Théorème. — Des portions de droites parallèles

comprises entre des plans parallèles sont égales. -

Soient AB et CD deux portions de droites parallèles comprises entre deux plans parallèles P et Q. Appelons R le plan de ces deux droites et coupons les plans P et Q par le plan R ; soient AC et BD les deux droites d'intersection obtenues. La figure ABDC est un parallélogramme, puisque AC est parallèle à BD (229) et que AB est parallèle à CD. On a donc bien AB = CD.

237. Remarque. — En particulier, si AB et CD sont perpendiculaires au plan P, elles sont parallèles (222) ; de plus elles sont perpendiculaires au plan Q; donc deux plans parallèles sont partout équidistants,

238. Théorème. — Lorsque deux angles, dans l'espace, ont leurs côtés parallèles et de même sens, ils sont égaux et leurs plans sont parallèles.

Soient ABC, DEF les deux angles. Prenons AB = DE et PC = EF, puis menons les droites DA, EB et FC. Les figures EBAD, EBCF sont des parallélogrammes (77) ; on a donc BE = AD == CF. D'autre part, les deux droites AD et CF étant

parallèles à BE sont parallèles entre elles et la figure ADFC est

aussi un parallélogramme ; il

en résulte que AC est égal à DF. Mais alors les deux triangles ABC et DfilF ont les trois côtés égaux, chacun à chacun ; donc les angles ABC et DEF sont égaux.

Il reste à prouver que les plans de ces angles sont parallèles. Pour cela, appelons P et Q ces deux plans respectifs, et imaginons que Ton mène par le point E le plan U' parallèle au plan P. Ce plan Q' devant contenir ED et EF (230), coïncide avec le plan Q; donc les deux plans P et Q sont parallèles.

239. Remarque. — Les angles seraient encore égaux si les coûtés étaient parallèles et de sens contraires. Si deux côtés étaient parallèles et de même sens, les deux autres parallèles et de sens contraires, les angles seraient supplémentaires. Dans tous les cas les plans des deux angles sont parallèles.

240. Théorème . — Trois plans parallèles déterminent sur deux droites quelconques deux segments proportionnels.

Soient P, Q, R trois plans parallèles rencontrant les deux droites données aux points A, B, C, D, E, F ; il s'agit de prouver que Ton a