PROBLÊMES DU SECOND DEGRÉ 7 S

V ^ V flf \ g J

L'une de ces valeurs étant négative, on doit prendre l'autre, c'est-à-dire

s qui provient de

' = {-7-\/ÎFÏ)]-

Eu remplaçant ty v et g par leurs valeurs respectives, dans cette formule, on aura la valeur de x.

132. Problème II. — Calculer les deux côtés d'un rectangle, connaissant le périmètre et la surface du rectangle.

Soient x et y les deux côtés inconnus, 2p le périmètre et a* la surface du rectangle. Les deux côtés du rectangle formant le demi-périmètre de cette figure, on doit avoir

x-hy = p.

D'autre part, la surface du rectangle étant exprimée par le produit xy^ on doit avoir aussi

xy = aK

Nous avons donc à trouver deux nombres, connaissant leur somme et leur produit. Ces deux nombres sont (129) les racines de l'équation du second degré

X»-pXH-a* = 0,

de sorte que les deux côtés sont respectivement

Pour que le problème soit possible il faut que les deux racines trouvées soient réelles et positives. Pour qu'elles

soient réelles il faut que a* soit positif. D'ailleurs, si

cette condition est remplie, les racines sont positives, puisque Te produit et la somme sont positifs. Donc, pour que le

problème soit possible, il faut et il suffit que Ton ait 4-a.>0.

133. Problème III. -- Partager une droite AB en moyenne et extrême raison,

11 s'agit de trouver, sur la droite indéfinie AB, tous les points C tels que Ton ait

ÂC* = AB X CB, le produit AB x CB étant d'ailleurs considéré comme positif ou comme négatif sulTant ^ que les deux segments A.B

A C B et CB sont de même sens

ou de sens contraires.

Sur la droite AB prenons le point A comme origine, le sens de A vers B comme sens positif et soient alors a; et a les distances respectives des points C et B au point A. Quelle que soit la position du point C, on a

AB-hBC-i-CA = 0, c'est-à-dire

a -^ BC — a? = ; d'où

BC == £P - a et

CB = a — a?,

puisque CB est égal et de sens contraire à BC. L'équation du problème est donc, dans tous les cas,

X* = a{a — œ) ou

x^-^ax — a^ = 0.

Elle donne pour x deux valeurs qui sont réelles, puisque les termes extrêmes sont de signes contraires, et qui sont de signes contraires, puisque le produit — a* des racines est négatif.

11 y a donc deux points qui répondent à la question et q^ui sont situés, Tun à droite du point A, l'autre à gauche de ce point : le premier est celui qui correspond à la racine posi~ tive, et le second celui qui correspond à la racine négative