SUR UNE FORMULE C0MBINÀT0IRE
Soit à calculer la valeur de la différence
A 1) } C" n+ 1 - 1 C^" + 1 CC" h-(-l)- , j
où = Q> P 9 ~ r désigne le nombre des combinaisons de p objets r à r, ou p — r àj> — r.
On peut écrire
+ ( ~ âTTï 0» + !) C U. - 8» CL-.] + (~ 1)" (I) Voir Mathetb, 189J, (2), IX, pp 33 et 337-238, Question 1803.
Or, on a successivement
<* + 1 )<C, - s» = oc, [2» + 1 - - ia t k { 2Î+v~ l) ]
= §^M <C « 2 » + V - 4 <• + 1 + DC - 1)] = <|±£ c£, . D'après cette formule, on trouve
On peut transformer le second membre, en se servant de la relation connue et d'ailleurs facile à vérifier,
<VH = <t + <t-'. (1)
On trouve ainsi
(2 * + 1) A = <£ + <£" 3 ((£"' + o + 5 (cr + c --') - • •
+(-1)— (2» - 1) [C^ + Cl] + (- 1)» (2«+ 1) C, ^, ou encore, en réduisant et observant que
c Ih-i = C L = (2^ + l)A = C» n ^2C~ n - 1 +2C^ ? ~- +(-lr2C^.
Appliquant de nouveau aux termes du seeond membre la formule (1). on obtient la relation
et, enfin, après réduction,
(2n + l)A = C^ 1 -C^ l =0, ou A = 0<*>. (P. m.)
(*) Dans un article ultérieur, nous déduirons de cette relation Taire totale des iinusoïdet tmpatres.
BIBLIOGRAPHIE
Oie Elomente der analytisohen Géométrie. Zum Gebrauche an hôheren Lehranstalten sowie zum Selbststudium. Mit zahlreichen Ubungsbeispielen: JSrster Teil. Die analytische Géométrie der Ebene von D r Ganter, Professer an der Kantonsschule in Aarau und D r Rudio, Professor am Polytechnikum in Zurich, 4 l » Auflage. Leipzig, Teubner, 1900 (V1U-180 p. in 8«, Prix : 3 marcs). Zweitcr Teil. Die analytische Géométrie des Raumes von D r Rudio, 2*« Auflage. Leipzig, Teubner, 1900 (VI-184 p. in 8*. Prix : 2 marcs 40).
Comme le titre l'indique, les auteurs n'ont voulu exposer que les élément* de la géométrie analytique, et leur programme ne va guère au-delà de ce qu'exige une première étude de cette science et de ce qui est nécessaire aux élèves des écoles spéciales allemandes pour pouvoir aborder la mécanique et les sciences techniques* Cependant, leur ouvrage présente, dans ces limites, un caractère scientifique qui manque souvent dans des livres plus étendus. Par exemple, les signes des grandeurs géométriques: segments, angles, aires et volumes, y sont exposés avec toute la rigueur désirable. De même, on y rencontre des développements sur le rapport anharmonique, les formes harmoniques, l'involution, les figures affines, la théorie des transversales, les axes radicaux, la théorie des pôles et polaires.
Les propriétés des sections coniques, de l'ellipsoïde, des deux hyperboloïdes et des deux paraboloïdes sont exposées au moyen des équations réduites.
L'équation générale à deux ou trois variables est entièrement laissée de côté.
Les exercices, au nombre de plus de 400 pour chacune des deux parties, forment un complément utile ; ce sont des applications numériques ou des cas particuliers des formules générales. (J. N.)
Elemente der darstellenden Géométrie von D r Rtoolf Sturm, Professor an der Universitàt zu Breslau. Zweite umgearbeitete und erweiterte Auflage. Leipzig, Teubner, 1900 (VM57 p. avec 01 figures dans le texte et 7 planches lithographiées). Prix : 5 marcs 60.
La première édition de cet ouvrage s'adressait spécialement aux élèves des écoles techniques allemandes. L'édition actuelle a surtout en vue à ceux qui se destinent à l'enseignement moyen en Allemagne. Les nouveaux règlements rangent les éléments de géométrie descriptive parmi les matières obligatoires pour les candidats aux fonctions de professeur de mathématiques appliquées dans les Ecoles réaies ou professionnelles; mais, chose singulière, cette science n'est pas exigée de ceux qui aspirent à enseigner les mathématiques pures.
L'ouvrage de M. Sturm se distingue des manuels français par l'introduction de notions préparatoires à l'étude de la géométrie supérieure, notions qui se présentent naturellement dans les épures. Nous faisons ici allusion à l'affinité, à Thomo-
logie, aux propriétés projectiles générales on spéciales, au principe de dualité et aux éléments à l'infini.
La table des matières que nous allons résumer, suffit pour indiquer quel est le programme développé par M. Sturm.
Introduction (Projection centrale. Éléments qui n'ont pas deprojeétion proprement $te| éléments à l'infini). Chap. 1. Projection orthogonale sur un plan unique; rabattements et affinité; éléments parallèles. Chap. II. Projections sur deux plans. Chap. III. Problèmes- Chap. IV. Rotations. Chap. V. Changement de plans de projections* Chap. VI. Polyèdres. Sections planes; situation perspective; homologie. Pénétration de deux polyèdres. Développements de polyèdres. Chap. VII. Perspective. Chap. VIII. Projections obliques. Cfcap. IX. Àxonométrie. CJiap. X. Ombras et éelairement.
filtre des. mathématiques par J. Boybr. Illustrée de fty-similés de manuscrits et de portraits. Paria, Carré et Naud, 1900(XI-?ÇOp. in- 8, cartonné). Prix :5 fr.
Livre amusant, mais superficiel et souvent inexact (Voit les comptes rendus de G. Loria. dans son Bolletttno, 1900, pp. 1012; de M. Çantor, dans la p.-L. Abteilung de la Seitchri/t fUr Math, ufd Phytik, 1900, pp. 98-99; et de M. Enestrôm, dans la Bibliotheca matktmattca, 1900, pp. 2*78-280.) On y trouve des portraits de Carnot, Cauchy, Descartes, M me du Chatelet, Euler, Fermât, Galois, Sophie Rovalevsky, Lagrange, Laplace, Leibniz, Lobatchefsky, Monge, Neper, Newton, Pascal, Saunderson, Viète et Weierstrass. (P. M.)
1. Histoire abrégée de l'astronomie par B. Lbbon, agrégé de l'Université etc. Avec seize portraits. Paris, Gauthier- Villars, 1899 (VII-288 pp. in 8°). Prix : 8 fr.
2. L'évolution de l'Astronomie chex les Grecs par J. Thirion, S. J. professeur de physique au Collège de la Compagnie de Jésus à Louvain. Bruxelles, rue impériale, 20, Lagaert (In 12, 286 pp ). Prix : 8 fr.
« Nous avons exposé sobrement les observations faites pendant la période ancienne (avant Copernic), dit M. Lebon, en tenant compte des résultats des recherches les plus récentes ; avec plus d'étendue les nombreux travaux de la période moderne* et assez amplement, pensons-nous, les découvertes de l'astronomie physique et les recherches de l'astronomie mathématique pendant la période contemporaine, n
Nous souscrivons bien volontiers à cette appréciation pour la partie de l'histoire de l'astronomie qui commence à Newton (p. 40), en ajoutant que l'exposition de M. Lebon est claire et intéressante. Mais pour 1* histoire de l'ancienne astronomie, celle qui explique les mouvements des astres par des combinaisons de mouvements circulaires, son livre devrait être refait aji moyen de celui du P. Thirion. Celui-ci expose vraiment d'après les travaux les plus, récents, (surtout ceux de
Schiaparelli), les vues oa systèmes de Pythagore, Philolaus, Platon, Badoxe, Héraclite du Pont, Aristarque, Hipparque et Ptolémee et frit connaître le Trai point de rue auquel il faut se placer pour apprécier l'œufre de Copernic. Les portraits qui ornent le livre de M. Lebon sont ceux de Copernic, Galilée, Kepler, Newton, Hersctiël, Laplace, Àrago, Leverrier, Paye, Janssen, Lœwy, Perrier, Newcomb, Tisserand, Sophie Kovalevsky, Poincaré. A la fin de l'ouvrage, il y a un dictionnaire biographique et bibliographique de 45 pages où Ton trouve des renseignements sommaires su* beaucoup d'astronomes et de météorologistes et même de mathématiciens purs. (P. M.)
SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES
Question f OS5.
(Voir Mathesis, (2) VI, page 216).
Soient P„BC, P*CA, P AB trois triangles isoscèles semblables construits sur les côtés d?un triangle donné. Les triangles hotnologiques P«P*P„ ABC sont polaires réciproques par rapport à une certaine conique 2. Démontrer que lorsque l'angle P»BC varie, la courbe 2 engendre un système homo focal. (J. Nbubbrg).
Solution par M. Mandart. Si désigne l'angle P a BC, les coordonnées des points P„, P*, Pc sont
— sin 0, sin (C + 0), sin (B + 0) ;
sîn(C-f-0), —sin 6, sin (A + 0);
sin (B + 9), sin(A+0), — sin0.
Or, si Inéquation tangentielle d'une conique est
AiiA* + A,2^ + A 5 iv 2 + 2A, 2 ^ + 2A î3 ju,v + 2A«,Av = 0,
les coordonnées des pôles des côtés du triangle de référence sont (An, A„, A| 5 ), (À 2 i, A J2 , A 25 ), (A 5 i, A 52 , A 5 i). En comparant les coordonnées à celles des points P„, P*, Pc, on voit que l'équation de 2 est
— + f* 1 + f f )sin -f sin (C + 6) -f 2pv sin (A + 0) + 2Avsin(B4-0) 8 =O;
on peut l'écrire ainsi
— sin 0(A» + f* f + v 1 — 2Au cos C — 2uv cos A — 2h cos B) -f- 2 cos Q(lp sin C -|- mv sin A + ^ *i n B) 0- De cette forme on conclut que 2 touche les tangentes communes aux deux coniques
A* + 1* 1 + v * — 2Àf* cos C — 2ju,v cos A — 2Av cos B = 0, A^ sin C + sin A -f- ^ sin B = 0,
dont l'une est l'ensemble des points cycliques, et l'autre l'ellipse qui touche les côtés du triangle de référence en leurs milieux. Par conséquent, les foyers de cette ellipse sont aussi les foyers de 2.
M. Dboz Farny a donné de la même question une démonstration géométrique très ingénieuse; nous regrettons que le défaut d'espace nous empêche de la reproduire.
"Question itS4.
(Voir Mathesii, (2), IX, p. 264).
Si x 2 -f- y* = 2 2 * x 9 pet* étant entiers, les expressions
j yin+i 2»»+^ s»» — x* n — y ,n (1)
sont divisibles par x + y-\-z. (Grabbbr.)
Solution par M. Dbprbz. Toute solution de l'équation x* + y 2 «= z* est de la forme
On en déduit
Sous cette forme, on voit que la première des expressions (1) est divisible par x -f- y -f- z = 2a (a + 13); car elle admet le facteur numérique 2 et s'annule pour a = et pour a = — /3.
De même, en écrivant
on trouve facilement que la seconde expression est divisible par 2«(« + j3).
Solution par M. Plakhowo. On peut poser
d'où
xy = 2aP(a*-p), x + y + * = 3 2a(a + P);
donc ay est divisible par x -f- y + z-
En considérant les expressions (1) comme des polynômes en z, on trouve pour les restes de leur division par z + x + y '
yf+i — (a? + y)»^ 1 , (a? + y)*" — x' n — y ,n .
En développant (a-j-y)*"* 1 et (a? + y) 1n on voit que ces restes sont divisibles par xy et par suite, par x y + z.
Solution par M. Soons. Sous la conditions* y' = z* on trouve
Or l'égalité x*-\-y 2 — z x exige que deux des nombres x 9 y, z soient impairs et le troisième pair ou que les trois soient pairs. Donc x -J- y — s est divisible par 2, et par suite le produit xy est divisible par x-\-y-\-z.
Gela posé, on peut écrire :
0În+l J yln+1 jln+l
= (a? -f. y + s) (a?«» -f y*») + M. a?y = M (x + y + z) ; ^i» x tn — y ,n = (a? 2 + y a ) n — (s*" -f y*")
Solution far M. Emmbrich. Posons * p = x p + y p — (— z) p ; nous auronsFidentité^p — * p f * 2 -|" *p- 2 * 2 — *V (**~* + y p ~') — (— s) p ~ 2 *2 Donc, si $2 = 0,
= s 1 — a'y* + y*-'). (1) Or, sous la même condition *i = 0, on a
donc puisque x-\-y etz sont de même parité, le produit xy est multiple de a? + y + « et de a? + y — z.
Cela posé, si Ton fait successivement^ » 4, 6, » régalité(l)mon->
tre que les sommes $ 4 ,*e. ...,*/« = y»» — i n soût divisibles par Pour passer au second cas, considérons d'abord $%. On a
= «y (3s — 2a?) + 2a?. (2s 2 — y$ — «a?) = (2s -a - y)(dy-f + +
La dernière parenthèse, à cause de # 2 -f-y 2 = s 2 , peut prendre là forme
a (2a?y + Set -f 2ys + a? 2 + y» + f ») == 1 2»a? j
donc * ( est divisible par \(x + y + *) a . En s'appuyant ensuite sW Tidenfité (1), on voit que * 8 , sont divisibles par \ (x -}- y -f Si l'on change «en — z on trouve que
On ne petit affirmer que * 2 « + i est divisible ps* (# -|- y -j- é** ; 2z — x^y peut ùe pas* être c&visiblé par 2.
$ite*tioii ftM.
(Voir Mafheèit (2), IX, p. 280).
On considère toutes les coniques semblables à une conique donnée, ayant un foyer donné et pour directrice correspondante une tangente à une circonférence donnée; démontrer que V enveloppe de ces courbes est un ovale de Descartes. (J. Nkubbrg.)
Solution géométrique par M. G. Gérard. Soient F le foyer donné, le centre de la circonférence donnée et R son rayon; appelons en outre & l'excentricité qui, d'après la condition de similitude, doif êtfe constante (* < 1 , = 1 . > 1. selon l'espèce des coniques que nous considérons).
Soit maintenant M l'un des deux points d'intersection à distance finie, de deux courbes voisines du système j menons MF et projetons M en D et D' sur les directrices correspondantes; nous aurons
j MF MF ~~"MD~~MD''
don* MB = MD', et le point M se trouve sw la bissectrice dé l'angle' des
deux directrices; mais cette bissectrice passe aussi par le centre de la circonférence donnée, & laquelle les directrices sont tangentes.
Dès lors, si les deux directrices sont données, il suffira, pour obtenir le point M, de déterminer leur point de rencontre I et de mener le rayon 01 : ce rajon passera par M.
Cette construction subsiste encore quand la directrice ID' s'approche indéfiniment de ID, et elle conduit alors au point caractéristique de la conique correspondant à ID; ce dernier point est donc à l'intersection de cette conique avec le rayon de contact 01 de ID. Désignons-le par G ;
CF
nous aurons — = d'où, en posant CF = r et CO = r' :
— ^— ou r — *r' + *& = 0.
Cette équation représente, en coordonnées bipolaires, l'enveloppe cherchée; comme elle est du premier degré en r et r\ l'enveloppe est un ovale de Descartes.
Remarque. On peut considérer l'ovale de Descartes comme le lieu des points dont le rapport des distances CÀ : CA' à deux cercles donnés O et 0' est constant; d'après Chasles, la droite A A' passe par un point fixe S de la ligne des centres 00', et les tangentes en A et A' aux deux cercles se coupent sur la tangente en C à l'ovale (*). Il est facile de retrouver ces propriétés dans la présente question : les deux cercles fixes sont et F (cercle de rayon nul), et S est confondu avec F ; ensuite, la tangente à l'ovale eu C est aussi la tangente à la conique et Ton sait que cette dernière droite passe par le poin.t de rencontre de la directrice et de la perpendiculaire à FC en F ; or, ce sont là les tangentes aux deux cercles fixes.
Solution analytique par M. E. N. Barisien. Soient F le foyer donné, e l'excentricité des coniques, et R le centre et le rayon de la circonférence donnée. Prenons des axes rectangulaires en F, FO étant Taxe des $ et la longueur FO = a.
L'équation d'une tangente à la circonférence étant
(x — a) cos a -|- y sin a — R = 0,
(*) G. de Longchamp, Géom. Analyt., p. 32.
on peut écrire l'équation générale des coniques de l'énoncé sous la forme 0* + y* = e 9 l(x — a) cos a + y sin a — R]«,
ou (a? — a) cos a -f y sin a = d= - 1- R,
De sorte que l'enveloppe de ces coniques est la courbe Pour un point M de cette courbe on a donc
le lieu se compose donc des deux ovales de Descartes ayant et F pour foyers et pour chacun desquels on a
