AH = AB AG AD

AD AF ' AB^AE 5 d'où AD. AB = AH. AF == AG. AE.

Cela posé, prenons respectivement sur EB, EA, FB, FC les longueurs EX = d, EY = b, FZ = c, FU = a. Les triangles EYX et DPA, FZU et BPA seront égaux ; par suite, YX = AP = UZ, angle EYX = DPA, angle FZU = BPA. Mais le quadrilatère ABCD étant inscriptible, il en est de même du quadrilatère AGPH ; donc

angle EYX = DPA = DHG, angle FZU = BPA = BGH ;

et par conséquent YX et UZ sont parallèles à HG et à EF.

Donc si M est un point quelconque du plan ABCD, les quadrilatères MXEY, MZFU sont équivalents, comme composés de triangles avant des

bases égales TX = UZ et même somme des hauteurs correspondantes. En décomposant ces quadrilatères en triangles au moyen des diagonales ME, MF, on troure la relation proposée : ay + col = bd + <|3. (A.C).

Pour une autre démonstration, voir Journal de Vuibert^ décembre 1899.

Sur l'hexagone de Pascal. Soient A, B', C, A',B,C les sommets consécutifs d'un hexagone quelconque inscrit à une circonférence, et appelons Ai, Bi, Ci les points de concours des couples de côtés opposés B'C et BC| CA' et C'A, A'B et AB'. Alors les circonférences circonscrites aux triangles A,BC, B<CA, CiAB concourent en un même point D, et ce point est situé à la fois sur les droites B1O1, C,Ai, A1B1 ; donc les points Ai, Bi, Ci sont en ligne droite.

Cette démonstration ne s'appuie que sur les deux premiers livres de Legendre.

Semblablement, les circonférences A t B'C| BiC'A', CiA'B' concourent en un même point D' Les points D, D' sont équidistants du centre de la circonférence ABC. (L. Gérard, Bull, de Math, éi. 9 2» année, p. 264).

Cette figure jouit probablement d'autres propriétés assez curieuses, se rapportant aux centres des six circonférences A t BCi, aux secondes intersections des circonférences A|BC et AiB'C. ..Il y a là un sujet d'étude très intéressant* (J. N.)«

BIBLIOGRAPHIE

Enoyclopâdie der mathematischen Wissenschaften, herausgegeben von H. Bubkhabdt und W. F. Mbtbr. Band I, Heft III (pp. 225-952), Heft IV (353-512). Band H, Heft I (pp. 1-160). Leipzig, Teubner, 1899. Prix: 3 mares 80, 4 mars 80, 4 marcs 80.

Voici l'indication des sujets traités dans ces trois livraisons de l'Encyclopédie, publiées respectivement en septembre, octobre et août 1899.

I. Fonctions rationnelles d % une variable; leurs zéros, par B. Nbtto, professeur à l'Université de Giessen. Cette section contient les formules d'interpolation, le calcul des différences, le théorème : toute équation algébrique, a une racine et ses conséquences immédiates, la théorie dn plus grand commun diviseur; propriétés des résultants et discriminants*

Fonctions rationnelles de plusieurs variables par B. Nrtto. Théorie de l'élimination ; éliminants, résultants, jaeobiens, hessiens.

Théorie arithmétique des grandeurs algébriques; jlguret algébrique* f par 0. Lawdsbe*g, privat-decentml*Uuiversité de Heideiherg. Résumé des difficiles recherches de Kroneeker, Weber, Dedekind, Hilbert, Weierstrass, etc.

Invar ia*toU>gie* par W. Pr. Mktkr, professeur à l'Uaniversité de Kônigsberg. L'auteur* à qui Ton doit une histoire de l'invariantologie, est parvenu à condenser une matière immense en 84 pages, sous les titres suivants : Préliminaires ; équivalence des formes ; for mes apparentées; procédés invariantifs; extension, groupes spéciaux, formes spéciales.

Séparation et approximation des racines des équations, par Ç. Rungk, professeur à l'Ecole technique de Hanovre.

Fonction* rationnelles des racines; fonctions symétriques, etc., par E. Th. Vàhlbk.

Théorie de Galois et applications, par G. Hôldkr, professeur à l'Université de Leipzig. Théorie des groupes; résolubilité des équations (la fin paraîtra dans la livraison suivante).

IL Principes de la théorie générale des fonctions, par A. P ri noshiim, professeur à l'Université de Munich. Résumé des recherches les plus minutieuses des géomètres sur les limites, la continuité, la discontinuité, les singularités des fonctions.

Calcul diférentiel et calcul intégral, par M. A. Voss, professeur à l'Université de Wûrzbourg. Calcul différentiel avec les applications analytiques ordinaires : théorème de Taylor, maxima et minima, les cas difficiles étant examinés avec gran 1 soin. Calcul intégral; premiers principes; étude des relations des limites de sommes simples ou multiples avec les intégrales définies (inverses de dérivées) ; méthode de Gauss et autres méthodes analogues ou élémentaires pour l'approximation des intégrales définies ; plan im êtres et intégraphes.

Intégrales définies, par M. G. Brunsl, professeur à l'Université de Bordeaux. Préliminaires. Condition pour qu'une intégrale définie soit bien déterminée. Intégration des séries. Intégrales multiples. Détermination des intégrales définies. Premiers principes de la théorie de la fonction gamma (la seconde moitié de cette section sera publiée dans la livraison suivante).

Dans ces trois livraisons comme dans les précédentes, la bibliographie la plus riche, én tête de chaque section et surtout dans les notes au bas des pages donne au lecteur tous les renseignements historiques nécessaires ou utiles, pour étudier à fond, s'il le désire, les théories résumées dans le texte. (P. M.)

Premiers principes de Géométrie moderne à l'usage des élèves de mathématiques spéciales et des candidats à la lieence et à l'agrégation par B. Ddporcq, Ikpçien élève de l'Ecole polytechnique. Paris* Gauthier» Villars, 1899. Un vol. de Vll-iao pages in-8°. Prix : 3 fr.

Cet ouvrage, sans avoir la prétention d'être un traité complet» est très propre & familiariser les élèves de nos Ecoles spéciales et de la candidature en sciences physiques et mathématiques avec les méthodes rapides de la Géométrie moderne. Il complète souvent les cours de géométrie élémentaire et de géométrie analyti-

que en faisant connaître aux Lecteurs des démonstrations simples de ces propositions intéressantes, plut souvent citén que démontrées, et il a le grand avantage de leur ouvrir des horizons nouveaux.

Voici un sommaire des matières traitées dans les six chapitres qui composent le livre : I. Emploi des imaginaires. Caractère analytique de la Géométrie moderne par suite de cet emploi. Premières notions sur les transformations. IL Divisions et faisceaux homographiques. Involution. Génération des courbes et des surfaces du second degré. Cubiques gauches. III. Transformations homographiques et corrélatives. Homologie. IV. Principales propriétés des coniques. Théorèmes de Desargues, Sturm, Pascal, Brianchon. Pôles et polaires* Cercle orthoptique. Quadrilatères inscrits à une conique et circonscrits à une autre. Théorème de Joachimsthal. Coniques harmoniquement circonscrites ou inscrites à une conique. V. Principales propriétés des quadriques. Pôles et plans polaires. Intersection de deux quadriques. Faisceaux et réseaux de quadriques. Foyers et focales. Cubique des normales. Quadriques harmoniquement circonscrites et inscrites. Théorème de Hesse. Construction linéaire d'une quadrique. Théorèmes de Faure, de Picquet. VI. Etude de quelques transformations. Applications des transformations homographiques et corrélatives. Représentation plane des quadriques. Inversion. Transformations quadratiques planes. Transformation de Lie. (J. N.).

SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES

Qaestioa 995.

(Voir MatheeU (2), X, p. 44).

Notbs. I. Le résultat de l'élimination directe de x, y, % entre les équations (7) est, en appelant A le déterminant qu'indique M. Neuberg,

Les hauteurs représentées par les équations Ai t =0, A22— 0, An — ne peuvent faire partie du lieu; il reste donc deux fois la cubique A.

Il se présente ici une curieuse correspondance point par point de trois courbes, l'ellipse ky% + Bzx + Qxy = 0, la cubique A = et la quartique : (B 2 — C 2 )y 2 s 2 + (C 2 — A?)z 2 x 2 + (A 2 — B*)x y = 0, Cette dernière a trois points doubles en A, B, G, sommets du triangle donné; elle est donc unicursale (ou de genre zéro), comme la conique et la cubique A. On roit facilement que cette dernière est unicursale; car en prenant par exemple le rapport (|3 : y) = >. comme paramètre, tenant compte de Aa -j- B(3 + Cy = 0, on exprime x,y 9 zh un facteur de proportionnalité près, par des polynômes du 3 e degré en A.

Quand le point M décrit la conique, les droites AM V BM, CM, déterminent des points M« 9 M», M«; et il en résulte des points Mi, Mi, Mi d'une seule manière possible, et aussi un point M' unique correspondant à M de la conique. Mais par M' on peut mener encore trois tangentes aux paraboles déterminées par les groupes de quatre tangentes (BC, HfcHc, BH&, CH e ), ... Il en résulte sur B C, CA, AB trois nouveaux points (u, p» qui joints respectivement à A, B, G déterminent un point fx de la quart ique. (Espanbt).

II. La note de M. Espanbt est fort intéressante ; elle explique que le lieu du point M' peut être irréductible et que celui de M se compose de deux courbes. Cependant la correspondance entre les points homologues des trois courbes mériterait un examen plus approfondi. La circonstance remarquable que présente la question 785, a-t-elle déjà été rencontrée dans l'étude des liaisons ou des connexes?

Les sommets et les hauteurs du triangle ABC jouent un rôle assez curieux qu'il convient de signaler : Le sommet A par exemple peut être considéré comme une position de M, et le point M' est alors un point quelconque de la hauteur AH«. En effet, si M est en A, M» et M* se confondent avec A et M« est un point quelconque de BC; les droites MtM*, MMï coïncident avec la hauteur AH«, de sorte qu'elles concourent avec la ligne MaMd dans toutes les positions de M«.

Nous consacrerons un article spécial aux paraboles enveloppes des droites M«M«, M&M», M*M C ; ces courbes ont reçu le nom de paraboles de Brocard (Mathesis, 1886, Suppl. et 1890, p. 166) (J. N.)

Question f #95.

(Voir Mathesis (2), VI, p. 142).

Le point de concours des diagonales d'un quadrilatère inscriptible est sur la directrice de la parabole inscrite à ce quadrilatère. (E. Duporcq.)

Solution par MM. Emmerich, Dbprbz et Soons. D'après un théorème connu, l'orthoceotre d'un triangle dont les côtés touchent une parabole est situé sur la directrice. Quatre tangentes forment quatre triangles dont les orthocentres jouissent de la propriété rappelée. D'autre part, les orthocentres des quatre triangles formés par un quadrilatère complet se trouvent sur Taxe radical des cercles dont les diamètres sont les trois

diagonales. Supposons maintenant le quadrilatère ABCD insoriptihle et soit ES le point de concours des diagonales. De BA. EC = EB.BD on conclut que le point E appartient à Taxe radical des cercles décrits sûr AC et BD comme diamètres, c'est à-dire que le point E est situé sur la directrice de la parabole.

Solution par M, H. Mandart. Soient le point de concours dés diagonales AC, BD du quadrilatère inscrit ABCD, MN la troisième diagonale de ce quadrilatère, M étant l'intersection de AB .et CD.

On sait que les diagonales d'un quadrilatère circonscrit à une conique forment un triangle conjugué par rapport à la conique; est donc le pôle de MN et si F est le second point de rencontre des cercles MBC, CDN, c'est-à-dire le foyer de la parabole inscrite au quadrilatère, on a :

angle MFC = ABC = CDN — 180* - CFN,

MFC + CFN=180* t

F est donc un point de MN et conséquemment, la polaire de F ou la directrice de la parabole passe par 0.

Autre solution par II. Droz Farny, qui démontre que les différents quadrilatères qu'on peut inscrire à la même circonférence et circonscrire à la parabole donnée ont même point d'intersection des diagonales.

M. Déprez donne également une solution analytique.

M. Soons rappelle les propriétés suivantes de la même figure (notations, de M. Mandart) : 1» NP: MF = NC. NB: MC. MD ; 2° Les angles CFA, BPD ont ta même bissectrice MN ; 3° La perpendiculaire élevée en F sur MN passe par et par le centre du cercle ABCD; 4* Si le quadrilatère est en même temps circonscriptible à un cercle, le centre I de ce cercle est situé sur la droite FO, et l'on a FÏ 2 = PA. PC = PB. FD = FM. FN.

Qneetioo 1150.

(Voir MMhesit (2) t. VII» p. 219).

On considère tous les triangles ABC ayant mime base BC et dans lesquels les angles BetC ont un rapport donné E ; soient A', B', C les pieds des hauteurs et H leur point de concours.

t° B'C enveloppe une hypocycloïde.

2* A'tl' et À'B' enveloppent des éficycloïdes.

3* Le centre 0» du cercle des œuf peints de ABC décrit la polaire réciproque d'une hypocycloîde par rapport à un certain cercle.

4° Le cercle Q enveloppe une podaire de polaire réciproque d'une hypocycloîde (polaire prise par rapport à un certain cercle).

5* Trouver les lieu* du sommet A, de Vorthocentre H et du centre de gravité G de ABC.

Cas particulier <b K 2. (Dbprbz).

Solution par M. A. Droz-iFarny. Lbmme I. A partir d'un point A pria sur une circonférence de rayon R, deux points B et C se meuvent uniformément et dans le même sens sur cette courbe avec des vitesses dont le rapport est K (K > î)>

La droite BC enveloppe une épicycloïde décrite par le point A du

cercle mobile de rayon r=—j— roulant sur un cercle fixe concen*

trique avec et de rayon p=«= R. Si les points se meuvent en

sens contraire, BC enveloppe une hypocycloîde décrite par le point A

du cercle mobile de rayon r = roulant à l'intérieur du cercle fixe

concentrique au cercle donné et de rayon p =* R.

Voir pour la démonstration élémentaire : Note sur une enveloppe par S. #. W. Babhr, N. A. M., 1881.

Lbmme II. Chercher l'enveloppe d'une circonférence variable passant constamment par un point fixe A et dont le centre se meut sur une courbe donnée C.

Soient deux positions voisines 0' et 0" du centre 0. Les circonférences correspondantes se coupent en un second point P' tel que AP' est perpendiculaire sur O'O" et divisée par cette droite en B' en parties égales. A la limite, P' devient le point de contact de la circonférence avec son enveloppe; AP est perpendiculaire sur la position limite de la sécante O'O", c'est-à-dire sur la tangente en à C, d'où le théorème :

L'enveloppe cherchée est la podaire par rapport au pôle A d'une courbe homothétique de C pour le rapport de similitude de 1 : 2.

Solution. 1° Décrivons la circonférence de centre sur BC comtae 4iamètre. Bile passe par les points B' et- C et Pon aura : aroBB' :ai*CC'«»K.

Soit X sur cette circonférence le point pour lequel arcBX :arcCX«=K;

an«wm«a«i:

arc XB' : arc XC mm K.

D'après le lemme I, A'C enveloppe ane hypocycloïde; dam le cas particulier K = 2, B'C enveloppe une hypocycloïde de Steiner. 2° Dans le quadrilatère inscriptible BA'HC, on a

a»^A / C / B = BHA'=.C.

Si donc C'A' coupe la circonférence en C", on aura

arc CC> : arc BC" = K. Soit sur cette circonférence y un point tel que

arc ÇC'y : arc BC"y = K;

on aura aussi

arcyC : arc yC" = K ;

donc le sens des vitesses étant ici le même, A'C et de même A'B' enveloppent des épicycloïdes; pour K = 2, elles enveloppent deua cardioïdes.

3* Soient M le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et » le milieu de AH. On sait que 0», diamètre du cercle des neuf points de ABC, est divisé en parties égales au point 9 par HM. B'C, axe radical des circonférences et (A'B'C) est perpendiculaire sur Om et l'angle caB'O est droit. On a donc :

OB' =0«.0» = 2.00». Ool d'où: O0o.0at=— .

Il en résulte que B'C est la polaire de 0» pour le cerole de centre O

et de rayon \a\/2.

Le centre 0» décrit donc la polaire réciproque d'une hypocycloïde par rapport au cercle précité.

4* Le cerole des neuf points passe constamment par et son centre décrit une courbe déterminée. D'après le lemme II, il enveloppera uae podaire de la polaire réciproque d'une hypocycloïde.

5* Les lieux du sommet A et de l'orthocentre H se laissent aisément déterminer dans chaque cas particulier; on a, en effet, sin B =» sin (KG).

Or, sin KG peut s'exprimer en fonction de sin G et de cos G. En choisissant BC comme axe des a et comme origine, on a :

sinB:

? . sinC= 9 f

oosC ■

d'où l'équation du lieu (A).

On obtient l'équation du lieu de l'orthocentre en remplaçant,

l'équation du lieu de A y y par

Enfin le lieu du centre de grarité G est une courbe homothétique de celle décrite par A par rapport au centre et réduite au 1/3.

Note, M. Barisien nous a adressé une solution analytique de la même question; nous regrettons que le défaut d'espace nous empêche

de l'insérer. Notre zélé correspondant examine leà hypothèses K = ?, K *= — 3, et déduit de ses formules générales le* conclusions suivantes :

1° K = — 2. L'angle extérieur en B est égal à 2C, donc AB = BC. Le triangle variable ABC est constitué par un rayon fixe BC d'un cercle et un rayon variable BA du même cercle. La droite B'C enveloppe une cardioïde, les droites A'B' et A'C enveloppent une hypocycloi'de à trois rebroussements, l'orthocentre décrit une strophoïde droite (Voir la question 1111, (2) VII, p. 102, posée par M. Droz-Farny).

2° K = — 3. L'angle extérieur en B = 3C ; B'C enveloppe une épicycloide à deux rehaussements, les droites A'B' et A'C enveloppent une hypocycloi'de à quatre rehaussements, A décrit une trisectrice de Maclaurin, enfin l'orthocentre décrit une quartique.

Question 1*85.

(Voir MatkesU (2), 1. IX, page 915).

Les extrémités d'une droite AB de longueur variable décrivent deux droites données Cx, Cy; l'aire du triangle CAB restant constante, démontrer que : 1° le cercle circonscrit au triangle ABC enveloppe une podaire d'hyperbole; 2° Vaxe orthique de ABC enveloppe une hyperbole; 3° le cercle des neuf points de ABC enveloppe une quartique. Si V angle xCy est droit, le cercle circonscrit et le cercle des nesrf points enveloppent des lemniscates de Bernoulli. (Deprbz)

Solution analytique par M. G. Cardoso-Laynes, à Livourne (Italie).

Prenant pour axes les bissectrices des angles des droites données, on aura pour les équations de ces droites :

y — mx\ y = —mx et pour les points A et B satisfaisant aux conditions de l'énoncé

A-(ifJ»); b -(t = t î )'

où A est un paramètre et V une constante.

Le cercle circonscrit au triangle donné sera représenté par

> 2 <l+ai') A Km ^ ■

c'est-à-dire par

On obtiendra l'équation de l'enveloppe de ce cercle en éliminant 1

entre l'équation (1) et Péquation — = 0, qui donne l== m (**-{- y*)

on aura donc

équation de la podaire du centre d'une hyperbole.

Si les droites données sont rectangulaires, on a m = 1, et l'équation précédente devient

elle représente une lemnucate de BernouUi.

Les coordonnées des milieux de CA, CB, AB sont

/A k\ /V —Vm\ + m(l* — V) \

par conséquent le cercle des neuf points a pour équation :

c'e«t-à-dire

(2) ?(«,y, A)=4»A(« 1 +y«)+ma>(A«4-i«)(m«-3)+jr(* i — ^(dm»- 1) + 2A»*»(j»* — 1) = 0.

Mais de l'équation

on tire

y(3m 2 — 1) — mx (m 2 — 3) '

r équation de l'enveloppe du cercle (2) sera donc

m\2 (x 2 + y 2 ) + *•(*■ — l)] 1 + * 2 [y 2 (3w 2 — «'*»(»* - 3) J ]=0; elle représente une quartique.

Si les droites données sont rectangulaires, l'équation précédente devient

(s 2 +y 2 ) 2 ==* 2 (a 2 -y 2 ); elle représente une lemniscate de Bernoulli.

L'axe orthique étant l'axe radical des deux cercles (1), (2), a pour équation

(3) <f> (a?, y, A) = *»a? (* 2 + A 1 ) (1 — 3«f ») + y (* 2 - A 2 ) (3 — m 2 ) — 2lmV(m* — 1)=0;

puisque de l'équation

on tire

1 at* 2 (m* = 1)

tnx (1 — 3w 2 ) - y (3 — w 2 ) '

on aura, pour l'enveloppe de Taxe orthique (3), (4) m 2 x 2 (1 — 3m*) 2 — y» (3 — = m 2 * 2 {m 2 — l) 2 ,

ce qui représente une hyperbole.

Si les droites données sont perpendiculaires entre elles, on trouve

Remarquons que la courbe (4) se décompose aussi pour m = zb ]/3 ou m =■ dt -^t- , c'est-à-dire, en considérant les angles plus petits que £ ir,

si les droites données font un angle de 60° ou de 30°.

Solution géométrique par M. A. Gob. Le cercle ABC passant par un point fixe C, son enveloppe est la podaire du point C par rapport à la courbe décrite par l'extrémité M du diamètre de ce cercle qui passe par C. Or MA et MB sont perpendiculaires sur Cx et Gy et l'on a CA.GB = k désignant une constante. Les droites MA et MB décrivent donc deux faisceaux homographiques et leur point d'intersection

M décrit une conique. Cette conique est une hyperbole (h) ayant pour asymptote» les perpendiculaires menées par G aux droites Cx et Cy; l'enveloppe du cercle ABC est la podaire de cette hyperbole par rapport au pointe.

On pourrait aussi remarquer que le cercle ABC est le symétrique, par rapport à la bissectrice de l'angle C, de la courbe inverse de la droite AB par rapport à un cercle A de centre C et de rayon il. L'enveloppe du cercle ABC est donc Tin verse de l'hyperbole enveloppée par la droite AB; c'est donc aussi la podaire de la polaire réciproque de cette hyperbole par rapport au cercle A. Cette polaire réciproque n'est autre chose que l'hyperbole (*) trouvée plus haut.

Lorsque l'angle xOy est droit, l'hyperbole (A) est équilatère. Or la podaire d'une hyperbole équilatère par rapport à son centre est une lemniscate. L'enveloppe du cercle ABC est donc, dans ce cas, une lemniscate. Le cercle des neuf points est alors la ligne homothétique du cercle ABC par rapport au point C, le rapport d'homothétie étant 1 : 2 ; il enveloppe donc aussi une lemniscate.

Supposons que l'angle xCy soit quelconque. Les hauteurs BH et AH et les médiatrices OA' et OB' déterminent par leurs intersections un parallélogramme HaO(3. Le centre w du cercle des neuf points, milieu de OH, est donc aussi le milieu de a(3. Mais les angles aCA, (2CB sont égaux tous deux au complément de C; donc les points a et (3 glissent sur deux droites fixes ; d'ailleurs le produit Ca. C/3 est constant, car on a Ca = 4 CA coséc C, C/3 "=» | CB coséc C. Le point <ù décrit donc une hyperbole, à laquelle a(3 est tangente. Le centre du cercle des neuf points décrit une conique et ce cercle est de puissance constante par rapport au point C ; il enveloppe donc une anallagmatique du 4 e ordre.

Soient P et Q les points de rencontre de Taxe orthique avec CA et BC. Les points P et Q sont les conjugués harmoniques des pieds B" et A" des hauteurs BB" et A A" par rapport aux segments CA et CB, On déduit de là les relations

J 2 1 jL JL 1

CP^CÂ CBcosC' CQ"~CB CAcosC'

En éliminant CA et CB entre ces relations et l'égalité CA. CB = V, on trouve qu'il existe, entre les inverses des longueurs CP et CQ, une relation du 2* degré. La droite PQ enveloppe donc une conique. En

cherchant les positions limitas de cette droite, on trouva qne cette ooti que est une hyperbole ayant pour asymptotes les droites joignant le point C aux points qui divisent les hauteurs BB" et AA" dans le rapport 2:1.

On démontrerait de la même façon que les cAtés du triangle orthique enveloppent des hyperboles.

IL Basisikn a résolu la même question par des calculs très élégants; noua regrettons que le défcut d'espace nous empêche de publier sa solution.

"Question 1*41.

(Voir Matkeete) (2) t IX, p. 240).

Calculer le déterminant

(J. Nacrante).

Solution par M*' C. Wbmdt (Vienne, Autriche) et M. A. Listrat. Aux éléments de la première colonne ajoutons les éléments correspondants de toutes les autres, puis soustrayons des éléments de chaque ligne les éléments correspondants de la ligne suivante; notre déterminant se réduit à

(l).-ii n(n+ l)A', oà À' est le déterminant suivant d'ordre n — 1

1 1 ... l—n 1 I laissant, la première ligne invariable, soustrayons des éléments de toutes

les autre» les éléments correspondants de la première. A' se réduit à un déterminant d'ordre n — 2 qui a tous ses éléments nuls à l'exception de ceux de la diagonale principale qui sont tons égaux à — *. Ceci donnera donc pour la valeur du déterminant proposé :

Autre solution par M. Liste at. Faisant usage d'une propriété connue des circulants, si D est le déterminant proposé, noua pourrons écrire :

où w„w 2 ... g)»- 1 désignant les racines *•* de l'unité, abstraction faite de la racine 1 ; c'est-à-dire les racines de l'équation

Or 1+2^ + 30)/ ...+«^^== =

donc

En développant le produit

et tenant compte des propriétés des racines appliquées à l'équation (1), on trouve

'"ÊfV,- i) = (l)»-«»

tel

d'où enfin :

D = (- Jf-«i»«- 1).

Solution analogue à le première par M. Biiiibrich.

x Qae*tioo 1*4*.

(Voir Mathésis, (2), IX, p. 240).

-ffton* loni»/ m trop*** ABCD rectangle en 11 et en D, on /otn* fa #ommets C f B au wiZiatt M de AD, /'on abaisse de D «m perpendiculaire à CM> A A *»* perpendiculaire à BM; eo« N le point de concoure de ces perpendiculaires. Démontrer que la droite MN est perpendiculaire à BQ.

(J. Nbubbrq.) '

Solution par M. Emmbrich. Soient Ë, F les points où let droites AN, J)N rencontrent respectivement BM, CM. De

MA = MD, MA* = ME. MB, MD* = MP.MC on conclut que les triangles MEF, MCB sont inversement semblables. MN étant le diamètre du cercle circonscrit au triangle MEF, on voit que cettë droite dans le triangle MBC joue le rôle de la conjuguée isogonale du diamètre, c'est-à-dire de la hauteur.

Solution par MM. Ross (Gand), Cox (athénée de Qand) et Vignort (collège communal de Bouillon)*... Les triangles MEF, MCB étant semblables, l'angle MEF = MCB; mais à cause du quadrilatère inscriptible MENF,on a angle MEF = MNF = 90° — FMN. Les angles BCM, FMN étant complémentaires, MN est bien perpendiculaire à BC.

Solution par M. A. Droz-Fàrny. Représentons par X et Y les points à l'infini sur les droites AD et BC, par P le milieu de BC. Les deux faisceaux N (DMAX), M (CYBP) sont harmoniques. Or, les couples de rayons correspondants ND et MC, NA et MB, NX et MP sont orthogonaux; il en sera donc de même des rayons NM et MY ou NM et BC.

Solution par M. Plakhowo. Prenons pour axe de y la droite AD, pour axe des x la perpendiculaire en M. Des coordonnées des points A (0, — a), D (0, a), B (d 9 — a), C (c, a), on déduit facilement les équations :

a a MD-y=: - MC -««y = +"jj*»

d c AN ••• y + a = -4?, DN ••• y — a = x.

En ajoutant les deux dernières, on obtient pour l'équation de MN

or le coefficient angulaire de CB est ? > etc.

Ont résolu la môme question MM. Ba.risisk, Orlando et Dblahatk (Roye).

QUESTIONS D'EXAMEN

., m.. Calculer les côtés d'un quadrilatère convexe circonscriptibie à une circonférence, connaissant le périmètre et la somme des carrés des côtés. On sait que les diagonales sont rectangulaires.

Equations du problème

* + *-(-* + « = 2p. * , +y , + *»+«» = 4«» f <s + *=jf +« f a> , + * , =y J -f-ir , f

Ce système peut être remplacé 1 par

on encore par

On en conclût par exemple,

x = y = ±(p + )/*a' — **p, u = * = ±(p — Via* — ty*)- •39. Résoudre an triangle, connaissant r«, r», r e (*). On a les relations

d'où l'en déduit

; = ^ + ^ + 8 = |/rr.nr.-

On connaît donc S, r et p. Les côtés 0, b, c résultent alors de S S S

Les angles résultent de

2' ^=Ptg-, r e = ptg--

•40. Résoudre un triangle, connaissant r, r a , ft.

•4 t. Résoudre un triangle connaissant R, r, r«.

Soient D, E, F, D a , E , F , . . les points de contact des côtés avec les cercles I, I a> I M I e . Comme EE a = 0, on trouve facilement en menant par I une parallèle à AC Jusqn*à la rencontre avec I a B a

A A r a — =% tgg = 4Rsin I - »

d'où l'angle A, et le côté a = 2R sln A. B et C peuvent se déduire de

(B C\ oot--f cot 2) =

A r cos-

. B . C sin-sin - 2 2

(*) Les questions 039-943 nous ont été communiquées par M. Rose. Quoiqu'elles soient connues, nous les insérons volontiers à titre d'exercices utiles.

En menant par I« à une parallèle à BC jusqu'à la rencontre avec ID 9 on trouve

facilement

r + r a = (b — c) coti(B — C) = 4 Bsin^coa^B — C) formule qui détermine directement B — G en fonction des donnée».

QUESTIONS PROPOSÉES

1*66. Si A et B sont deux points et M leur milieu, le lieu des points P tels que Ton ait PM = PA — PB est une quartique bicirculaire unicursale. Les tangentes au point double réel font un angle de 60°.

(Cardoso-Laymbs .)

1*M. Soient M et M' les extrémités de deux diamètres conjugués d'une ellipse de centre 0, N et T les points de rencontre de la normale et de la tangente en M avec le grand axe, P' et Q' les projections de M' sur le grand axe et sur le petit axe, R et R' les rayons des cercles circonscrits aux triangles MOT et MON. Démontrer les relations