II. Première application. On coupe l'ellipsoïde par le plan
(P) iwr + vy + m = 0.
Sur le diamètre perpendiculaire, on porte à partir du centre une longueur OM dont le carré soit moyenne harmonique entre les carrés des demi-axes a et (3 de la section :
Lieu du point M, quant (P) pivote aatour du point 0.
III. Deuxième application. Même problème en remplaçant la longueur OM par la longueur ON déduite de la formule
Etudier la forme du lieu du point N, et celle des sections parallèles aux trois plans des coordonnées.
On conservera les notations indiquées.
'QUESTIONS D'EXAMEN
MO. La somme des carrés de quatre termes d'une équidiïférencè est une somme de trois carrés. (de Rooquigny.)
C'est l'interprétation de l'identité
(« - W « + (« - y)» + (« + y )• + (« + «• = (S.)* + [fi + y) 4 + (0 - y) 1 .
Ml. Dans tout quadrilatère convexe ABCD, sin A [sin B + sin C — sin (A + D)] [sin C + sin D — sin (C -|- D)] = sin C [sin A + sin B — sin (C + D)] [sin A + sin D — sin (A + D)].
(Davis.)
QUESTIONS PROPOSÉES
199S. Soient AA'A"... r BB'B"..., deux génératrices opposées sur un cylindre circulaire droit, ABA'B'A"B"... un arc d'hélice; (A), (A');... (B), (B')... les plans perpendiculaires à l'axe passant par les points Af A',... B, B', ...
On demande les perspectives de l'hélice sur les plans (A'), (A"),.. (B), (B'), (B"),... selon que le point de vue est 1* en A, 2« au centre de la base située dans le plan (A). (H. Brocard.)
*i*94. On projette un point quelconque H du plan d'un triangle ABC en P«, P», P. sur les côtés BC, CA, AB, et en Q„, Q», Q sur les hauteurs AA', BB', CC. Démontrer que les droites P«Q«, P*Q», PeQ. concourent en un même point; ces droites sont parallèles lorsque M appartient à la circonférence des neuf points du triangle ABC.
(Sporbr.)
Généraliser cette proposition par voie de perspective et démontrer directement le théorème généralisé par la géométrie projective ou analytiquement.
Enoncer la proposition corrélative. (J. N.)
1*9&. Soient a if a%, a$ 9 ... des nombres qui tendent vers une limite a. Démontrer que
lim (ay» a »»-i o%*~* • • • ajji) == a%
INCI
S étant la limite de la série U\ -f- u% Uz + * •• ( E - Crsaro.)
1*96. Étant données une hyperbole équilatère dont AB est Taxe transverse et une parabole ayant pour foyer le centre de l'hyperbole et pour directrice la tangente au sommet B, une tangente mobile de la parabole coupe l'hyperbole aux points Hi v Ht : on demande l'enveloppe des ellipses qui ont HiH* pour diamètre et passent par lés deux points fixes A, B. (V. Rbtali.)
SUR LES TRIANGLES TRIHOMOLOGIQUfiS ;
par M. J. A. Third.
t. Considérons deux triangles trihomologiques ABC et A'B'C, c'està-dire tels que les droites AA'. BB', CC concourent en un point S i ; que les droites AB', BC, CA' concourent en un point Si ; et que les droites AC\ BA', CB' concourent en un point S s . Les droites BC, CA, AB seront alors rencontrées par les droites B'C',C'A', A'B' en trois points Di,Ei, F t situés sur une même droite u% ; par les droites C'A', A'B', B'C en trois points Di, Es, Ft d'une même droite u 2 ; parles droites A'B', B'C, C'A' en trois points D$, Es, F« d'une même droite u§.
Cela posé, 1° il existe une conique 2, qui touche les droites ADi, BEi, CFi aux points A, B, C et qui passe par les points S 2 , Sg; 2* il existe une conique <r ( qui touche BC, CA, AB aux points D,, Ei, Fi et qui est également tangente aux droites u i9 u%.
Ces propositions étant corrélatives, il suffira de démontrer la première. Si Ton remplace A'B'C par B'CA' ou par CA'B'. on trouve deux coniques 2 2 , 2 B analogues à 2i, et deux coniques a s , a f , analogues à <r,.
Prenons ABC comme triangle de référence, et soient (ai, j3,, y x ), (a*, (3j, y t ), (ol%, fit, y%) les coordonnées des points A', B', C.
En exprimant que les droites AA', BB', CC sont concourantes, de même que les droites AB', BC, CA', on trouve
et la forme de ces égalités montre que les droites AC, BA', CB' concourent également en un même point .
Des relations (1) on conclut
Il en résulte qu'on peut prendre pour les coordonnées des centres d'homologie :
Si, (yuxa, fryi, yr/t) ; S 2 , (a 4 {3 s> /3,p a , fry,); S«, {a t a 2 , a t p 29 yt«t); puis, que les axes d'homologie ont pour équations :
— — — • __— • . a (3i/i " y\(*2 ' aiPi
On trouTe ensuite pour l'équation de la conique 2i circonscrite au triangle ABC et touchant les droites ADi, BE ( , CE 2 :
On yoit immédiatement que cette courbe passe par les points S», S*. 9. Passons à quelques corollaires ou cas particuliers.
A. Le théorème suivant est évidemment compris dans le théorème général : si une conique variable ? touche les côtés BC, CA 9 AB d'un triangle ABC en X, Y, Z, et touche une droite fixe u qui coupe BC, CA, AB en D, E, F, le lieu du point S, où AX, BY, CZ cou courent, est la conique 2 circonscrite à ABC et touchant AD, BE, CF.
Si nous projetons u à l'infini, <r se transforme en une parabole ; AD, BE, CF deviennent parallèles à BC, CA, AB, et, par suite, 2 devient l'ellipse de Steiner de ABC ; ce qui nous donne le théorème suivant :
Si une parabole variable touche les côtés BC, CA, AB d'un triangle ABC aux points X, Y, Z, le lieu du point de concours S de AX, BY, CZ est l'ellipse de Steiner du triangle (*).
Signalons ici un autre cas particulier :
Soit u la quatrième tangente commune de deux cercles qui touchent les côtés de ABC, et' désignons par D, E, F les points où * rencontre BC, CA, AB; la conique circonscrite à ABC et touchant AD, BE, CF passe par les deux points de Gergonne correspondants. Cette conique a pour centre le milieu de l'un des côtés de ABC.
B. Si le triangle A'B'C du cas général, se réduit à trois points situés sur une même droite u> les axes Ui, «2, u% coïncident avec «, et les coniques 2|, 2 2 , 2% se confondent; ce qui nous donne le théorème suivant :
Soit 2 une conique circonscrite à un triangle ABC, et soit u la droite passant par les points où les tangentes à 2 menées par les sommets coupent les côtés opposés. Les droites qui joignent A, B, C à un point quelconque Si de 2 rencontrent u en trois point A', B', C, tels que les droites AB', BC, CA' concourent en un point S* de 2 et que les droites AC, BA', CB' se rencontrent en un point Si de 2.
(*) Voir Théorie der KegeUchnitte (Steiner-Schrbter, 1867), p. 287, où cette propriété est signalée.
Si Ton projette u à l'infini, 2 devient l'ellipse de Steiner de ABC, et Ton a la théorème suivant :
Si Si est un point quelconque situé sur l'ellipse de Steiner de ABC, les parallèles à ASi,BSi,CSi, par C, A, B, concourent en un point S 2 , et les parallèles à ASi, BSi, CS ( par B, C, A concourent en un second point Sf 9 et S 2 et S« se trouvent sur l'ellipse (*).
C. Si les sommets de A, B, C, du cas général, coïncident en an point S, les centres d'homologie Si, S 2 , S* coïncident évidemment avec S, et les coniques ?i, ? 3 , ?s v se confondent; ce qui nous donne le théorème suivant, corrélatif au théorème B.
Soit 2 une conique circonscrite à un triangle ABC ; désignons par D, E, F les points de rencontre des côtés BC, CA, AB avec les tangentes à 2 menées par les sommets opposés. S étant un point quelconque de 2, appelons M et W les points où SD coupe GA et AB, N et L' les points où SE coupe AB et BC, et L et M' les points où SF coupe BC et CA. Les points L, M, N, L', M', N' se trouveront sur deux droites tangentes à la conique a qui touche les côtés de ABC aux points où ils sont rencontrés par les droites AS, BS, CS.
Si l'on projette u à l'infini, 2 devient l'ellipse de Steiner et ? une parabole. On obtient alors le théorème suivant :
Par un point quelconque S de l'ellipse de Steiner d'un triangle ABC, menons des parallèles aux côtés. La parallèle à BC coupant CA, AB en M et N', la parallèle à CA coupant AB, BC en N et L', et la parallèle à AB coupant BC, CA en L et M', les six points L, M, N, L', M', N' sont situés sur deux droites!**), ces droites sont des tangentes à la parabole qui touche les côtés de ABC aux points où ils sont rencontrés respectivement par les droites AS, BS, CS.
Parmi les applications que Ton peut faire de la proposition fondamentale à la géométrie brocardienne du triangle, nous signalons ici la suivante :
Soit A'B'C le premier triangle de Brocard de ABC, et désignons par D, E, F les points (situés sur une même droite) où B'C, C'A', A'B' coupent BC, CA, AB respectivement: 1° DA', EB', FC sont des tangentes
(*) Cette propriété a été signalée par M. Neuberg (Mathetis (2) V, p. 199), et J. M. S, 1886. p. 51.
(**) M. Neuberg a signalé cette partie du théorème dans Mathesit, t. II, p. 42,
au cercle de Brocard de ABC, et 2° DA, EB, FO sont des tangentes à la conique passant par les sommets de ABC et les points de Brocard.
DIVISION D'ON ANGLE EN n PARTIES ÉGALES Une aoavolle et une vieille solution.
Soit AGB = a un angle à diviser en n parties égales, n étant impair. (Le lecteur est prié de faire la figure). Décrivons autour du sommet C un arc ADB de circonférence avec un rayon quelconque CA = CB. Sur la bissectrice CD de l'angle portons, à partir de D, le tiers DF de la flèche DE de Tare ADB et décrivons la circonférence concentrique passant par F. Portons sur CB, CA des longueurs CH =
CG = - CA et joignons GH. Projetons GH sur AB en Gi, Hi ; les droites n
projetantes GG ( et HHi rencontreront la seconde circonférence respectivement en Gi et Hi. Alors G 2 CH 2 sera à peu près la » ième partie de <x.
Pour faire l'analyse de cette construction, supposons CA = CB = 1, par conséquent,
™ ^1^2.1 CG = CH = -, GH =-un-a.
D'ailleurs, on a DE= 1 — cos \ a; partant
DF=i(l-cosia), CF = |(2 + cos|a)
Soit G 2 CHi = /3 ; il viendra
. 1 3sin|a sin-{3
ou enfin
(1) |3 = 2arcsin
2 r »(2-fcos{a) 3 sin \ a
»(2+cos£a)
Le développement en série de la fraction - * ln - ■ étant
2 + cos x
3 sin a? 1 1
2 + cos a 180 1512
on en tire
fl = 2 arc sin-
au lieu de
Si a n'est pas grand, on fera donc une petite erreur en posant j3 = - •
Pour <x = { Tret * = 3, 5, 7 on obtient, à l'aide de la formule (1), les angles :
au lieu des valeurs exactes respectivement 30°, 18°, 12° 51' 52'7. Avec a = 7r, on obtient jS (S) = 60° (exact), mais
au lieu de 36° et de 25° 42' 51 "4 respectivement (Solution communiquée à M. le Prof. E. Lampe, par un praticien).
La solution pratique la plus élégante du problème de la division d'un angle en n parties égales s'obtient au moyen de la courbe imaginée par Hippias d'Elis, pour la trisection, au V° siècle avant notre ère : Tracez un angle droit YOX. Divisez en 2* parties égales, OY = 1 et l'angle YOX; projetez le point M, qui correspond sur OY à h des 2" parties de OY, parallèlement à OX, en m sur le second côté Om de l'angle XOm qui est égal à k des 2" parties de l'angle droit: Le lieu des points m est la courbe d' Hippias (appelée aussi quadratrice de Dinottrate, parce qu'elle croupe OX à une distance égale à (2 : 7r); on la construit facilement point par point.
Pour diviser un angle XOm en n parties égales, prenez sur OY une
longueur OP égale à-OM; projetez P, parallèlement à OX, en p sur la n
courbe d'Hippias. L'angle POX sera égal à la « ièm# partie de XOm.
(3 (8) = 34 a 54'54';6 et ft 7 , = 24° 44' 50"
