée première de son travail, on doit toutefois reconnaître que par ses applications il est devenu auteur original. Voici ce que dit Pappus de ceux qui l'avaient précédé : « Librorum qui ad resolutum locum pertinent ordo « talis est : Euclidis datorum liber unus. Apollonu Xo'you « aTTOTOfATiç , hoc cst de proportionis sectione libri duo; yoptou « à7C0T0[jt.7Jç ^ hoc est de spatii sectione duo; sTratpwv , hoc est « tactionumduo. Euclidis porismatum très. Apollonu veuaeojv, « hoc est inclinationiim duo. Ejusdem tottojv eTriirsSwv, hoc est « planorum locorum duo; conicorum octo. Arist^i xoTTOiv « ç-£p£wv, hoc est locorum solidorum quinque. Euclidis tottwv 'i TTpoç liTicpdtviav, hoc est locorum ad superficiem duo. Era- « TOSTHENis de medietatibus duo. Itaque omnes libri suntnu- " mero triginta et unus. «^ — Voy. Papp. , Collect. mathem. h Commandino in Int. coiw. In-fol. Bononiae, 1660.

La connaissance (i) Jlx)!, scientia^ se compose d'opinions immuables, wjuj^ ^)Î , et Ton entend psiv opinion, ^, un jugement, ^Liii&!, porté sur une chose quelconque, mais un jugement immuable, tel que le jugement exprimé par cette proposition : le tout est plus grand que sa partie.

Or, il ne peut y avoir de jugement , sans qu'il y ait une personne qui juge et une chose jugée; et il ne peut y avoir de jugement immuable qu'autant que la chose jugée est elle-même immuable.

La connaissance est donc le jugement d'une chose immuable; le. connu est cette chose immuable en tant qu'elle est jugée; et le connaissant, celui qui juge une chose immuable, -;.-x>^

Quant au jugement porté sur une chose muable ou sujette au changement , il ne peut être

(i) Le mot de science ou de connaissance renferme nécessairement deux choses : l'une est la vérité , et l'autre l'évidence. En effet, ce qui n'est pas îa vérité ne peut être connu. Qu'un homme nous dise tant qu'il voudra qu'il connaît trèsbien une chose; si ce qu'il dit se trouve faux par la suite, il sera forcé d'avouer qu'il n'avait pas une connaissance , mais une opinion. Pareillement si une vérité n'est pas évidente, la connaissance de l'homme qui la soutient, ne sera pas plus sure que celle de ceux qui soutiennent le contraire , car si la vérité suffisait pour constituer la connaissance ou la science, toute vérité serait connue, ce qui n'est pas. Hobbes, De la nature humaine, ch. vi.

( 382 ) regardé comme connaissance, parce que la chose muable n'existe pas constamment sous la même forme; tel est le jugement que nous exprimons par cette proposition , Zéid est debout ; car il se \ peut que Zéid ne soit pas debout à l'instant du jugement, mais qu'il y soit dans tout autre temps. Néanmoins ce qui dépend du temps, comme l'objet de ce jugement, Zéid est debout^ ou a été debout^ peut donner lieu à un jugement vrai; et si l'on est assuré qu'il est vrai , il pourra être nommé connaissance^ quoique par extension et parce qu'il ressemble à la connaissance, en ce que c'est un jugement vrai, car, dans le sens propre et rigoureux du mot connaissance j la connaissance ne doit varier dans aucun temps JL»Jt iJli

Observons encofe que la connaissance étant un jugement, et un jugement ne pouvant avoir lieu sans une personne qui juge, il ne peut y avoir de connaissance sans qu'il y ait une personne qui connaisse {aliquis nos cens)»

Le jugement porté sur une chose immuable est de deux espèces , selon que celui qui juge cette chose immuable sait ou ne sait pas qu'elle est telle; car autre est le jugement d'une chose immuable, autre le jugement de son immuabilité.

De là, celui qui juge une chose immuable et qui sait que son jugement porte sur une chose telle, est savant non-seulement en cette chose, mais par la connaissance de son immuabilité il sait encore qu'il la connaît de science certaine, et c'est ce qui constitue le vrai connaissant (yere noscens).

Au contraire, celui qui juge une chose immuable sans savoir qu'elle est telle, peut bien être regardé comme savant en cette chose ; mais comme il ne sait pas s'il la connaît de science certaine, parcequ'il ignore si elle est muable ou immuable, et qu'il juge sans l'évidence et non d'une manière absolue, mais par voie d'admission ou de confiance dans la bonté d'une opinion , ou seulement par convenance, il ne peut être appelé connaissant que relativement à la chose et non relativement à son immuabilité, ce qui, réuni, constitue la vraie connaissance.

La connaissance est aussi de deux espèces, connaissance de fait et connaissance virtuelle ^JLxJI

s;£)b .Ut ^j^u

La connaissance de fait est celle qui résulte du jugement de quelqu'un qui juge, et la connaissance virtuelle est celle qui aurait lieu si le jugement était porté.

Et puisque la connaissance est un jugement, et qu'un jugement ne peut avoir lieu sans une per-

( 384 ) sonne qui juge et sans une chose jugée qui est le connu (noturn)^ et qu'en outre la connaissance est de deux espèces, connaissance de fait et connaissance virtuelle, le connu sera aussi de deux espèces : connu de fait et connu virtuellement

Le connu de fait {realiter notum) est celui qui est connu à celui qui peut juger, et le connu virtuellement (yirtualiter notum) est celui qui peut lui devenir connu. a

Nous avons dit qiie le connu doit être une chose 1 imniuahie; ainsi les choses immuables peuvent être considérées sous deux rapports, selon qu'elles sont ou peuvent être l'olîjet du jugement de celui qui juge.

D'après tout ce qui précède, le connu sera nécessairement une chose immuable, que cette chose soit ou ne soit pas encore jugée par celui qui juge.

Les connus se subdivisent encore en tant qu'ils ont ou n'ont pas pour objet la quantité , L^-,j3^l ; nous ne nous occuperons ici que de ceux qui sont relatifs à la quantité.

Or il y a deux espèces de quantité : la quantité discrète ou disjointe et la quantité continue 'L^.b>^\

dUoj! 'L^\^ il^s,aÀj4t.

La quantité discrète est de deux sortes; telles

( 385 ) sont pour la première les lettres qui composent les inots^ et pour la seconde, les nombres; v^j/=^'

La quantité continue estde cinq sortes : savoir /« ligne ^ la surface, le solide, le poids et le temps ou la durée ^ etc. ^L»ptj JiiJtj ^^-4*3:^1 ^ JL^Jt ^ Wt.

Suivent des considérations très-étendues sur les divisions, subdivisions et propriétés de ces sortes de quantités.

L'auteur termine ces prolégomènes par la définition des rapports , ^^ ; il explique ce que l'on entend par lignes connues de grandeur et de position ^^^^ ^j}^'^^^ ■îaà', et passe aux propositions géométriques qui forment le corps de l'ouvrage, divisé, comme nous l'avons dit, en deux livres.

Enoncés des propositions. — livre premier. — Prop. l'^^ Lorsque d'un point connu de position on tire une droite de grandeur connue, l'extrémité de cette droite est sur la circonférence d'un cercle connu de position (i) lo^U^ 'ù^ù ^ ^j=L til

^^1 (Fig. 23.)

Prop. 9.. Lorsque du centre, -^y .;», d'un cer-

(i) Les planches jointes à ce volume reclifieroiit suffisamment ce qu'il y a d'incomplet dans cette proposition et dans quelques aulies.

(386 ) de connu de grandeur et de position, on mène une ligne droite à la circonférence et qu'ensuite on l'incline sous un angle connu, J^ ^^*J' v , lfijL*.fi lij\j et que le rapport de la première ligne a la seconde est connu, J^ÎJ^^IL^^I L.w o^l^ hj.xfi ^^1 l'extrémité de la seconde ligne est sur une circonférence de cercle connue. (Fig. 24.)

Projj. 3. Lorsque d'un point connu de position dans un cercle connu de grandeur et de position, le point connu étant autre que le centre du cercle, on mène une ligne droite à la circonférence et qu'on prolonge cette droite directement , si le rapport de la première ligne à la seconde est connu , l'extrémité de cette seconde ligne sera sur une circonférence de cercle connue de position. (Fig. 20 et 26.)

Prop. [\. Lorsque d'un point connu de position, dans un cercle connu de grandeur et de position, le point étant autre que le centre, on mène une droite à la circonférence , et qu'ensuite on incline cette droite sous un angle connu, si le rapport de la première ligne à la seconde est connu , l'extrémité de cette seconde ligne sera sur une circonférence de cercle connue de position. (Fig. 27 et 28. )

Prop, 5. Lorsque d'un point connu de position on mène à une droite connue de position une au-

' ( 387 ) tre ligne droite, et qu'ensuite on l'incline sous lui angle connu, si le rapport de la première ligne à la seconde est connu, l'extrémité de cette seconde ligne sera une ligne connue de position.

Pwp, 6. Lorsque de deux points connus de po^ sition on mène deux lignes droites qui se coupent en un point où elles forment un angle

connu , ^■'jIP «î^iaiiJt v^CLj JJ£ LLLai.îj 'Ùàii ^^ LjiJLJl j

'ifi^A ee point sera sur une circonférence de cercle connue de grandeur et de position. (Fig. 3o.)

Prop, 7. Lorsque de deux points connus de position on mène deux lignes droites qui se coupent en un point où elles forment un angle connu , et qu'ensuite on prolonge directement une des deux lignes, si le rapport de cette ligne à son prolongement est connu, son extrémité sera sur une circonférence de cercle connue de position. (Fig. 3i.)

Prop, 8. Lorsque de deux points connus de position on mène deux lignes droites qui se rencontrent en un point et qui sont égales entre elles^ le point est une ligne droite connue de position, (fig. 32.)

Prop, 9. Lorsque dedeux points connus de position on mène deux lignes droites qui se rencontrent en un point^ et que le rapport de ces deux

( 388 ) lignes, savoir, celui de la plus grande à la plus petile, est connu, le point de rencontre est sur une circonférence de cercle connue de position. (l-'ig. 33.)

Prop. 10. Lorsque de deux points connus de position on mène deux lignes droites qui se rencontrent en un point, si l'on joint ce point aux deux autres , et ceux-ci entre eux , par des lignes droites, et que le triangle qui en résulte soit connu de grandeur, le point de rencontre sera sur une quatrième ligne droite connue de position. (Fig. 34.)

Prop. 1 1. Si entre deux cercles égaux on mène une droite parallèle à la ligne qui joint les deux centres, et que les deux extrémités de la première ligne soient semblablement placées à l'égard des deux cercles, cette ligne sera égale à celle qui joint les deux centres. (Fig. 35.)

Prop. 11. Lorsque entre deux cercles égaux, connus de grandeur et de position, on mène une ligne droite parallèle à la ligne qui joint les deux centres, et qu'on prolonge directement la droite par l'une de ses extrémités, si le rapport de cette droite à son prolongement est connu, l'extrémité de ce prolongement sera sur une circonférence de cercle connue de grandeur et de position. (Fig. 36.)

Prop. i3. Lorsque d'un point connu de posi-

(389) tion on mène à une ligne droite connue de gran deur et de position, une ligne droite coupant la première et prolongée directement J^ '^T^ (^ Ia'J:u^] ^ si le rapport de cette ligne a son prolongement est égal au lapport des deux parties de la ligne connue de giandeur et de position , l'extrémité du prolongement est sur une ligne droite connue de position. (Fig. 37.)

Prop. 14. Lorsque d'un point connu on mène a une ligne droite connue de grandeur et de position une autre droite qui la coupe, et qu'on prolonge cette droite directement, si le produit de celte droite par son prolongement est égal au produit des deux parties de la ligne a^s}\ ^yo jl,^h

connue de grandeur et de position , l'extrémité du prolongement de la seconde ligne droite se trouve sur une circonférence de cercle connue de position. (Fig. 38.)

Prop. i5. Lorsque de deux points connus on mène à un cercle connu de grandeur et de position deux lignes qui se coupent dans l'intérieur du cercle^ et que l'on prolonge ensuite jusqu'à la circonférence , si le produit des deux parties de l'une des deux lignes est égal au produit des deux parties de la seconde ligne, et que l'on joigne par une ligne droite les deux premiers points

( 390 ) de rencontre des deux lignes avec le cercle, cette droite sera parallèle à celle qui joint les deux points donnés. (Fig. Sg.)

Pwp. i6. Lorsque de deux points connus on mène à un cercle connu deux lignes droites qui se coupent dans l'intérieur du cercle; si, prolongées jusqu'à la circonférence , elles sont divisées par le point de rencontre en même rapport , les deux premiers points de rencontre des deux lignes avec le cercle sont sur une circonférence de cercle qui passe par les deux points connus. (Fig. 4o.)

Pj'op. 17. Lorsque de deux points connus de position on mène à un cercle connu de grandeur et de position deux droites qui se coupent sur la circonférence du cercle, et que l'on prolonge jusqu'à ce qu'elles rencontrent de nouveau la circonférence, si ces deux lignes sont divisées en même rapport à leur point de rencontre, le rapport du produit de l'une d'elles par sa partie comprise dans le cercle, au produit de la seconde aussi par sa partie comprise dans le cercle, est un rapport connu (Fig. [\\.)

Prop, 18. Lorsque deux cercles connus de grandeur et de position sont tangents, et que l'un est dans l'intérieur de l'autre , si l'on mène une droite qui coupe les deux cercles d'une manière quelconque, et que l'on joigne par une ligne droite

Fun des points d'intersection du petit cercle avec le point de tangence, le rapport du produit des deux parties de la ligne qui coupe les deux cercles au carré de la droite qui joint le point de tangence au point d'intersection du petit cercle, est un rapport connu. (Fi g. [\i.)

Prop. 19. Lorsque deux cercles connus sont tangents et que l'un est dans l'intërjeur de l'autre Jà.t>> ^ ^^«,L^:u, si l'on mène au petit cercle une tangente dont l'extrémilé (autre que le point de tangence) soit terminée à la circonférence du grand cercle, et qu'on joigne par une ligne droite cette extrémité au point de tangence des deux cercles, le rapport de cette dernière ligne à la tangente est un rapport connu. (Fig. 43.)

Prop. 20. Les mêmes cercles étant donnés, si l'on prolonge la tangente des deux côtés du point de tangence jusqu'à la grande circonférence, la ligne menée du point de tangence des deux cercles au point de tangence du petit cercle et de la tangente coupera en deux parties égales l'arc de la grande circonférence sous-tendu par la tangente au petit cercle. (Fig. l\l\,)

Prop. 11. Lorsque deux cercles connus sont tangents et que l'un des deux est dans l'intérieur de l'autre, si Ton mène du point de tangence un diamètre commun aux deux cercles, et que par

(392) le point où ce diamètre coupe le petit on mène une droite qui coupe le petit cercle en un second point, celte droite sera divisée, en ce point, en deux parties telles que le rapport du produit de ces deux parties plus un carre , et du carre de la partie comprise dans le petit cercle, est un rapport connu. (Fig. 45.)

Prop. l'i. Lorsque dans un cercle connu de grandeur et de position, on mène un diamètre connu de position et que sur ce diamètre on prend deux points également éloignés du centre; si de ces deux points on mène deux lignes qui se rencontrent en un point de la circonférence du cercle , les carrés de ces deux lignes seront connus, et ensemble égaux aux carrés des deux parties du diamètre (à partir d'un des deux points donnés). (Fig. 46.)

Prop. 2 3. Lorsque de deux points connus on mène deux lignes qui se rencontrent en un point où elles forment un angle aigu, et que la somme de leurs carrés est connue, le point de rencontie est sur la circonférence d'un cercle connu de grandeur et de position. (Fig. 47-)

Prop. il\. Lorsque dans un cercle connu de grandeur et de position on mène une corde , ^^j quelconque, et qu'on la divise en deux parties , si le produit de ces deux parties est connu , le point

(393) (le division "U^] iLiJ est sur une circonférence de cercle connue de grandeur et de position. (Fig. 4^-)

Livre second. — Prop. i. Lorsque d'un point connu on mène à un cercle connu de grandeur et de position une droite qui coupe le cercle; si le point donné est hors du cercle et si le rapport de la partie extérieure de la ligne à la partie qui est dans le cercle est un rapport connu, la ligne sera connue de position. (Fig. 49.)

Prop. 1. Lorsque d'un point connu on mène à un cercle connu de position une ligne droite qui sépare du cercle un segment connu, cette droite sera connue de position. (Fig. 5o.)

Prop. 3. Lorsque d'un point connu on mène à une ligne droite connue de grandeur et de position une autre ligne droite dont le rapport à une des parties de la première est connu, la seconde droite est connue de position. (Fig. 5i.)

Prop. 4. Lorsque d'un point connu on mène à deux lignes parallèles connues de grandeur et de position une ligne droite qui sépare des deux autres lignes deux parties quelconques , si le rapport de ces deux parties est connu, la ligne menée sera connue de position. (Fig. 5 2.)

Prop. 5. Lorsque d'un point connu on mène à une ligne droite connue de grandeur et de position une autre ligne droite; si la somme de cette

(394) ligne et de Fune des deux parties de la première est connue, la ligne menée sera connue déposition. (Fig. 53.)

Prop. 6. Lorsque de deux points connus de position on mène à une droite connue de position deux lignes qui, se rencontrant sur cette droite, forment un angle connu, ces deux lignes sont connues de grandeur et de position.. (Fig. 54-)

Prop. 7. Lorsque de deux points connus on mène à une droite connue de position deux droites qui s'y rencontrent, si le rapport de ces de.ux droites entre elles est connu , ces deux droites sont connues de position. (Fig. 55.)

Prop. 8. Lorsque deux lignes droites parallèles sont connues de position , et que, prenant sur Tune d'elles deux points , on mène par ces deux points deux lignes droites qui se rencontrent sur la seconde parallèle, si le produit des deux lignes menées l'une par l'autre est connu, ces deux lignes sont connues de grandeur et de position. (Fig. 56.)

Prop. 9. Lorsqu'on a deux lignes droites parallèles connues de position , et qu'on prend sur l'une d'elles deux points quelconques, par lesquels on mène deux lignes qui coupent la seconde parallèle et se rencontrent ensuite ; si le triangle forme (par ces deux lignes et la partie intercepte^

( 395 ) de la première parallèle) est connu de grandeur, la partie interceptée de la seconde sera aussi connue de grandeur. (Fig. 57.)

Prop. 10. Lorsque des deux extrémités d'une ligne droite connue de grandeur et de position on mène deux droites sous des angles connus et qui

se rencontrent, iLïi ^ M^'j \j^^)^ \j^r^>^) «J^ ^,ces deux droites sont connues de grandeur et de position. (Fig. 58.)

Prop.i I. Lorsqu'on prolonge l'un des côtés d'un triangle dont les côtés sont connus de grandeur et de position , et qu'on prend sur le prolongement un point connu par lequel on mène une droite qui coupe le triangle et sépare de ses deux côtés vers la base deux parties quelconques, si le rapport de ces deux parties est connu , la ligne menée sera connue de position. (Fig. 69.)

Prop. \o.. Ayant un cercle connu de grandeur et de position et une droite connue de position, lorsqu'on mène une tangente au cercle, qui se termine à la ligne connue de position, si cette tangente est connue de grandeur, elle le sera aussi de position. (Fig. 60.)

Prop, i3. Ayant un cercle connu de grandeur et de position et une ligne droite connue de position , lorsqu'on mène du cercle à la ligne une droite qui l'ait avec celle-ci un angle connu, si la

( 396 ) droite menée est connue de grandeur, elle sera aussi connue de position. (Fig. 6i.)

Prop. \L\. Étant donné entre deux lignes parallèles, ^\^^ 1 connues de position, un point par lequel on mène une droite qui coupe les deux parallèles, si le produit des deux parties de cette droite (à partir du point donné) est connu, la droite sera connue de position. (Fig. 62.)

Prop. i5. Lorsqu'on a un triangle dont les côtés et les angles sont connus, et qu'on mène une ligne du sommet à (un point quelconque de) la base, si le rapport du carré de la ligne au rectangle formé sur les deux segments de la base est un rapport connu , la ligne menée sera connue de position. (Fig. 63.)

Prop. 16. Lorsque deux lignes droites qui se rencontrent sont connues de position, et que, prenant un point entre ces deux lignes, on mène par ce point une droite qui coupe les deux lignes connues de position, si le rapport des deux parties de la droite est un rapport connu, celte droite sera connue de grandeur et de position. (Fig. 64.)

Prop. 17. Lorsque deux lignes droites qui se rencontrent sont connues de position, et que, prenant un point entre ces deux lignes, on mène par ce point une droite qui coupe les deux lignes connues de position, si le produit des deux par-

( 397 ) lies de la droite est connu , celte droite sera connue de grandeur et déposition. (Fig. 65.)

Prop, i8. Lorsque dans un cercle connu de grandeur et de position on mène une corde qui sépare du cercle un segment connu , et qu'ensuite on prend sur l'un des deux arcs un point autre que le médial, et que de ce point on mène une droite à l'autre segment (jusqu'à la circonférence), puis que des deux extrémités de la corde on tire à ce point deux lignes droites, si le rapport de la somme de ces deux lignes à la première est un rapport connu, cette première ligne sera connue de grandeur et de position. (Fig. %^^

Prop. 19. Lorsqu'un des angles d'un triangle est connu , et que du sommet de cet angle on mène une droite qui le divise en deux parties connues, si le rapport des deux segments de la base est égal au rapport de l'un des côtés de l'angle à la ligne, le rapport de cette ligne à l'autre côté sera connu. (Fig. 67.)

Prop. ao. Lorsque les trois angles d'un triangle sont connus, si de l'un des angles on mène une droite qui divise la base 'i^\3 ^^JLi (ou côté opposé, en deux parties qui soient) dans un rapport connu, la droite sera connue de position. (Fig. 68.)

Prop. '11. Lorsque sur la circonférence d'un

(398) cercle connu de grandeur et de position on prend deux points par lesquels on mène deux droites qui se rencontrent en un autre point de cette circonférence et qu'on joint aussi par une droite les deux points donnés, si le triangle formé est connu de grandeur, les deux lignes menées des deux points seront chacune connues de grandeur et de position. (Fig. 69.)

Prop. 22. Lorsque sur la circonférence d'un cercle connu de grandeur et de position on prend deux points par lesquels on mène deux droites qui se rencontrent en un autre point de cette circonférence, si le produit des deux droites est connu , chacune de ces droites sera connue, de grandeur et de position. (Fig. 70,)

Prop. 23. Lorsqu'on a un cercle connu de grandeur et de position, et une droite connue de position, et qu'on mène une autre droite qui coupe le cercle et aboutit à la ligne connue de position, si la droite menée est coupée par la circonférence en un rapport connu (celui de la partie comprise dans le cercle à la partie compiise entre la circonférence et la ligne), et que l'angle formé par cette droite et la ligne soit connu, la droite sera connue de grandeur et de position. (Fig. 71.)

Prop. il\ et 25. Lorsqu'on a deux cercles connus de grandeur et de position , et qu'on mène une

( 399 ) dloite tangente aux deux cercles, cette droite est connue de grandeur et de position.

Premier cas on prop. i[\. Si les deux points de tangence sont d'un même côte de la ligne qui joint les centres. (Fig. 72.)

Deuxième cas ou prop. 25. Si les deux points de tangence ne sont pas d'un même côte de la ligne qui joint les centres. (Fig. 73.)

Telles sont, dit en terminant Hassan-ben-Hai* them , les choses que nous avions à dire ; elles sont d'une utilité majeure pour la résolution des questions géométriques, et n'ont été dites par aucun des anciens géomètres, et, comme ce que nous en donnons suffit à notre dessein , nous finirons ici cet opuscule.

La proposition suivante se trouve placée à la suite de l'ouvrage :

« Étant donné un quadrilatère incliné, recon- « naître si on peut y circonscrire un cercle ou non.»

Marquez les angles par les lettres ABCD, prolongez CD directement vers G, vous aurez l'angle GCÀ; prenez sur CG la quantitéCH et sur CA la quantité Cï, puis sur BD prenez BK =:CH, et sur BA, BI = GT ; mesurez la distance de H à T, et si cette distance est égale à celle de 1 à K , on pourra inscrire le quadrilatère dans un cercle ;

( 4oo) mais si elle est plus petite ou plus grande, on ne le pourra pas.

En effet, dans tout quadrilatère incliné, si deux angles opposés sont égaux à deux droits (comme A CD et ABD valent deux angles droits), les deux angles DCA et ACG valent aussi deux droits; or, l'angle ACD étant adjacent, il reste ACG égal à ABD. Ajoutez : un cercle qui passera par trois des angles passera aussi par le quatrième.

En faisant suivre l'analyse que nous venons de donner du Traité des cofimws géométriques ^àe celle de quelques fragments compris dans le manuscrit arabe n^ iio4, et intéressants à différents titres, nous montrerons que souvent les mathématiciens arabes ont émis les idées les plus ingénieuses. Trois sont du géomètre Al-Sindjiari (i), Ahmed-ben- Mohammed-ben-Abd-al-Gélil, que Montucla cite(iA) sous le nom d'y^ssingiari ou^ y^l-Sindgiar, comme Fauteur d'un Traité sur /es sections coniques (^), et

(i) D'Herbelot parle sans doute de cet auteur, lorsqu'il rapporte que Sandjiari est le surnom d'Abou-Said-Ahmedben-Abd-al-Gélil-il/o/i<7/??w^r/, auteur du livre intitulé : Ahkani alaschar men hetah alnogioumy et d'un autre qui porte le titre ù^Ekhtiarat; ce sont, dit-il, deux manuscrits astrologiques. Biblioth. orient., p. 757.

(2) Montucla, Hist. des mathématique s, t. I, p, 374»

(3) La bibliothèque de Leyde j)ossède le traité de Ahmcdben-Gélil sur les sections coniques; il est intitule : iL;Lwj

d'un manuscrit intitulé : Rcsponsa mathematica. Dans l'un de ces trois opuscules , Règles géométriques L^jjL^JÎ ^^\^\ J^^sr^*, Al Sindjiari renvoie a deux ouvrages de sa composition , le premier intitulé : Notes ou corollaires géométriques ^lxIjo 'L^ôJJb (i), le second. Des propriétés de F ellipse ^LJI «.iiîJt rf^y=^ ^ w^L:;S'; les deux derniers sont : un Traité des lignes menées d'un ou de plusieurs points dormes à des cercles donnés ; i^ une Réponse à des questions qui lui sont proposées sur le livre des Lemmes d' Archimède (2).

'l\^y^\ AXjlW ^j J, ^j^^\ Ji=i. ^ji :^^^, Ahnied-ben-Ghalil-Sugiureus, De conicaj^um sectionum descriptione , n" 1098 du catalogue de 17 16.

(i) Le sens du mot v >'LilJU!j* ou ^JLxJ* est expliqué dans

les notes sur Abd-Allatif ; il signifie proprement des notes mises par écrit à la hâte ; voyez Silvestre de Sacy, Relation de l'Egypte, p. 485. D'Herbelot dit [Bibl. orient., p. 848) qu'il y a plusieurs Tdlikat, qui sont comme des suites et dépendances des matières déjà traitées par d'autres auteurs. Al-Sindjiari

renvoie souvent à ses 'i^.^X^ d^La^Lô* pour les démonstrations, et nous avions cru devoir traduire ces deux mots par: Corollaires géométriques.

(2) On ne peut guère douter aujourd'hui que le livre des Lemmes ne soit d'Archimède; MM. Greaves et Foster le firent connaître les premiers en 1669, socis le titre de Lemmata Archimedis, en le traduisant de l'arabe; et Alphonse Boreili le publia de nouveau en 16G1 , également d'après l'arabe et avec les notes de deux de ses commentateurs, l'un nommé Al- Mochtasso-Aboul-Hassan , et l'autre Abou-Sahal-al-Cuhi. Voy. Montucla, 1. 1, p. a'iy. L'article suivant de la Bibliothèque

Vient ensuite un Chapitre de VEpitome de IHmam Muzhaffer-al-Isferledi, sur les éléments d'Euclide, puis un Fragment qu'on peut supposer d'Averroès (Aboul-Walid- Mohammed) sur la trigonométrie sphérique, assez important, en ce qu'il peut donner l'époque de l'introduction des propositions qui y sont présentées. Averroës vivait en l'an iï8o de J. C. (576 de l'hégire).

Réponse de Al-Sindjiari aux demandes qui lui ont été faites sur la solution de propositions tirées du livre des Lemmes d'Jrchimède ^ ^x^a. I l) L^ .

Cet opuscule commence ainsi : « J'ai reçu votre lettre qui contient des questions sur des propositions dont vous me demandez la solution ; j'aurais beaucoup de plaisir à vous les expliquei", mais j'ai

orientfile de D'Herbelot confirme cette dernière indication . « Kctab maakhoudhat fi ossoul al-hendassah li Arschemides : « titre d'un livre de géométrie d'Archimède, traduit du grec « en arabe par ïhabeth-ben-Corrah, avec un commentaire « d'Abou-Hassan-Ali-ben-Ahmed-al-Nessoui, avec 1 5 figures « qui ont été dressées par Nassir-eddin-al-Thousi. Il y a aussi « un discours sur le même ouvrage, de Soliaïl-al-Caouni , in- « titulé : Teziin ketah Arschemides fil-maakhoudhat. » D'Herbelot, p. 977.

Thébit-ben-Corrah vivait au troisième siècle de l'hégire (221-288 de l'hégire, 835-90o ap. J. C), et Nassir-eddin- Thousi au septième (597-672 de l'hégire, 1200-1273 après J, C).

reconnu qu'elles sont tirées du livre d'Arcbiraède intitulé : Des Lemmes , et que leurs démonstra« lions sont dans ce livre telles que les a données son auteur. Je puis cependant vous être à ce sujet de quelque utilité ; car je me suis spécialement occupé de plusieurs propositions qu'Archimède n'a pas traitées complètement ;*mais, pour toutes celles qu'il a développées, je vous renvoie à son livre, n'ayant rien de mieux a dire, etc.»

Voici l'énoncé des propositions : Prop. i^^. Étant donnés deux arcs de cercle tangents et deux lignes parallèles menées des deux centres à l'une des extrémités de chaque arc, les deux lignes menées du point de tangence à ces extrémités auront la même direction. (Fig. 76. )

Prop. 1. Étant donné un cercle ABD, si on mène le diamètre AB, la tangente BC, la ligne ADC, et la tangente DE, je dis que EB = EG. (Fig. 76.)

Prop. 3. Etant donné l'arc S'SG, sur la corde S'G, je prends S'RS, que je divise en deux parties égales en K ; je mène S' K , RS, SG 5 je prends KA = KS', et je dis, comme l'auteur, AG= S G.

Prop. l\. Si dans un demi-cercle on construit deux demi-cercles tangents, on a la figure nommée salianous ^^yJL- , laquelle est égale au cercle qui

a pour diamètre .Ja's la perpendiculaire menée du point detangence (des deux demi-cercles inscrits) à la circonférence extérieure. (Fig. 78.)

Prop, 5. Étant donné un demi-cercle GS', je marque sur le diamètre un point quelconque K , et je trace sur le diamètre les deux demi-cercles GR, RS'; cela étant, si l'on mène KK' perpendiculaire au diamètre, et que l'on construise de chaque côté de cette ligne un cercle correspondant, les deux cercles ainsi décrits seront égaux.

(Fig- 79-)

Prop. 6. Soit un demi-cercle GS', et soit marqué sur son diamètre un point K , tel que RS' = ^J^^Jji» ^^ j 'iy ^t5j ji^j ; sur les deux lignes GK et KS', décrivez deux demi-cercles, et dans l'espace compris entre les trois circonférences, faites un cercle tangent à toutes trois, et menez le diamètre R'A parallèle à GS' : on demande le rapport de R'A à GS'. (Fig. 80.)

Prop. 7. Si dans un cercle donné on inscrit un carré et dans ce carré un autre cercle, le premier sera double du second. (Fig. 8r.)

Prop. 8. Sur la trisection de l'angle. (Fig. 82.)

Prop. 9. Étant données deux cordes qui se coupent à angle droit dans un cercle, les sommes des arcs opposés sont égales. (Fig. 83.)

Prop, ro. Étant donné un cercle GAR', je mène

( 4o5 ) les tangentes S'G, S'K et la sécante S'K, je mène K'A parallèle à S'K, je joins AG et je mène SH perpendiculaire sur AR', et je dis que AH = HK'. (Fig. 84.)

Prop. M. Lorsque deux cordes se coupent en un cercle dans un point autre que le centre, la somme des carres des quatre segments est égale au carré du diamètre. (Fig. 85.)

Prop. 12. Étant donné un demi-cercle, sur son diamètre GK je mène du point S' deux tangentes au cercle S'K', S'A ; je joins R'K et AG qui se coupent au point B , et je mène S'BS, laquelle est perpendiculaire à KG. (Fig. 86 et 87.)

Prop. I 3. Si dans un cercle on mène le diamètre AB et la corde EG, et qu'on abaisse sur la corde les deux perpendiculaires AH et BT,les deux lignes EH et TG seront égales. (Fig. 88.)

Prop. 14. -Étant donné un cercle ABC, menez les deux diamètres AC, BD qui se coupent à angle droit, décrivez autour du centre E le demi-cercle GHT; sur BG le demi-cercle BKG, et sur DT le demi-cercle DLT. Je dis que le cercle décrit sur GH (comme diamètre) sera égal à la surface ABKGHTLDA, qu'on nomme salinoune j^o^-LJt.

Prop. i5. Cette proposition est la dernière du Traité ; Al-Sindjiari nous apprend qu'il l'a résolue

(4o6 ) sur la demande de quelques géomètres du Kborasan .Lwtj^ ^^s^^ ip*-^-

Étant donné un cercle DKS' , je mène KG coté du pentagone inscrit ^.^o^îy^ et RV côté du décagone inscrit JuxJly'j ; je prolonge RV et S'G jusqu'à ce qu'ils se rencontrent en A, et je mène YS' et SH perpendiculaire sur AS' ; je dis que AH est égale au rayon .JaiJ! ^J^. (Fig. 90. )

Quelques règles géométriques par Al-Sindjiari,

llH "^ Lji '^^•v^^^ OjJ^t A-^jj^l ^tyi3t St^'^

Ce petit traité comprend onze propositions. Prop. i^^' Étant donnée une ligne AB et décrits sur cette ligne un demi-cercle et deux arcs opposés (à deux angles dont l'un soit obtus et l'autre aigu), savoir ACB , ADB et AEB ; les deux arcs étant tels que les deux angles opposés soient ensemble égaux à deux droits ;

Prolongez le diamètre des deux côtés, de manière que AG=BH, et prenez aussi Aï = BR; puis menez par les points GAÏRBH , à la demicirconférence ÂGB, les lignes GC, AC, TC, RC, BC, HC; prolongez HC vers E et menez AE, AD; je dis que la somme des deux carrés ^^y ^^^^ de AC et de BC sera égale au carré de AB , et que la somme des deux carrés de TC et RC sera égale

( 4o7 ) à la somme de deux lignes quelconques menées des deux points T et R à la demi-circonfërence ACB y et que la somme des deux carrés de GC et HC sera égale à la somme des carrés de deux autres lignes quelconques menées des points G et H à la demi-circonférence ACB; que la somme des carrés de AD et DB sera égale au carré de AB , moins le produit de BDpar DE ; et que la somme des carrés de AE et BE sera égale au carré de AB , plus le produit de BE par DE. Démonstration : Quant à l'égalité du carré de AB aux deux carrés de AC et BC , cela provient de ce que l'angle ACB est droit; quant à l'égalité des carrés des deux lignes TC et CK et de GC et CH aux carrés de deux autres lignes menées des points ï et K , et G et H à la demi-circonférence, nous l'avons démontrée dans nos /Votes ou corollaires géométriques Ul-jL-jl/ ^ 'L^^jjb yji^lllnJ J,(i); nous y avons aussi démontré que le carré de AB surpasse les deux carrés de AD, DB du produit de BD par DE, et que ce même y carré de AB est moindre que la somme des carrés de AE et BE du produit de BE par ED. (Fig. 91.)

(i) Voy. ci-dessus, p. /joi, noie i*"* — On reconnaît par là, et par les autres démonstraticuis que l'auteur renvoie à plusieurs de ses ouvrages, que ce traité est vraiment, comme celui qui précède, une lettre adressée à quelques personnes qui lui demandaient la solution de ces diverses questions.

Prop. 2. Proportions remarquables qui résultent de la construction suivante :

Du point F, comme centre, décrivez les trois cercles ATB , EOG, CND, et le diamètre du plus grand cercle, AB; je dis que si les lignes menées de A et B à la circonférence du cercle ATB coupent la circonférence EOG, et si les lignes menées de D et C coupent la circonférence CND, comme par exemple si l'on mène BT, BH et DK, DL, on aura BO X OTrrrBS X SH ctDL X LN=DK x RM. (F. 92.)

Prop. 3. Etant donnés sur la circonférence d'un cercle deux points A et B, joignez ces deux points par une droite; parle point A menez AG tangente au cercle et AD, de manière que l'angle BAD égale l'angle BAC; toute ligne menée de B sur AD sera coupée par l'arc AB, et le produit de la ligne entière par sa partie intérieure donnera toujours le même résultat etsera égal au carré de AB.(Fig. gS.)

Prop. 4. Le point A étant r° hors du cercle? 2° dans le cercle :

I® Les deux sécantes seront réciproquement proportionnelles à leur partie extérieure;

2° Les deux cordes se couperont en parties réciproquement proportionnelles. (Fig. 94 et 95.)

P/vp. 5. Si deux cercles sont tangents en un point X et que par ce point on mène deux lignes

(4o9) clans les deux cercles, les parties de chaque ligne comprises dans ces deux cercles seront directement proportionnelles. (Fig. 96 et 97.)

Prop. 6. Si par un point donné hors d'un cercle on mène deux tangentes à ce cercle et qu'on joigne les deux points de tangence par une droite, toute ligne AD menée du point A donnera la proportion AD : AG: :DE : EG. (Fig. 98.)

Prop. 7. Si l'on divise le grand axe de l'ellipse ^Ul ^iiJt Jy^î^ias en trois parties telles que le produit de deux de ces parties contiguês par la troisième placée à l'extrémité du diamètre soit égal au carré du petit axe^^*^"^! ^f=^^ ^S^ ^y^ ^^ somme des deux lignes menées de chaque point de division à un point quelconque de l'ellipse sera égale au grand axe. (Fig. 99.)

Prop. 8. Soit ACB une ellipse et un cercle dont le grand axe est AB et le petit axe CD; si l'on prend AB : CD : : CD : BE, qu'on mène BE perpendiculaire à AB et qu'on joigne AE, toute perpendiculaire comme HT menée d'un point de la circonférence de l'ellipse ou du cercle sur le diamètre et prolongée jusqu'à la ligne AE en G, donneia TG x ÏB, et on aura TH : CL : : ÏG X TB : LM X LB. Ceci se fonde sur les propriétés élémentaires de l'ellipse, et l'auteur ajoute qu'il en a

( 4io )

donné la démonstration dans la 72^ proposition de son traité des propriétés de l'ellipse Lx-L J-ilj

^Ut slLsH] (Fig. Too et 101.)

Prop. 9. Trouver la circonférence d'un cercle lorsqu'on a deux droites menées de deux points donnés à un point quelconque de cette circonférence, et que le rapport de ces deux droites est connu (Fig. 102.)

Prop. 10. Étant donnés le cercle ACBD et les deux points A et B sur sa circonférence ; si l'on divise l'arc ADB en deux parties au point D, qu'on joigne AB et qu'on mène AC, BC, DC, le rapport de AC à BC sera égal au rapport de AE à BE. Cette proposition est incomplètement traitée dans Euclide. (Fig. io3.)

Prop. II. Étant menées à un cercle donné deux tangentes parallèles et deux autres lignes des points de tangence à la circonférence du cercle , prolongées jusqu'à ce qu'elles rencontrent les deux tangentes , le diamètre sera moyen proportionnel entre les deux parties interceptées des tangentes; et si par un point quelconque d'une des tangentes on mène une^ autre tangente au cercle prolongée jusqu'à la seconde tangente parallèle, le rayon sera moyen proportionnel entre

(4ii)

les deux parties interceptées rJes tangentes parallèles et le diamètre.

L'auteur fait observer qu'il a démontré ces propositions dans ses L^x.s> c^LiLl*j* (i).

Opuscule d! Al'Sindjiari sur les lignes menées dans des cercles donnés par des points donnés.

Ce petit traité contient treize questions. Prop. I. Étant donné un cercle dont le centre est connu et dans ce cercle un point, mener par ce point une droite terminée parles deux extrémités à la circonférence, et divisée au point donné en deux parties qui soient entre elles comme deux lignes données. (Fig. io5.)

Prop, Si. Par un point donné dans un cercle, faire passer une corde divisée en ce point, de manière que la somme des carrés de ses deux parties soit égale à une surface rectangulaire donnée. (Fig. io6.)

Prop. 3. Par un point donné dans un cercle , mener une corde égale à une ligne donnée plus petite que le diamètre. (Fig. 107.)

Prop. 4. Par un point donné dans un cercle,

(i) Voy. ci-dessus , p. 4oi, note i''.

faire passer une droite telle que le rapport du carré de Tune de ses parties au carré de l'autre partie soit égal au rapport de deux lignes données. (Fig. io8.)

Prop. 5. Par un point donné hors d'un cercle, mener une droite divisée par la circonférence, de manière que le rapport de la partie extérieure à la partie intérieure soit égal à celui de deux lignes données. (Fig. 109.)

Prop. 6. Par un point donné hors d'un cercle, mener à ce cercle une droite telle que le carré de la ligne entière et le carré de la partie extérieure égalent une surface donnée. (Fig. i to.)

Prop. 7. Par un point donné hors d'un cercle, mener à ce cercle une droite qui soit divisée par la circonférence en deux parties telles que Tune de ces parties soit égale à une ligne donnée. (Fig.

Prop. 8. Par un point donné hors d'un cercle, mener une droite divisée par la circonférence en deux parties telles que leur produit ^yo soit égal à une surface donnée. (Fig. 112.)

Prop. 9. Par les deux extrémités du diamètre d'un cercle donné, mener deux cordes qui se coupent respectivement selon deux rapports donnés (Fig. ri 3.)

Prop. 10. Fiant dounés deux points sur la cir-

( 4.3 ) conférence d'un cerclt et deux rapports, mener par les deux points donnés deux lignes qui se rencontrent et soient coupées par la circonférence de ce cercle, suivant les deux rapports donnés.

Soit le cercle ABC , les deux^points A et G sur la circonférence, les deux rapports DTI : HZ et HT : T'K', etc. (Fig. ii4et ii5.)

Pi op. II. Mener de deux points donnés A et B sur la circonférence d'un cercle deux lignes qui se rencontrent en un point, et dont le rapport soit égal à un rapport donné ; puis diviser la droite qui joint ces deux points en deux parties qui soient entre elles dans le même rapport. (Fig. ii6.)

P?vp, 12. Mener de deux points donnés sur la circonférence d'un cercle deux lignes qui se rencontrent en un point de cette circonférence, et qui soient telles que leur produit soit égal à une surface donnée. (Fig. 117.)

Prop. i3. Mener par deux points donnés sur la circonférence d'un cercle deux lignes qui se rencontrent en un point de cette circonférence, et qui soient telles que la somme de leurs carrés soil égale à une surface donnée ( 1 ). (Fig. 1 1 8 et 1 1 9.)

(i) Le manuscrit porte que ces opuscules d'Ali-Sindjiari ont été achevés au mois de Schawal de l'année 589 de l'hégire (1144 de J. C). C'est sans doute la date de la copie.

Quatorzième livre de CEpitome de Viman Muzhaffer-al'lsferledi sur les Eléments d'Euclide.

Ce Mekalat comprend onze propositions el répond au i4® livre des Éléments d'Euclide, qui n'en contient que sept. Prop. i. Étant donné un cercle ABC, dont le centre est en D, ADG le diamètre, GB la corde du lo^, BC la corde du 5^; je dis que la perpendiculaire DE est la moitié de la somme deDG + GB. (Fig. 120.)

Prop, 2. Les mêmes choses étant données, et de plus AB la corde d'un angle intérieur du pentagone ^/**=^; je dis que la somme des carrés de AB et BC égale cinq fois le carré de DG (du rayon). (Fig. 121.)

Prop. 3. Soit AB le diamètre d'une sphère j^^ tS] la base du dodécaèdre inscrit jj't ^i Vjxli 2J^liyL& le pentagone CDP^GH; et la base de l'icosaèdre inscrit «j^li ^^j^\ ^'^ «j^Ls, le triangle TRL; si l'on inscrit ces deux bases en deux cercles dont l'un ait pour demi-diamètre IC et l'autre pour demi-diamètre OL, je dis que les deux cercles sont égaux. (Fig. 122, i23.)

Prop. 4' Le pentagone ABCDE, l'une des bases (^Jaces^ du dodécaèdre étant inscrit en un cercle

(4i5 ) dont le centre ^^ est en G, et GT étant perpendiculaire sur CD; je dis que GT, multiplié par 3o fois CD ''èj^ f^i j^ ^Lj^ est égal à la surface du dodécaèdre. (Fig. 124.)

Prop. 5. Le triangle ABC, l'une des faces de l'icosaèdre, étant inscrite un cercle don! le centre est en D, et DE étant perpendiculaire sur BC ; je dis que DE multiplié par 3o fois BC est égal à la surface de l'icosaèdre. (Fig. i^S.)

Prop. 6. Le rapport de la surface du dodécaèdre à celle de l'icosaèdre est égal au rapport du côté cube ^^^^^aOî «.JU, au côté de l'icosaèdre , lorsqu'ils sont tous inscrits à la même sphère t^t U=.!^'»/ JL^cuJl^. (Fig. 126.)

Prop. 7. Le pentagone régulier ABCDE étant inscrit à un cercle dont le centre est en L et dont le diamètre est ATG, je mène EB corde d'un angle intérieur du pentagone et EL (rayon). Soit de plus LH moitié de AL et TK égale à deux fois KB. Je dis que AH, qui est égale aux 3/4 du diamètre , multipliée pir EK qui est égale aux 5/6 de EB, corde de l'angle du pentagone , est égale à la surface du pentagone. (Fig. 127.)

Prop. 8. Le pentagone ABCDE et le triangle ATG étant inscrits à un même cercle dont le diamètre est ALK, et étant les deux faces des deux solides inscrits à la même sphère ; je dis que le

rapport du pentagone ABCDE , pris douze fois, au triangle ATG pris \ingt fois, est égal au rapport de la ligne BE? qui est le côté du cube, à la ligne TG, qui est le côté de l'icosaèdre. (Fig. 128.)

Prop. 9. AB élant divisée en G en moyenne et extrême raison, G et T comprenant virtuellement s^ 3^.. AB , AC? je dis que le rapport de G à ï est comme le rapport du côté du cube au côté de l'icosaèdre inscrit à la même sphère. (Fig. 129.)

Prop. 10. Le rapport du dodécaèdre à l'icosaèdre est comme le rapport de la surface du dodécaèdre à celle de l'icosaèdre, lorsqu'ils sont inscrits à une même sphère.

Prop. 1 1. AB étant divisé en C en moyenne et extrême raison , et KL en F, et la plus grande des deux parties étant AC et KF; soit CE qui comprend virtuellement AE, AC; CH qui comprend BH, BC; FN qui comprend KN, RF; et FS qui comprend LS , LF , je dis que CE : CH : ; FN : FS. (Fig. i3o— i3i.)

Opuscule relatif à la trigonométrie sphérique attribué à Ahoul-TValid. Nous sommes porté à croire que cet Aboul-Walid -^V ^' ^^bï^' est le même qu'Averroés , qui se nommait Aboul- Walid Mohammed-Ben-Roschd, et qui a composé un commentaire sur l'Almageste.

L'auteur commence ainsi : Ces propositions sont celles que j'ai ajoutées aux spbériques J,| J^" pour l'intelligence parfaite de TAlmageste ; elles ont pour objet des triangles formés par des arcs dont chacun est plus petit que le demicercle, et qui appartiennent à de grands cercles qui se coupent sur la surface de la sphère, en quoi nous différons de Ptolémée, qui a considéré ces triangles comme s'ils étaient formés par des lignes droites, ainsi qu'il lui a plu de le faire.

Énoncé des propositions :

Prop. 1^®. Lorsque des cercles se coupent sur la sphère et qu'il en résulte trois arcs, chacun plus petit qu'un demi-grand cercle , si deux de ces arcs sont égaux , les deux angles adjacents à la base (le 3^ coté) sont égaux. (Fig. i32.)

Prop. 1. Étant donnés deux triangles spbériques formés par des arcs de grand cercle, ^«^ JJûc^jtj^ ^ ^^* dont chacun est plus petit que le demi-grand cercle , si deux côtés de l'un de ces triangles sont égaux aux deux côtés correspondants de l'autre , chacun à chacun , et que l'angle compris entre les côtés égaux soit le même dans chaque tiiangle, les bases sont égales et les triangles égaux ; de plus , les deux autres angles sont aussi égaux, chacun à chacun, dans les deux triangles. (Fig. i33.)

Prop. 3. Étant donné un triangle ^±y^ dont deux côtés sont égaux , les deux angles adjacents à la base ï^XcLiîM ^y seront égaux; et si l'on prolonge les deux côtés égaux au-dessous de la base , les angles formés au-dessous seront aussi égaux. ("Fig. i34.)

Pî'op. 4. Lorsqu'un triangle a deux angles égaux, les côtés opposés à ces angles sont égaux entre eux. (Fig. f35.)

Prop, 5. Lorsque des extrémités d'un arc plus petit qu'un demi-grand cercle on a mené deux arcs, chacun plus petit qu'un demi-grand ceicle et qui se rencontrent en un point; je dis qu'on ne peut des mêmes points de départ mener du même côté deux arcs égaux aux deux premiers , chacun à chacun.. (Fig. i36.)

Prop. 6. Lorsque deux triangles sphériques ont les trois côtés égaux chacun à chacun , les angles opposés aux côtés égaux sont égaux entre eux. (Fig. f37.) ^

Prop. 7. Etant donné un arc plus petit que le demi-grand cercle , et sur cet arc un point quelconque, mener par ce point un arc perpendiculaire à l'arc donné. (Fig. i 38.)

Prop. 8. Tout arc élevé sur un autre arc , ^y J^ vj-^ p-iL> forme ou deux angles droits ou deux angles égaux à deux droits. (Fig. iSq.)

Prop. 9. Lorsque deux arcs se coupent, les angles opposés au sommet sont égaux. (Fig. ]4o.)

Nous pourrions faire suivre cette partie de notre tiavail d'une nomenclature des géomètres arabes dont les manuscrits n'ont point encore été l'objet d'une étude sérieuse; mais comme le dit fort bien Montucla (i) : « L'histoire des sciences chez « un peuple consiste moins à accumuler des noms « d'écrivains et des titres d'ouvrages qu'à déve- V Jopper les progrès qu'elles y ont faits; » nous nous contenterons donc de remarquer que le peu que nous connaissons des mathématiciens arabes doit nous donner de leurs travaux une opinion très-favorable ; si l'on ne s'est pas encore occupé des traités qu'ils ont composés sur l'arithmétique, on ne peut douter que nous ne leur devions notre système de numération décimale. L'examen d'un assez grand nombre de manuscrits, nous a montré que la forme des chiffres usités en Orient s'était altérée en Afrique et en Espagne, pour devenir insensiblement identique à celle de nos chiffres modernes, et l'explication de ces modifications successives pourrait être l'objet d'un curieux mémoire.

(i) Montucla, Hist. des Sciena^s mathématiques, lome I®', p. 375.

On a vu qu'en géométrie, les Arabes avaient porté leur attention sur des questions de l'ordre le plus élevé, et qu'ils avaient fait faire à la science de notables progrès; la substitution des sinus aux cordes , l'introduction des tangentes dans les calculs irigonométriques, l'application de l'algèbre à la géométrie, la recbercbe de la solution des équations cubiques, des idées justes sur la catoptrique, etc., prouvent que les savants de l'école de Bagdad se livraient aux spéculations les plus abstraites, et si l'on songe qu'ils ont cultivé les diverses branches des mathématiques avec une égale persévérance, on reconnaîtra que, bien loin de mériter la qualification à^emhelecadores falsarios y chimeristas , ils ont été véritablement doués du génie d'invention , et que , sous ce rapport , Topinion des historiens de la science doit être réformée.