LIVRE m

Résolution de l'équation ax^-{-bx-\-c = 0; relations entre les coefficients et les racines.

117. Considérations préliminaires. — On montre en Arithmétique que si A est un nombre arithmétique, il existe un autre nombre arithmétique a et un seul dont le carré est égal à A. Ce nombre a s'appelle la racine carrée arithmétique du nombre A et se représente par le symbole ^Â^ de sorte qu'il revient au même d'écrire l'égalité a = ^S" ou d'écrire l'égalité a^ = A.

Supposons maintenant que A soit un nombre algébrique ; il y a deux cas à examiner, suivant qu'il est positif ou négatif.

Premier cas. A est positif. — On peut désigner par A sa valeur absolue et par a la racine carrée arithmétique de A. Les deux nombres égaux et de signes contraires a et — a satisfont à Tégalité

a8 = (- a)2, et, comme 02 = A, on a aussi (— a)2 = A; il en résulte qu'il y a deux nombres égaux et de signes contraires dont le carré est égal à A, et ces deux nombres égaux et de signes contraires ont pour valeur absolue la racine carrée arithmétique de A. Il n'y en a pas d'autres ; car tout nombre positif ou négatif dont le carré est égal à A doit avoir pour valeur absolue la valeur de la racine carrée arithmétique de A. On peut donc dire, d'après cela, qu'un nombre positif A a deux racines carrées algébriques ; on les représente par le symholc ± ^^ que l'on énonce plus et moins racine de A. Deuxième cas. A est négatif. — Le carré d'un nombre po-

sitif OU négatif étant toujours positif, il n'existe pas de nombre positif ou négatif dont le carré soit égal à un nombre négatif A.

Cela posé, une équalion à une inconnue est du second degré quand on peut la ramener à la forme

aa?2 -h ^a? -f- c = 0, dans laquelle a, &, c sont des nombres quelconques, supposés connus.

Résoudre cette équation, c'est trouver tous les nombres positifs ou négatifs qui, mis à la place de x, rendent identiques les deux membres de l'équation. Nous allons résoudre ce problème quand il est possible. Traitons d'abord quelques exemples numériques.