Théorème. — Toute section plane d'une sphère est
un cercle. — Soient, en efifet, P le plan sécant, A et B deux points quelconques de la section. Par le centre de la sphère, menons la perpendiculaire 01 sur le plan P, et joignons le pied 1 de cette perpendiculaire aux points A et B. Nous formons ainsi deux triangles AOI et BOl, rectangles en I et égaux comme ayant 01 commun et OA = OB comme rayons. Il résulte de là que lA = IB, et par conséquent que tous les points de la section sont à égale distance du point I ; donc la section est une circonférence de centre I.
303. Grands cercles et petits cercles. — Si l'on considère le triangle rectangle OIA, on a
+ ia' = oa",
de sorte que si Ton appelle d la distance du centre de la sphère au pian P, R le rayon de la sphère et r le rayon l de la section, on a
r« = R« — dK
Il en résulte que si l'on fait croître d depuis jusqu'à R, le rayon r décroît depuis R jusqu'à 0. Donc les sections planes de la sphère qui ont le plus grand rayon sont celles dont le plan passe par le centre. Pour cette raison, on appelle grand cercle d'une sphère un cercle de la sphère dont le plan passe par le centre; par opposition, tout cercle dont le plan ne passe pas par le centre s'appelle un petit cercle.
11 est clair qu'un cercle tracé sur la sphère est déterminé en même temps que son plan; donc :
10 Par trois points pris sur la surface d'une sphère, on peut faire passer un cercle et un seul.
20 Par deux points de la sphère non situés sur le même diamètre on peut faire passer un grand cercle et un seul; car ces deux points et le centre de la sphère déterminent le plan du grand cercle.
Par deux points situés sur le même diamètre on peut évidemment faire passer une infinité de grands cercles.
Les plans de deux grands cercles passent tous deux par le èentre; ils se coupent donc suivant un diamètre; d'où il suit que deu^ grands cercles se coupent en deux points diamétralement opposés et, par suite, que deux grands cercles se coupent en parties égales.
Ajoutons enfin que tout grand cercle divise la sphère en deux parties égales ; car, si l'on fait tourner Tune des parties autour d'un diamètre de ce grand cercle, on peut la faire coïncider avec l'autre.
304. Théorème. — Une droite ne peut rencontrer une sphère en plus de deu^x points.
En effet, un plan passant par la droite coupe la sphère suivant une circonférence qui contient évidemment les points de rencontre de la droite et de la sphère; or, une droite ne peut rencontrer une circonférence en plus de deux points.
305. Pôles d'un cercle. — On appelle pôles d'un cercle tracé sur la sphère les points de rencontre de la sphère avec le diamètre perpendiculaire au plan du cercle. Les pôles du cercle lAB sont les points P et P'.
l'un quelconque de ces points est également distant de tous les points du cercle lAB.
En eflfet, si A et B sont deux points quelconques de ce cercle et si I est son centre, les cordes PA, PB sont égales comme obliques s'écartant également du pied de la perpendiculaire.
D'après cela, si Ton place en P Tune des pointes d'un compas, auquel on donne une ouverture égale à PA, Fautre pointe tracera le cercle lAB; on emploie, pour cela, un compas à branches recourbées appelé compas sphérique, La distance PA s'appelle distance polaire; elle est égale h la corde d'un quadrant si le cercle est un grand cercle.
306. Problème, — Trouver le rayon d'une sphère solide donnée^ au moyen d'une construction plane.
Soit le centre de la sphère dont il sufût d'ailleurs d'avoir une portion. D'un point P de cette portion de surface comme pôle, avec une ouverture de compas sphérique arbitraire, décrivons un petit cercle sur cette même portion de surface. Prenons enfin trois points quelconques A, B, C sur la circonférence de ce cercle.
Avec le compas sphérique on peut mesurer les longueurs AB, BC, CA; on peut donc construire un triangle abc ayant
pour côtés ces trois I longueurs respectives.
La circonférence circonscrite au triangle abc est évidemment égale au petit cercle tracé sur la sphère; de sorte que si d est le centre de la circonférence circonscrite au triangle abc^ D le centre du cercle ABC, on a ad = AD.
Cela posé, si nous menons le diamètre PP' de la sphère qui passe par D, dans le triangle PAP*, rectangle en A, nous connaissons AD, qui est égal à ad, et AP, qui est l'ouverture donnée au compas sphérique pour tracer le cercle ABC.
i^6 GÉOMÉTRIE
D^ailleurs, si nous pouyions construire ce triangle, Thypotênuse PP' nous donnerait le diamètre de la sphère et par suite le rayon en en prenant la moitié. Or, on peut construire ce triangle en pap' de la manière suivante : on mène pp' perpendiculaire à ad au point d; on décrit du point a comme centre un arc de cercle de rayon ap = AP qui coupe pp' au point p ; enfin, on mène en a la perpendiculaire ap' à ap. La longueur pp' est le diamètre de la sphère.
Plan tangent à la sphère.
307. Définitions. — On appelle plan tangent à la sphère un plan qui n'a qu'un seul point commun avec la sphère; ce point s'appelle le point de contact,
308. Théorème. — Tout plan perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon est tangent à la sphère; réciproquement tout plan tangent à la sphère est perpendiculaire au rayon qui passe par le point de contact,
1° Soit P le plan perpendiculaire à l'extrémité du rayon OA. La distance du point à tout point B du plan étant plus grande que OA (218), le point B est extérieur à la sphère; donc le plan et la sphère n'ont que le point B commun; donc ie plan P est tangent k la sphère.
2" Soit maintenant A le point de contact d'un plan tangent, P. Tout point B du plan étant alors extérieur à la sphère, OA est la plus courte de toutes les lignes qui vont du point au plan P ; donc OA est perpendiculaire au plan P (219).
309. Théorème. — Le plan tangent en un point A est le lieu géométrique des tangentes en A à toutes les circonférences tracées sur la sphère par le point A.
Soit, en effet, AT la tangente ^^^^ "^N. en A à une circonférence de cen-
/-- ^'" >^^ *r® C» tracée sur la sphère consi-
A -pj^-'^'^^rT' dérée de centre 0. Si Ton joint le
( »^' A j point au point C, OC est per-
V ^ y pendiculaire au plan de la circonfé-;
\ / rence (302) et CA est perpendicu
\^^^^^^x^ laire h la tangente AT, en vertu de
la propriété de la tangente »
cercle; donc OA est perpendiculaire à AT, d'après 1
théorème des trois perpendiculaires ; mais alors AT est située dans le plan perpendiculaire à OA au point A (213), c'est-à-dire dans le plan tangent en À.
310. Cône circonscrit à une sphère. — En un point M d'une demi-circonférence AMB, menons la tangente MT et la perpendiculaire MP au diamètre, puis faisons tourner la figure autour de AB. Dans ce mouvement la demi-circonférence engendre une sphère de centre et de
rayon OC, et MT engendre la surface latérale d'un cône circulaire droit ayant pour base le cercle décrit par MP. Ce cône s'appelle le cône circonscrit à la sphère le long du cercle décrit par le point M.
Le plan tangent en M à la sphère contenant la tangente MT (309) passe par le sommet du cône circonscrit. La même propriété subsiste évidemment quand le point M tourne autour de AB ; donc les plans tangents à une sphère en tous les points d'un petit cercle passent par le sommet du cône circonscrit à la sphère le long de ce petit cercle.
Quand le point M vient en C, le petit cercle décrit par M devient un grand cercle et MT engendre la surface indéfinie d'un cylindre appelé cylindre circonscrit le long du grand cercle OC.
Surface de la sphère.
311. Théorème. — La surface engendrée par une ligne brisée régulière en tournant autour d'un axe situé dans son plan, passant par son centre, et ne la traversant pas, est égale au produit de la circonférence inscrite par la projection de la ligne brisée sur l'axe
Soit une ligne brisée régulière ABCD, de centre 0, tournant autour de Taxe L, qui passe par son centre. L'aire
engendrée par cette ligne est évidemment la somme des aires engendrées par ses côtés. Evaluons donc l'aire engendrée par l'un quelconque des côtés, AB par . exemple.
» '^ à o c tf '^ En tournant autour de l'axe, AB engendre l'aire latérale d'un tronc de cône circu-
laire droit ; mais nous avons vu que si E est le milieu de AB et si Ton mène Ee perpendiculaire à Taxe, Taire de ce tronc de cône est égale (296) à
2'KEe X AB.
Joignons le point au point E et menons AF parallèle à Taxe jusqu'au point de rencontre F avec la perpendiculaire B6 à Taxe. Les deux triangles rectangles 0E«, ABF ayant leurs côtés perpendiculaires sont semblables ; donc on a
