PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ

avec la vitesse v, le deuxième avec la vitesse v'. Au même instant ils sont l'un en A et Vautre en A! ; trouver sur x'x le point où ils se rencontrent, et trouver Vépoque de leur rencontre.

Soit un point fixe sur la droite x'x ; nous fixerons la position d'un point quelconque A de cette droite au moyen

du segment algébrique

V OA, compté à partir du

^' À ' *^ point 0, positivement

dans le sens x'x^ négativement en sens opposé ; soient alors a et a' les valeurs algébriques des segments OA et OA'.

Appelons M le point de rencontre des deux mobiles et désignons par X la valeur algébrique du segment OM, c'est-àdire l'inconnue du problème.

Chacun des deux mobiles peut se déplacer sur x'x, soit de gauche à droite, soit de droite à gauche. Convenons de considérer sa vitesse comme positive dans le premier cas et comme négative dans le second. Enfin, comptons le temps à partir de l'instant où les mobiles sont en A et en A', positivement s'il est postérieur à cet instant, négativement s'il est antérieur; appelons d'ailleurs t le nombre, positif ou négatif^ d'unités de temps écoulées de Finstant origine à l'instant de rencontre des deux mobiles.

Cela posé, nous avons deux inconnues à déterminer, x et t ; il faut donc deux équations, et ces équations s'obtiennent au moyen de la formule du mouvement uniforme établie au n" 46 . Cette formule, appliquée successivement aux deux mobiles, nous donne en effet

X ■=. a-hvt 1 X = a' -{-v't ]

La résolution de ces deux équations se fait sans difficulté, en remplaçant le système (1) par le système équivalent

X = a-^vt )

a-\-vt = a +vt )

qui conduit à distinguer deux cas, suivant que l'on a t> — v' ^^ ou V — t?' = .

Dans le premier cas, on tire du système (2)

63 AUCCBftE

va' — «r'

r — r' et le proMème «ulmel une solution et n'en admet qu'une.

Dans le second cas, la deauème équation (2) ne peut être satisfaite que si Ton a a =: a\ de sorte que si v =v' et a:^a\ le problème est impossible, les mobiles ne se rencontrent jamais; si v = r' et a^= a\ le problème admet une infinité de solutions, car on n'a plus qu^une seule, équation, j = a-^vt, pour déterminer deux inconnues. Dans ce cas d'ailleurs, les mobiles partent du même point a^ec la même vitesse et se déplacent dans le même sens ; donc ils ne se séparent jamais et c'est ce qui explique Tindétermination du problème.

Ajoutons que, grâce aux couTentions posées au début, les formules (3) donnent la solution du problème dans tous les cas, quand il n'y a qu^une solution. Par exemple, supposons que la vitesse du premier mobile soit 2" par seconde, que la vitesse du deuxième soit — 3™ par seconde, que Ton ait a = 23" et a' = 5™.

Les formules (3) nous donneront

ce qui veut dire que le point de rencontre est à 17"» à droite du point et que la rencontre a eu lieu 4 secondes avant le passage des mobiles en A et A'.