NOTRE SUPPLÉMENT

Notre supplément contient deux mémoires. Le premier par V. Retali, sur une transformation géométrique a été suscité par le travail de M. Brocard publié en supplément à la livraison de mars 1898 de Mathesis. Il est précédé d'une introduction historique complète. L'autre dû à M. G. Tarry, sur les permutations carrées de base 6 traite une question assez curieuse dont voici les antécédents. La question 453 de V Intermédiaire des Mathématiciens (1895), due à M. E. Maillet, est formulée ainsi :

c Dans les Mémoires de la Société de Flessingue, Ëuler n'a pu trouver de solution pour ce qu'il appelle le problème des 36 officiers, sans cependant montrer qu'il n'y avait aucune solution. A-t-on trouvé une solution ou montré qu'il n'y en avait aucune?

Voici l'énoncé de ce problème : c Cette question roulait sur une assemblée de 36 officiers de 6 grades différents et tirés de 6 régiments différents qu'il s'agissait de ranger dans un carré de manière que sur chaque ligne, tant horizontale que verticale, il se trouvât 6 officiers tant de différents grades que de régiments différents. » On le cite dans les Récréations math, de Lucas, Introduction, p. 13, t. I: dans l'ouvrage de M. Arnoux. Sur les espaces arithmétiques hypermagiques, etc. p. 5.

M. Laugel (I. M., 1896, p. 17) conjecture que le problème est impossible pour 4 n* officiers, et que Ton devrait chercher la démonstration de ce fait dans la théorie des substitutions. Il ajoute que le problème est toujours possible si le nombre est impair et que la construction du carré dépend simplement de l'application méthodique de substitutions circulaires. Ainsi, si a, b, c t ... désignent les grades différents des officiers et que les indices 1, 2, 3,... marquent les numéros de leurs régiments, le tableau suivant représente une solution du problème des 25 officiers :

ai bi Ci di *i b% Ci d% e% a* Ck d% e% a% ii d% e* a% b\ c 2 02 a% b k c% dt M. Brocard (I. M., 1896, p. 90) donne la note bibliographique suivante : c Le problème des 16, 25 et 49 officiers a été proposé et résolu

dans le journal Le Siècle, par M. A. Feisthamel (oct. et nov. 1884). Le rédacteur, reproduisant le passage cité d*Bd. Lucas, a dit que ses recherches pour le nombre 36 étaient demeurées infructueuses. Celui des 64 officiers a été proposé et résolu par M. B. Meyniel (no t. 1884). Voir aussi, dans les Tablettes du chercheur, les remarquables solutions données par M. Huber pour 16, 25, 49, 64 et 81 officiers (1894, questions 1678, 1897, 1872, 1845 et 1535) ».

M. Barbette, de Liège (I. M., 1898, p. 83) généralise le problème en considérant m 2 » [2 k (2p -f- 1)] 2 officiers de m grades différents et de m régiments différents, qu'il s'agit de disposer en carré de manière à remplir certaines conditions, et donne les tableaux représentatifs de quelques solutions particulières. M. Heffter (I. M., 1898, p. 176) indique une solution très simple pour le cas de (2p -\- l) 2 officiers; mais comme l'ont fait remarquer MM. Delannoj et Barbette (I. M., 1898, p. 252), cette solution ne s'applique plus à 4» s officiers.

M. G. Tarry (I. M., 1899, p. 251) limite l'impossibilité du problème à l'hypothèse de 4(2p+ l) 2 officiers. Dans une seconde note (I. M., 1900, p. 14), il donne un aperçu de sa démonstration pour établir l'impossibilité du problème des 36 officiers. (J. N.).