Remarque, pleins parallèles

233. Théorème. — Par un point A non situé dans le plan P, on peut mener un plan Q parallèle au plan P et un seul.

Menons, en effet, AB perpendiculaire au plan P et le plan Q perpendiculaire à AB au point A. Lee deux plans P et Q, perpendiculaires à la même droite, sont parallèles ; donc on peut en mener un.

Supposons qu'on en puisse mener un autre, Q', et coupons P, Q et Q' par un plan quelconque passai nt par AB. Soient BC, AD, AE les droites d'intersection respectivement obtenues. Ces trois droites étant parallèles (229), AE coïncide avec AD ; il en résulte que tout plan passant par AB coupe Q et Q' suivant la même droite ; donc Q' coïncide avec Q et il n'y a qu'un seul plan mené par le point A parallèlement au plan P.

234. Théorème. — Lorsque deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est aussi perpendiculaire à Vautre.

Soit, en effet, AB une droite perpendiculaire à un plan P, que l'on suppose parallèle à un autre plan Q, et soit A le pied de cette perpendiculaire sur le plan P. La droite AB rencontre le plan Q, car si elle ne le rencontrait pas elle lui serait parallèle et serait située dans le plan P

LU

(227), ce qui n'est pas possible, puisqu'elle est perpendiculaire à ce plan. Appelons alors B le point de rencontre de AB avec le plan Q, et, par le point B, menons le plan Q' perpendiculaire à AB. Les deux plans P et Q' sont parallèles, comme P et Q ; donc Q' coïncide avec Q ; donc AB, perpendiculaire au. plan P, est aussi perpendiculaire au plan Q.

235. Corollaire. — Lorsque deux plans sont parallèles à un troisième, ils sont parallèles entre eux.

Appelons, en effet, P et Q deux plans parallèles à un troisième, R. Si nous menons une perpendiculaire au plan R, la droite ainsi obtenue est perpendiculaire aux deux plans P et Q: donc ces deux plans sont parallèles (231).