Remarque. — Joignons le sommet A du triangle

isocèle ABC au milieu D de la base et reprodaisons la figure en A'B'C'D'.

Quand on retourne le triangle A'B'C pour l'appliquer sur le triangle ABC, les deux triangles A'B'D' et A'D'C tiennent s'appliquer respectivement sur ADC et sur ABD. On déduit de là régalité des angles BAD, DAG^ ainsi que celle des angles BDA, ADC.

La première de ces égalités exprime que AD partage Tangle au sommet en deux parties égales ; la deuxième exprime que AD est perpendiculaire sur BC.

On appelle bissectrice d'un angle une droite qui partage cet angle en deux parties égales. On prouve que cette droite existe et qu'il n'y en a qu'une par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait au n° 15.

On appelle médianes d'un triangle les droites qui joignent les sommets de ce triangle aux milieux des côtés opposés.

Enfin on appelle hauteurs d'un triangle les perpendiculaires menées des sommets aux côtés opposés. L'existence des hauteurs résulte du n^ 45. '

En vertu de ces définitions, les résultats que nous venons d'obtenir peuvent s'énoncer ainsi :

Dans un triahgle isocèle la médiane qui correspond à la base est en même temps bissectrice et hauteur.

La ligne AD du triangle isocèle ABC possède donc les trois propriétés suivantes : !<> elle est médiane; 2» elle est bissectrice; 3® elle est hauteur. Une quelconque de ces propriétés suffisant à la définir, entraîne les deux autres.

32. Cas d'égalité des triangles. — Dans tout triangle on distingue six éléments : trois côtés et trois angles. Quand deux triangles sont égaux, les six éléments de l'un sont respectivement égaux aux six éléments de l'autre. Nous allons prouver que si trois éléments de l'un des triangles, parmi lesquels se trouve un côté, sont égaux aux éléments correspondants de l'autre, les deux triangles sont égaux. On obtient ainsi ce qu'on appelle les trois cas d* égalité des triangles.