AB' 01 R

AB ■" OH "~ OH ' mais nous avons vu plus haut (172) que

OH

Ra 2Ra

donc A'B' :

Rapport de la circonférence au diamètre.

174. Définitions. — On appelle ligne brisée régulière une ligne brisée qui a ses côtés égaux, ses angles égaux et qui est telle que de trois côtés consécutifs le premier et le troisième sont du même côté par rapport au deuxième. On démontre comme au n° 165 qu'une ligne brisée régulière peut être inscrite à un cercle et circonscrite à un autre cercle concentrique au premier. Le centre commun à ces deux cercles s'appelle le centre de la ligne brisée. On définit le rayon et Vapothème comme pour les polygones réguliers.

Une ligne brisée régulière ou non est convexe quand tous ses côtés sont du même côté par rapport à l'un d'eux prolongé indéfiniment.

175. Définition de la longueur d*une circonférence.— On ne peut pas faire coïncider un arc de cercle, quelque petit qu'il soit, ni avec un segment de droite, ni avec un arc de cercle de rayon différent. On ne peut donc pas mesurer les arcs au moyen des droites et, dans tous les cas, si l'on parle de cette mesure ainsi faite, il importe de définir nettement ce qu'on entend par là.

On appelle alors longueur d'un arc de cercle la limite commune vers laquelle tendent les périmètres des lignes brisées régulières convexes inscrites et circonscrites à cet arc, quand le nombre des côtés de ces lignes augmente indé> Animent, de manière que chacun des côtés tende vers zéro .

De même, on appelle longueur d'une circonférence la limite commune vers laquelle tendent les périmètres des polygones réguliers convexes inscrits et circonscrits à cette circonférence, quand le nombre des côtés de ces polygones augmente indéfiniment, de manière que chacun des côtés tende vers zéro.

On démontre, d'ailleurs : 1" que les périmètres des polygones inscrits ont une limite ; 2» que les périmètres <i^s polygones circonscrits ont une limite qui est la même crue celle des périmètres des polygones inscrits ; 3* que cette

limite commune est indépendante de la loi d'accroissement du nombre des côtés.

176. Théorème. — Les longueurs de deux circonférences sont proportionnelles aux rayons.

Appelons, en eflfet, C et C les longueurs de deux circonférences de rayons respectifs R et R'. Dans ces circonférences, inscrivons deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés, et soit P le périmètre du polygone inscrit dans la première, P' celui du. polygone inscrit dans la deuxième. Nous avons vu que l'on a

Mais cette égalité a lieu quel que soit le nombre des côtés des deux polygones. D'autre part, quand le nombre des côtés augmente indéfiniment, de manière que chaque côté tende vers zéro, P et P' ont respectivement pour limites C et C. On a donc

C ~" R' * 177. Corollaire. — Le rapport de la circonférence au diamètre est un nombre constant, c'est-à-dire le même pour toutes les circonférences.

L'égalité — - = — peut en eflfet s'écrire successivement ti R

Pour une autre circonférence de rayon R" on aurait encore

2R - 2R' " 2^ ' ^^^'' ce qui démontre la proposition.