LIVRE I
Les angles.
8. Définition d*un angle; angle nul. — On appelle angle la figure formée par deux droites qui se coupent et dont chacune est limitée d'un côté à son point d'intersection avec l'autre. Les deux droites s'appellent les côtés de l'angle ; leur point de rencontre est le sommet.
On nomme un angle soit par une lettre placée au sommet, soit par trois lettres placées respectivement sur les côtés et au sommet. En énonçant les lettres, on a d'ailleurs soin de placer au milieu la lettre qui est au sommet. Cette manière de désigner les angles est employée quand il y a plusieurs angles ayant le même sommet ; sinon ^ la lettre du sommet suffit.
GEOMETRllC
D'après cela, on dira Tangle A ou Tangle BAC. On dit qu'un angle est nul quand ses côtés coïncident. 9. Angles adjacents. — On dit que deux angles sont adjacents quand ils ont le même sommet, un côté commun et qu'ils sont de part et d'autre de ce côté.
Les angles BAC et CAD sont deux angles adjacents.
10. Angles égaux. — On dit que deux angles sont égaiiœ quand ils sont superposables.
11. Somme de deux angles. — Considérons une droite Ox limitée au point d'un côté et indéfinie de l'autre :
une telle droite s'appelle une demidroite. Supposons qu'une autre demidroite tourne autour du point dans un sens déterminé. Si OA, OB, OC, OD sont quelques-unes des positions occupées par cette droite mobile, on a plusieurs angles, xOA, AOB, BOC, COD : l'angle a^OD s'appelle la somme de tous ces angles, et l'on écrit a;OD = xOX -h AOB + BOC -+- COD.
12. Différence de deux angles. — L'angle AOB qu'il faut ajouter à xOK pour obtenir xOB s'appelle la différence des deux angles xOh, xOX, et Ton écrit
AOh = xi)h — xO\.
13. Angle plus grand ou plus petit qu'un autre. — Lorsqu'un angle est la somme de deux autres, il est pltis grand que chacun d'eux, et chacun de ceux-ci est pUis petit que l'angle considéré. Ainsi, par exemple, xOh est plus grand que arOA, et Ton écrit indiflféremment
a;OB > xOX ou xOk < a?OB,
les signes > et < s'énonçant comme en arithmétique et en algèbre .
14. Perpendiculaire et oblique. — On dit qu'une demi-droite CD est perpendiculaire suruae
^ droite AB lorsqu'elle forme avec celle-ei
deux angles adjacents ACD et BCD égaux.
Chacun de ces angles s'appelle alors um -g angle droit. Si les deux angles ACD et Bd> ^ ne sont pas égaux, la demi-droite CD
dite oblique à la droite AB.
LA LIGNK DnOJTE 5
Il n'est pas évident qu'il existe des demi-droites perpendiculaires sur une droite, mais le théorème suivant prouve l'existence de ces perpendiculaires.
15. Théorème. — Par un point pris sur une droite AB on peut mener d'un côté de AB une demi droite perpendiculaire d AB, et on n'en peut mener qu'une.
Supposons en effet qu'une demi-droite OC tourne autour du point dans le sens de la flèche.
Dans chacune de ses positions cette demi-droite fait avec AB deux angles adjacents AOC et COB. Quand elle tourne dans le sens indiqué, de OA vers OB, le premier angle, qui est nul quand OC coïncide avec OA, va en augmentant, tandis que le second diminue et'devient nul quand OC coïncide avec OB. Le premier angle, d'abord plus petit que le second, devient donc plus, grand que lui; par suite il existe une position OD de OC pour laquelle les deux angles sont égaux. OD est alors perpendiculaire à AB.
Ainsi, on peut mener d'un côté de AB une demi-droite perpendiculaire à AB. On n'en peut mener qu'une; car pour toute autre de mi -droite OC, située par rapport cà AB du même côté que OD, on a AOC < AOD et BOC > BOD ; or, AOD étant égal à BOD, puisque OD est perpendiculaire à AB, ceci revient à dire que AOC est plus petit que BOC et, par suite, que OC est oblique à AB.
16. Corollaire. — Tous les angles droits sont égaux. Soit à démontrer l'égalité des deux angles droits ABC, DEF.
Transportons le second angle sur le premier de manière à placer ED sur BA, le point E en B, et le côté EF du même côté que BC par rapport à AB. Alors EF
^ A E I^ coïncidera nécessairement avec
BC, car s'il n'en était pas ainsi, on pourrait, du point B et du même côté de AB, mener deux demi-droites perpendiculaires à AB, ce qui est impossible en vertu du théorème précédent.
17. Définitions. — On dit qu'un angle est aigu ou obtus suivant qu'il est inférieur ou supérieur à un angle droit. On dit que deux angles sont complémentaires ou siipplé-
mentaires lorsque leur somme est égale à un ou à deux angles droits.
18. Théorème. — Toute demi-droite qui rencontre une droite indéfinie forme avec celle-ci deu^ angles adjacents supplémentaires.
Soit la demi-droite CD qui rencontre la droite indéfinie AB. 11 s'agit de prouver que
ACD + DCB = 2<»^ Pour cela, menons la demi-droite CE perpendiculaire à AB située du même côté que CD, et observons que Ton a ÀCD = l<»r-DCE, DCB = l^r + DCE; d'où Ton déduit, en ajoutant membre à membre,
A CD + DCB = 2d^ C. Q. F. D.
19. Théorème. — Béciproquement, si deux angles adjacents ACD, BCD sont supplémentaires, leurs côtés extérieurs CA, CB sont en ligne droite.
Si, en eflfet, CB' est le prolongement de CA, l'angle DCB' est le supplément de l'angle ACD, en vertu de la proposition directe.
Et comme DCB est déjà le supplément de ACD, les deux angles DCB et DCB' sont égaux. Or ils ont un côté commun, CD; de plus ils sont situés du même côté par rapport à CD ; donc CB coïncide avec CB'. C. Q. F. D.
20. Corollaire I. — Si par un point pris sur une droite AB on mène les deux demi-droites OC, <»d perpendiculaires à AB et de part et d'autre de AB, ces deux demi-droites sont dans le prolongement Vune de Vautre.
Car les angles AOC et AOD sont adjacents et supplémentaires.
11 suit de là que si Tune des demidroites OC, OD est perpendiculaire à AB, inversement l'une quelconque des demidroites OA, OB est perpendiculaire à la droite CD. Ce résultat s'énonce comme il suit : Par un point pris sur une droite on peut mener une
perpendiculaire à cette droite et on n'en peut mener qu'une. 11 ne faut du reste pas oublier qu'il ne s'agit dans tout ceci que de figures situées dans le même plan.
21. Corollaire II. — La somme des angles formés autour d'un point et du même côté d'une droite est égale à 2 droits.
Si Ton considère, en effet, plusieurs angles ACD, DCE, ECF, FCB, formés autour du point G et d'un même côté par rapport à AB, on a évidemment
ACD -h DCE -h EOF + FCB = ACD -h DCB .
Or, ACD et DCB sont supplémentaires (18) ; donc ACD + DCE -f- ECF -h FCB = 2^^.
22. Corollaire III. — La somme des angles formés autour d'un point et recouvrant tout le plan est égale à 4 droits.
Considérons en effet plusieurs angles, AOB, BOC^ COD, DOA, formés autour du point et recouvrant tout le plan. Si OE est le prolongement de OA, il est clair que la somme de tous ces angles est égale à la somme des angles formés autour du point d'un côté de OE^ plus la somme des angles formés autour du point de l'autre côté de OE.
Chacune de ces deux sommes étant égale à 2 droits, on a bien AOB -h BOC -+- COD -h DOA = 4^^,
23. Définilion. — On dit que deux angles sont opposés par le sommet quand les côtés de l'un sont les prolongements des côtés de l'autre. Les angles AOC et BOD sont opposés par le sommet.
24. Théorème. — Deux angles opposés par le sommet sont égaux.
Par exemple, les angles AOC et BOD de la figure ci-contre sont égaux comme ayant même supplément BOC ou AOD.
25. Remarque. — Il suit de là que deux droites indéfinies qui se rencontrent forment quatre angles qui sont deux à deux égaux et deux à deux supplémentaires.
Soient d'abord deux angles aigus AOB et COD tels que les côtés du second soient respectivement perpendiculaires à ceux du premier. Ces deux angles ayant même complément BOC sont égaux.
Soit maintenant les deux angles obtus AOB' et COD'. Ils sont égaux parce que leurs suppléments respectifs AOB et COD sont égaux.
Triangles et Polygones.
portions de lignes droites qui composent la Mme wl
tifs ; es angks sont ceux qui sont formés par les côtf r<.nn
sécuffs; enfin, on appelle d,«aona/« les drCquiSmP^Ï
deux sommets quelconques non consécutifs ^ ^ ^ *"*'
iP„^ •*'s^ng"e les polygones entre eux d'après le nombre de
eurs côtés. Le triangle, le quadrilatère Ip ««J«I«
nexagone, Voctogone, le déeagL, leZéLone e^tTe S'
6Tr,2Tt\5?Afi"T"" r •"" ^««PecH-en '3'tr
aîix', .fVL . "^ *^'- "" "^ ''°""« P«« «Je noms particûuere
aux autres polygones; on dit simplement : un polygone d^
7 côtés, un polygone de H côtés, etc. PO'y«f»»e de
On dit qu'un polygone est convexe quand il est tout Pnii»,
dun même côté par rapport à la droite indéfinie que l'on
obtient en prolongeant l'un quelconque de ses côtét 1^
triang^^, qui est le plus simple des po.yUs,X„?otU:
égaux ; le triangle équilatéraly qui a ses trois côtés égaux, et le triangle rectangle ^ qui a un angle droit.
On appelle hypoténuse d'un triangle rectangle le côté opposé à Fangle droit.
On appelle base d'un triangle isocèle le côté qui est différent des deux autres.
28. Théorème. — Dans un triangle isocèle les angles opposés aux côtés égaux sont égaux.
Soit un triangle ABC tel que Ton ait AB = AC. Imaginons un triangle A'B'C identique au triangle ABC, obtenu, par exemple, en décalquant le triangle ABC sur une feuille de papier, et ima^ ginons qu'on le retourne de façon à faire coïncider A'B' avec AC et A'C avec AB.
Alors les trois points A', B*, C étant placés respectivement en A, C, B, l'angle C coïncide avec l'angle B, tandis que l'angle B' coïncide avec l'angle C. Mais, en prenant l'angle C par exemple, on voit qu'il est égal à Tangle B, puisqu'il coïncide avec lui ; or, il est égal à l'angle C par construction ; donc on a bien : angle B = angle C. C.Q.F.D.
29. Théorème. — Réciproquement , st, dans un triangle, deux angles sont égaux^ les côtés opposés sollt égaux.
Soit ABC (même figure) un triangle dans lequel les angles B et C sont supposés égaux ; il s'agit de prouver que les côtés AB et AC sont aussi égaux.
Pour cela formons, comme plus haut, un triangle A'B'C identique au triangle ABC, retournon^-le et transportons-le ensuite de manière à placer B' en C, G' en B, l'angle B' sur son égal C et l'angle C* sur son égal B; alors B'A' et C'A' prennent respectivement les directions CA et BA; par suite, le point A', qui est l'intersection de B'A' et de C'A', coïncide avec l'intersection de CA et de BA, c'est-à-dire avec le point A. Il en résulte que B'A' = CA, puisqu'il coïncide avec lui ; or, B'A' = BA par construction ; donc BA = CA.
30. Corollaire. — Vn triangle équilatéral a ses angles égauXf et réciproquement.
