AB AF

OE ■" Ee •

11 en résulte

AB X Ee = OE X AF.

D'ailleurs OE est l'apothème de la ligne brisée, c'est-à-dire le rayon de la circonférence inscrite, et AF est égale à la projection ah de AB sur Taxe. Si donc on fait la somme des aires engendrées par les côtés AB, BC, etc., en mettant 2'i:0E en facteur dans cette somme, on aura

Surf. ABCD = 2icOE(a& -i- &c -h cd) = 2itOE X ad.

312. Définitions. — On appelle zone la portion de la surface de la sphère comprise entre deux plans parallèles ; ces deux plans coupent la sphère suivant deux cercles appelés bases de la zone. On appelle hauteur d'une zone la distance des deux bases.

Lorsque le plan de l'une des bases devient tangent à la sphère, on a une zone à une seule base appelée ceUotte sphérique.

Si l'on considère la zone comprise entre deux cercles CC et EE' dont les plans sont perpendiculaires au diamètre AB, on peut la considérer comme engendrée par l'arc CE du grand cercle AECB en tournant autour du diamètre AB de B ce grand cercle.

On appelle alors aire de cette zone la limite vers laquelle teni.

l'aire engendrée par une lign ^' brisée régulière convexe, inscril

dans l'arc CE et tournant autour de AB quand le nombr des côtés de cette ligne augmente indéfiniment de maniée que chaque côté tende vers zéro. Si la hauteur FD de "

zone devient égale au diamètre ÀB, la zone devient la sphère et Taire de la zone devient Taire de la sphère.

313. Théorème. — • L*aire d'une zone est égale au produit d*une circonférence de grand cercle par la hauteur de la zone.

En effet, si Ton considère une ligne brisée régulière inscrite dans Tare CE (même figure), et si Ton augmente indéfiniment le nombre des côtés de cette ligne de manière que chaque côté tende vers zéro, l'apothème de la ligne brisée a pour limite le rayon de la sphère. La hauteur de la zone étant d'ailleurs égale à la projection de la ligne brisée sur Taxe AB, le théorème résulte de celui qui a été démontré au no 311. D'après cela, si R est le rayon de la sphère, Taire d'une zone de hauteur h est égale -à 2T^Kh.

314. Théorème. — L'aire de la sphère est égale à quatre fois Vaire d'un grand cercle.

En effet. Taire de la sphère est égale à Taire d'une zone dont la hauteur est égale au diamètre de la sphère. L'expression de Taire de la sphère est donc 2t:Rx2R = 4i:R'. On voit qu'elle est égale à quatre fois Taire d'un grand cercle.

Volume de la sphère.

315. Théorème. — Le volume engendré par un triangle en tournant autour d'un axe situé dans son plan, passant par un de ses sommets et ne traversant pas le triangle, a pour mesure le produit de la surface engendrée par le côté opposé à ce sommet par le tiers de la hauteur correspondante à ce côté.

Nous distinguerons quatre cas :

1° L^ triangle tourne autour de l'un de ses côtés. — Soit ABC le triangle tournant autour de AB ; en désignant par Vol. ABC le volume engendré par ce triangle et par Surf. BC Taire engendrée par BC, nous allons démontrer que Ton a

Vol. ABC = Surf. BC X ^-AD,

y^D étant la hauteur correspondante au côté BC. Pour cela, g^grMenons CE perpendiculaire h AB et observons que Ton a

130 GI^.OMÉTRIB

évidemment

Vol. ABC = Vol. AEC H- Vol. CEB.

Or, les deux triangles rectangles AEC, CEB engendrent deux cônes circulaires droits de même rayon CE et de hauteurs respectives AE et EB ; on a donc

Vol. AEC = -^itCFxAE,

Vol. CEB = iirCÊ*xEB, o et, en faisant la somme,

Vol. ABC = 4" t^CË" X (AE -h EB) == 4 ^CË* X AB,

ce que Ton peut écrire

Vol. ABC = i icCE X CE X AB.

Mais les deux produits CExAB et BCxAD sont égaux au double de la surface du triangle et par suite égaux entre eux ; on peut donc remplacer CExAB par BC X AD, On a ainsi

Vol. ABC = 4" T^CE X BC X AD.

D'ailleurs, le produit icCExBC représente l'aire latérale

du cône engendré par BCE, c'est-à-dire l'aire engendrée

par BC ; on a donc

Vol. ABC = Surf. BC X 4 AD.

2» L'axe rencontre le prolongement du côté opposé au sommet qui est sur l'axe, — Soit E le point de rencontre de ce côté BC prolongé et de l'axe. On a évidemment Vol. ABC = Vol. ACE — VoK ABE,

Mais en vertu de 1°, si AD est U hauteur, on a

Vol. ACE = Surf. CE x4-AD,

et Vol. ABE = Surf. BE X ^AD.

Si Ton fait la différence, en observant que

Surf. BC = Surf. CE — Surf. BE,

il vient

Vol. ABC = Surf. BC x -AD.

30 Le triangle est rectangle et a un côté parallèle à Vaxe et Vautre perpendiculaire à Vaxe au point A qui est sur Vaxe, — Soit ABC ce triangle. Menons CD perpendiculaire à Taxe et observons que

Vol. ABC = Vol. ABCD — Vol. ACD.

Or, ABCD engendre le volume d'un cylindre de rayon AB = CD et de hauteur BC ; on a donc

Vol. ABCD = TzW X BC.

D'autre part, ACD engendre un cône de rayon CD et de hauteur AD, de sorte que

Vol. ACD = -^ itCd' X AD.

Si donc on fait la différence en observant que CD = AB et que AD = BC, il vient

Vol. ABC = I tîÂb' X BC = 2irAB X BC X 4 AB.

Mais 2'irAB X BC est l'expression de l'aire engendrée par BC : donc

Vol. ABC = Surf. BC X ^ AB.

40 Le côté opposé au sommet situé sur Vaxe est parallèle à Vaxe, — Si ABC est le triangle et AD la hauteur correspondante au côté BC^ on a Vol. ABC= Vol. ACD-f-Vol. ADB.

Mais en vertu de 3o,

Vol. ACD = Surf. CD X ^ AD,

Vol. ADB = Surf. DB X j AD ; donc, en ajoutant, Vol. ABC= (Surf. CD -f- Surf.DB)x ^ AD= Surf. BC x - AD.

316. Théorème. — Le volume engendré par un secteur polygonal régulier en tournant autour d'un axe situé dans son

132 GÉOMÉTniE

plarif passant par son centre et ne traversant pa^ le secteur, est égal à la surface décrite par la ligne brisée régulière du secteur multipliée par le tiers de l'apothème.

Soit le secteur polygonal régulier OABCDE tournant autour de Taxe OL. On a évidemment

Vol. OABCDE =Yol. OAB -h Vol. OBC-h Vol. OCD-h Vol.ODE.

^ — ^ Mais les triangles isocèles OAB,

p OBC, etc. sont égaux et ont pour

hauteur commune Tapothème 01 de la ligne brisée régulière. Si donc on applique le théorème L précédent à chacun de ces triangles, et si Ton met — 01 en facteur dans la somme des

volumes engendrés, on a

Vol. OABCDE = Surf. ABCDE X ^ 01.

317. Définitions. — On appelle secteur sphérique la portion du volume d'une sphère engendrée par le secteur circulaire OAB en tournant autour d'un diamètre LOL', qui ne le traverse pas. Dans ce mouvement, Tare AB du secteur circulaire engendre une zone qu'on appelle la base du secteur sphérique. Si AB devient une demi-circonférence LBL', le secteur circulaire devient un demi-cercle et le volume du secteur sphérique devient le volume de la sphère.

On appelle volume du secteur spliérique engendré par le secteur circulaire OAB la limite du volume engendré par un secteur polygonal régulier inscrit dans le secteur circulaire en tournant autour de Taxe LL', quand le nombre des côtés de la ligne brisée régulière qui sert de base* au secteur polygonal augmente indéfiniment de manière que chaque côté tende vers zéro.

318. Théorème. — Le volume d'un secteur sphérique «I égal au produit de la zone qui lui sert de base par le tiers du rayon.

Considérons en effet le secteur sphérique engendré par le secteur circulaire AOB (mèmeflg.) en tournant autour dn

diamètre LOL'. Dans ce secteur circulaire, imaginons qu'on ait inscrit un secteur polygonal régulier, puis imaginons que le nombre des côtés de la base de ce secteur polygonal régulier augmente indéfiniment de manière que chaque côté tende vers zéro. Le théorème énoncé résulte alors : 1° de ce que l'aire engendrée par la base du secteur polygonal a pour limite Taire de la zone engendrée par l'arc AB ; 2° de ce que l'apothème de la base du secteur polygonal a pour limite le rayon de la sphère. On a donc

Vol. Sect. OAB = Zone AB X ^ OA.

o Appelons R le rayon de la sphère et h la hauteur de la zone engendrée par AB ; on aura

Vol. Sect. OAB = ^TzK^h.

319. Théorème. —Le volume de la sphère est égal au produit de sa surface par le tiers du rayon.

Ce théorème résulte de ce que le volume de la sphère est le volume d'un secteur sphérique dont la zone de base est la surface de la sphère.

D'après cela, l'expression du volume d'une sphère de rayon

R est

R 4 4xR2X-=-acR3.

On en déduit que le rapport des volumes de deux sphères est égal au rapport des cubes des rayons.

TABLE

NotioDS préliminaires 1

Les angles 3

Triangles et polygones 8

Perpendiculaires et obliques menées d'un point à une droite.

— Cas d'égalité des triangles rectangles 15

Lieux géométriques 18

Droites parallèles 19

Somme des angles d'un triangle ou d'un polygone convexe. . 22

Parallélogrammes 21