Lieu du centre du cercle exinscrit au triangle ABC

M.Lieudumilieu des droites AA'", BB"' f CC"':ft e a? J + «V = { a*P- M. La droite qui joint le point A au symétrique de A'", par rapport à 0, est normale à l'ellipse,

5f . Les droites AA"' f BB'", CC" sont normales à une même ellipse.

M. Les pieds et les milieux des hauteurs du triangle A"'B"'C"'; les points d'intersection des couples de droites (A A'", BC), (AA'", B'C), X 'AA', B'C), (AA", B'C), (AA", BC); le point de rencontre de B'C avec la hauteur du triangle ABC issue de A ont des coordonnées de la forme A cos (p 4~ B cos 5 9 A' sin 9 -f- B' sin s 9

X ~ AJ cos 2 9 + B* sin 2 9 ' V ~ A? cos 1 9 + BJ sin 2 9 "

Ces points décrivent des courbes unicursales fermées dont Taire a pour expression

(Aî+B?) 3(AB' + BA'+BB') BA'(2A, + B t ) AB'(ffl, + A,) 1 2L À»B» + A1B1 (Ai + B1) 2 + Af (A, + B,) 2 B] (Ai + Bi)» J' M. Les hauteurs du triangle A"'B"'C" sont normales à l'ellipse

b*x* + * V — (fl J + ai + b 3 ) 2 .

•O. Le lieu du point de rencontre de OA avec la hauteur du triangle A"'B'"C" partant de A'", est l'ellipse précédente. St. Lieu du point de rencontre de OA et BC :

(bx* + ay*f = (J** 2 + a«y 2 ); u = lg^j!.

0£. Lieu du point de rencontre de OA' avec la hauteur du triangle A"'B"'C" partant de A'" :

s 2 + y 2 = (a 2 + S 2 + ûS) 2 ( -^±^.

•S. Lieu du point de rencontre de OA' et BC :

irR 1

(«** + Jy')> = R* (»* + y»), U = — — • •4. Aire de l'enveloppe de la parallèle à B'"C" menée par A'" :

x N0TES MATHÉMATIQUES.

*8. Sur les problèmes de maximum et de minimum. De l'identité

xy =*(x + y) 2 -~{x — y)*,

on conclut ordinairement que le produit de deux facteurs variables dont W somme est constante, est maximum lorsque ces facteurs sont égaux.

Cependant, si l'égalité des facteurs est impossible, le maximum du produit a lieu lorsque la différence des facteurs est minimum.

Voici un exemple de cette remarque ; nous l'empruntons au n« du 1" janvier 1900 du Journal de Vuibert. Étant donnée une corde AB d'une circonférence 0, mener un diamètre CD qui soit divisé par la corde AB en deux parties CE, ET) dont le produit soit maximum. Si le diamètre CD passe à l'intérieur de l'angle AOB v la somme CE + ED = 2R et le maximum du produit CE . ED a lieu lorsque CD est perpendiculaire à AB; car alors la différence CE — ED devient minimum. Si le diamètre CD ne passe pas à l'intérieur de l'angle AOB, la différence des segments CE, ED est constante et le produit CE . ED devient infini lorsque le diamètre est parallèle à AB.

Comment varie le produit CE. ED lorsque AB est remplacé par 'une droite qui ne coupe pas la circonférence ?

Sur la question d'examen, 934 (MatAesis, février 1900, p. 55). < On a la relation ay + col » b3 + i(3 entre les côtés a = AB, b = BC, c = CD, d = DA d'un quadrilatère inscriptible et les perpendiculaires a, (3, y, d abaissées d'un point intérieur sur ces côtés. > Soient E le point de rencontre des côtés b 9 d et F celui «les côtés a, c; on suppose que CD passe entre AB èt E, et BC entre AD et F. Construisons le parallélogramme BCDP, et appelons G, H les points de rencontre de DP avec AB et de BP avec AD; enfin menons les droites HG, AP.

Je dis d'abord que les droites HG et EF sont parallèles. En effet, les couples de parallèles DG et EB, HB et DF donnent