MO^= ± R, MO + ^ = R
Si e = 1 , toutes les coniques sont des paraboles, et l'enveloppe de de ces paraboles est une ellipse ou une hyperbole, suivant que OF < R ou > R.
Autres solutions analytiques par MM. Rktali et Càbdoso-Làyhbb.
M. Deprkz, qui a résolu cette question en se serrant des coordonnées polaires, accompagne sa solution des remarques suivantes :
I. JLe second foyer, le centre, les sommets et les pieds des directrices décrivent des limaçons de Pascal.
IL Le second axe, les tangentes aux sommets, la seconde directrice de la conique enveloppent des circonférences.
Question f*5f.
(Maihesis, (2), t. X, p. 32).
Une tonique variable touche les côtés du triangle ABC aux points A', B', C Si les droites AA',BB\ CC, se coupent sur la cir cohérence circonscrite au triangle ABC, la conique touche constamment la droite de Lemoine de ABC. (E. Lemoinb).
Solution par MM. C. Couturibr et Retali. Prenons le triangle ABC
pour triangle de référence; l'équation d'une conique inscrite k ce triangle sera
k^+i/^Y+l/Âz==o- (1)
Les droites unissant les sommets aux points de contact des côtés opposés auront pour équations
/X— ^Y = 0, gY - AZ = 0, hZ — /X = 0.
Ces droites se coupent en un même point dont les coordonnées sont
rrr
Or l'équation du cercle circonscrit étant
YZ sin A + ZX sin B -f XY sin C = 0, la condition pour que le point de concours soit sur cette circonférence est /sin A + g sin B -f- h sin C = 0. (2) Mais la droite de Lemoine ayant pour équation X , Y , Z
sin A sin B ' sin C
la condition (2) exprime précisément la relation qui doit exister entre A 9> h pour que la droite de Lemoine soit tangente à la conique (1).
Solution par MM. Déprez, Krahé (Madrid). Plus généralement, si les droites À A/, BB', CC se coupent sur une conique A circonscrite au triangle ABC, la première conique touche une droite fixe.
En effet, soit \/jx \/gy + \Zhi=> l'équation de la conique inscrite; pour que la droite \x + uy -f- = soit une tangente, on doit avoir
D'autre part, le point de concours des droites AA% BB', CC a pour coor-
données > - > r- ; s il décrit la conique — — = 0, on a constam-
ment
Lf + Mç + m = 0. (2) Les conditions (1) et (2) se confondent si Ton suppose L, M, N
proportionnels à i t - # ^ ; autrement dit, la conique variable inscrite touche constamment la droite
Cette droite est la polaire trilinéaire du point (L, M, N), qui lui-même est le point de concours des droites joignant À, B, aux sommets correspondants du triangle formé par les tangentes aux points A, B, C de la conique A.
Solution par M. Boutin. Si (x if jfi, *i) sont les coordonnées du point de concours des droites AA', BB', CC, et si ce point se meut sur une conique circonscrite au triangle ABC, la conique variable a pour équation
moyennant une condition de la forme
Pour trouver l'enveloppe de la conique (1), nous différerions les équations (1) et (2) par rapport aux paramètres Variables x iy y l9 z x ; il vient
-jdx t + - r dy l + — dz i =0. (4)
Les coefficients de ixi,dy lf dzi doivent être proportionnels; on en conclut
ou
/xxx /yyi /m\
Vrv y-y n'
yx\ : y y, : i/z, = : — — : — — «
Introduisant dans l'équation (1) pour les quantités
proportionnelles, on obtient pour l'enveloppe
Solution par M. Soons. Les tangentes menées en À, B, G au cercle ABC forment un triangle A 1 B,Ci, et rencontrent les côtés opposés du triangle ABC en trois points A,, Bi, Ci de la droite de Lemoine. Appelons N le point de concours des droites AA', BB', GC. Les points A', B', C' sont les points de concours des côtés opposés et des diagonales du quadrilatère ABCN inscrit au cercle; donc la droite A'C' est la polaire de B f . Mais Bi est le pôle de la droite AG; donc A'C' passe par B,. De plus les droites B|B' et A'C' forment un faisceau harmonique avec les tangentes BA,BC. On en conclut qu'il existe une conique touchant les côtés du quadrilatère ACA,C 2 aux points B', A\ E, C', E étant le point de rencontre des droites AsC», B'B 2 . Le théorème est donc démontré.
(Jette démontration peut être étendue au cas où le cercle est remplacé par une conique quelconque circonscrite au triangle ABC. Antres solutions par MM. Ripert et Emmerich.
La question 1251 se rattache à la question 1426 de Y Intermédiaire des MëthématU dent. La réponse de M. Duporcq à cette dernière question (I M, 1899, p. 280) contient la solution généralisée de la question 1251 (Note de M. Ripert.)
"Question 1158.
Voir MathetU (2, X p. 32.)
Par deux points donnés A, B faire passer une circonférence qui coupe une droite donnée m ou une circonférence donnée sous un angle donné a.
(Orlando.)
Premier problème. 1° La perpendiculaire élevée au milieu G de la distance AB rencontre m en un point D. En un point quelconque E de m, menons
une droite qui fasse avec m l'angle ^ — a, et soit &>' le point où elle ren-
contre CD. La circonférence décrite du centre «' avec le rayon u'E coupera m sous l'angle a; elle sera homothétique à la circonférence cherchée &>, le centre de similitude est D. Par conséquent! si la droite
DA rencontre la circonférence a' en À', une parallèle à la droite AV par A détermine sur CD le centre <o. (Soons.)
2° Décrivons une circonférence X qui coupe m sous l'angle a, et considérons-la comme une figure homothétique à la circonférence cherchée w. Deux lignes homologues sont les perpendiculaires abaissées des centres X et co sur AB ; les points D\ D où ces droites rencontrent m sont des points homologues connus. Par suite, la parallèle menée par D' à la droite DA rencontre la circonférence X en un point A' qui est l'homologue de A, et les rajons Aw, A'X sont parallèles ; ce qui sert à déterminer le point o.
(Emmbrich.)
8° Transformons pas inversion le cercle inconnu « et la droite m en prenant pour pôle le point A, pour puissance AB . La droite m se transforme en un cercle p que l'on sait tracer. Le cercle « se transforme en une droite coi qui passe par B et coupe le cercle fx sous l'angle a. Or, toutes les droites qui coupent p sous l'angle a enveloppent un cercle facile à construire. Il reste à mener par B les deux tangentes à ce dernier cercle, etc. (Soons et Emmbrich.)
Second problème. I e Soumettons encore la figure aune inversion en prenant pour pôle le point A et pour puissance AB f . Le cercle donné se transforme en un cercle O', et le cercle cherché g> en une droite w f qui passe par B et rencontre le cercle A' sous l'angle a. La solution s'achève comme précédemment. (Soons et Emmbrich.)
2° Prenons pour centre d'inversion un point quelconque F de la circonférence O; celle-ci se transforme en une droite^. On trouve faciment les points Ai et B, qui sont les transformés des points A et B. La question est ramenée à faire passer par Ai et B 4 une circonférence qui rencontre la droite p sous l'angle a ; ce qui est le premier problème.
Pour simplifier, prenons pour F une extrémité du diamètre du cercle O perpendiculaire à AB; en choisissant convenablement la puissance, on peut regarder la droite AB comme l'inverse du cercle O, et prendre pour A, et Bi les points de rencontre de ce cercle avec les droites FA et FB. (Soons.)
1|. Bmmerich donne également une solution algébrique du seeond problême; M. Bari&ien résout les deux cas par le calcul.
(Voir MatheHs, (2) X, p. 32).
Soient B, C deux points fixes d'une circonférence 0, A un point variable de cette courbe. Etudier la variation de Vaire du triangle compris entre la médiane et la hauteur issues de A dans le triangle ABC.
Mê,me question pour le triangle ayant pour sommets le point A, le centre de gravité G et V orthocentre H du triangle ABC.
Solution par MM. Emmerich, Barisien et Soons(*) : 1° Soient D le milieu de la corde BC. E et F les extrémités du diamètre OD, A' la projection de A sur EF; nous supposons ED > DF. Prenons pour variable l'angle EOA = cp ; à cause de la symétrie de la figure par rapport à EF, nous le supposons compris entre et 7r; nous aurons alors
OA' = R cos <p, A'A = R sin <p, DA' = d + R cos 9, d désignant la distance DO. Par conséquent
S = £(^-{-Rcos <p). Rsin <p. (1)
Cette formule convient à toutes les positions de A pourvu que l'on considère S comme positif ou comme négatif suivant que A appartient à Tare EB ou à l'arc BF. Eu E et en B, on a S = 0; donc S a un maximum Si en un certain point A< de l'arc AB. De même S passe par an minimum négatif S* en un certain point As de l'arc AB.
Pour trouver Si et Si par un procédé élémentaire, écrivons
4S* /d-\~Rco8 <p\* /l — cos <p\ /l -{-cos <p\ R^ = V * / \ p )\ y / et exprimons que les facteur du second membre sont égaux entre enx et ont une somme indépendante de cos <p; ce qui donne
d 4- R cos © 1 — cos <p 1 4- cos 9 2R 1.1 A a y a (3 y
L'élimination des inconnues auxiiaires a, (3, y condu it à l'équation
d + R cos <p 1 — cos <p 1 + cos 9
ou,
R cos 2<p 4~ à cos 9 —s 0.
(*) Nous avons modifié ces solutions de manière à éviter l'emploi des coordonnées et du calcul différentiel, tout en complétant la discussion. (J. N.)
Si l'on appelle A l'angle BOD = BEC, on a d =— R cos A, et l'équation précédente se ramène à
cos A cos 9 + co * 2<p *= 0.
On en tire
cos 9 = ^ ( — cos A db \/ cos 1 A + 8).
Les deux racines sont admissibles; la première définit un angle ç< < | , la seconde un angle <p s > ^ •
Si Ton prend l'équation sous la forme
R cos <p
. , — . — ou rf + Rcos <p = R8in<p. tgq>,
i + R cos 9 sin 1 9 1 T tôt
elle exprime que la médiane AD et le rajon AO font des angles égaux respectivement avec BC et FE ou encore que l'angle ADB = B — C.
La solution 91 exige un complément d'explication; car le principe sur lequel on s'est appuyé, suppose que les facteurs du produit à rendre maximum soient positifs. Or, si d + R cos 9 est négatif, admettons que a représente un nombre négatif, et les égalités de condition seront les mêmes que tantôt.
2° Soit K la projection de A sur BC. Le triangle AHG vaut les -du
triangle AHD ou les £ du triangle OKD, car AG = f AD et AH = 20D. Le maximum de l'aire AHG a donc lieu lorsque le rajon OA est parallèle à BC.
Remarque. Bien que le triangle ABC tende vers zéro, lorsque A tend vers B, il n'en est pas de même du triangle AHG, car le côté AB ayant pour limite la tangente en B, la hauteur CH a pour limite une parallèle à OB; AH tend vers la perpendiculaire élevée en B sur BC. En prenant sur cette perpendiculaire (dans le sens OD) une longueur AH' = 20D, on aura l'orthocentre H' du triangle aplati BBC. (J. N.)
^QUESTIONS D'EXAMEN
9St. On coupe un tétraèdre À8GD par un plan quelconque parallèle à la face BCD; soient B'C'D' la section, B"C"D" la projection deB'C'D' sur le plan BCD parallèlement à une direction donnée u. Trouver le lieu géométrique du centre de gravité du prisme B'C'D' B"C"D" (milieu de la droite joignant les centres de gravité des bases).
Ce lieu est la droite joignant le centre de gravité de BCD au milieu de la parallèle à u menée par A et terminée au plan BCD.
•58. Un cercle variable touche une parabole donnée en un point donné M et la rencontre en deux antres points P, Q ; démontrer que le milieu de la corde PQ est à une distance constante de l'axe de la parabole.
Plus généralement, un cercle variable coupe une conique en quatre points A, B, C, D ; si la corde AB a une direction constante, il en est de même de la corde CD.
•54. On donne deux droites parallèles AP, BQ et un cercle tangent à ces droites aux points A et B. Soit M un point quelconque du cercle 0; on mène les droites MA, MB qui coupent BQ, AP en B', A',
On trace la droite A'B', et on mène sur AB la perpendiculaire MD qui coupe A'B' en M'. 1® On a MD = M'M ; 2° le point M' décrit une ellipse E; 3° trouver l'angle dont il faut faire tourner l'ellipse E autour de AB pour qu'elle se projette suivant le cercle 0; 4° A'B' est la tangente en M' à l'ellipse E; 5° calculer la longueur MD, de manière que la surface totale du tronc de cône engendré par le trapèze ABB'A' tournant autour de BA soit égale à m fois la surface du cercle Q.
(Certificat d'aptitude à l'enseignement secondaire des jeunes filles).
•55. Trouver le plus petit parallélogramme circonscrit à une ellipse donnée.
Cette question, proposée dans plusieurs manuels, peut êtr* résolue analytiquement et géométriquement. Nous résumons ici une solution analytique qui nous a été communiquée par M. Tonneau (Lié^e), mais qui a déjà été publiée. Soient
y =.thx-\- y = mw — y = m'œ + y = m'as — / les équations de deux couples de tangentes parallèles MN et QP, MQ et NP; /a et fi f désignent |/a 2 **+* 2 , ]/a 2 m' 2 +b'\ On calcule facilement les coordonnées
d'où MN 2 = 4 /*' 2 (! + «•):(» -m') 2 .
La hauteur du parallélogramme est le double de la distance du centre de l'ellipse à MN, ou 2 /* : La quantité à rendre minimum est donc
le minimum correspond donc à a 2 mm' +^ = 0, etc.
(tfW + y)»
.«fja.
QUESTIONS PROPOSÉES
x m** *. On donne les angles d'un triangle ABC, et le rayon r do cercle inscrit, qui touche BC, CA, AB aux points D, E, F. Lorsque la figure tourne autour de la bissectrice de l'angle BAC, calculer les surfaces engendrées par les droites AF, FB, EC et par les deux arcs que sous-tend la corde FE. Trouver également les volumes engendrés par les triangles curvilignes ayant pour côtés les droites AF, AE et l'un des arcs de cercle FE.
f Par un point fixe A on mène une sécante quelconque qui rencontre une circonférence donnée aux points B et C, et on construit le carré BCDE. Trouver les lieux des sommets D, E et du centre du carré - (G. de Rocquigny).
1999. Sur les côtés du triangle ABC comme bases on construit trois triangles isoscèles semblables AiBC, B,JA, C,AB. Lorsque l'angle A 4 BC varie, les points de concours A», B 2 , C 2 des couples de droites (BCi, CBi), (ABi, AjB), (CAi, CiA) décrivent trois hyperboles. Les droites AA ît BBj, CC a cjncourent en un même point P, qui décrit une droite. Si A,B0, B',CA, C' 4 AB sont trois triangles isoscèles dont l'angle à la base est complémentaire de l'angle A,BC, et que A'„ B;, C, désignent les . points de concours de couples (BC,, CB' 4 ), (AB',, A;B), (CA',, CJA), les droites A 2 A^, BB^, CC, concourent au centre du cercle circonscrit au
(J. Nbuberg.)
triangle ABC.
itSO. Calculer le déterminant x\ + a xa* XiXi x\ -j- a ...
X\X P XiXp
y* yt
(A. Demoulin.) Rectification. Page 152, 1. 7, lire sommé an lieu de limite.
XiXp^i
yt
XiX r x
XiXp
&p-\Xp
Xp-iXp
yp
Vf
QUESTIONS DE THÉORIE DES NOMBRES; par S. Rbalis.
t. Assigner, par formula directe, toutes les solutions entières de V équation indéterminée
mx x — 3mxy + (2m + 1) y* = 1 9
m étant un entier donné.
Solution. On tire, de l'équation proposée,
Les deux valeurs de x seront rationnelles, si la quantité sous le radical se réduit à un carré. Posant (puisque le carré doit être divisible par»)
(m* - 4m) y 2 + 4m = mh\ on tombe sur l'équation
mt 1 — (m — 4) y* = 4, dont les solutions entières amènent, pour la proposée, des valeurs de x et y entières.
L'équation en y, z est résolue complètement au t. II, p. 535, des Nouvelles Annales de Mathématiques (3 e série), 1883. Il en résulte, pour x et y. les valeurs successives
|f*=l, | y = l, [y = «i— 1, j y = etc.
9. a étant un entier quelconque, et (3 un entier différent de ± 1, A L db 2a, ri A 7 ±: 2a, V équation
fl.*4(a 3 4-|3)a? 2 + 4a(«» + (3)«-(a*-.2^ + 2) =
n'a jto* A rari** «tftïr*.
Démonstration. D'après un théorème d'Euler, l'équation 2u* — 2 = v 9 est impossible en entiers u 9 v 9 excepté pour les deux systèmes
l « — dbl, l u = ±3, |.»-.0, jf — ±2.
Gela étant, l'équation
2 (»» — xx — (3) 1 — 2 = (* - a) »,
c'est-à-dire
a* — 4 («' -f (3) a?» + 4a («' + (3) * — (a* — 2(3* -f- 2) — 0, est impossible en entiers a, (3, «, excepté dans les cas suivants :
X 1 — OiX — P= 1,
aî = a,
a? 1 — aa? — (3 = 3,
a?* - aa? — (3 = 3,
x* — olx — j3 = —
a?* — olx — /3 = —
De là Ténoncé *.
3. a dteflf entier quelconque, et (3 m tnlt'ér diférent de zéro, et différent de ± a 2 , *l <fc — 2a 8 , l'équation
s' + 2(a« + f3)a? f + 4a(a* + (3)a? + a* -/3 2 = n'a y<w <fc racifw entière.
Démonstration. D'après un théorème d'Ecrier, l'équation a?* + y i = r 2 est impossible en entiers, excepté pour a? = 0, ou y = 0.
L'équation
s 4 + + *)* = (* a + 2aa? - (3)« ,
c'est-à-dire
a?* + 2 (a* + 13) a? 2 -f 4a (a* + (3) a? + a* — £ 2 = 0, est donc impossible, excepté :
1° pour x = 0, auquel cas (3 = :fca 2 ; 2° pour a? = — a, auquel cas on a (3 = 0, ou |3 = — 2a*. De là l'énoncé 3.
4. a «a»* un entier quelconque, et (3 un entier positif, non Carré. V équation
*« 2 (a» + 0) a? 2 + 4a (a 2 + (3) a — (a* — 15 2 ) = 0, n'a pas de racine entière.
Démonstration. D'après un théorème d'Euler, l'équation y 1 — x* r % est impossible en entiers, excepté pour :
L'équation
(a — x)* — a* = (x 2 — 2olx — p) a ,
c'est-à-dire
est donc impossible, excepté :
1° pour a = 0, auquel cas on a x 1 — (3 = 0, et |3 doit être un carré;
2° pour x = - • auquel cas, a étant pair, on doit avoir /3 = — >
valeur négative.
3° Pour x = 0, auquel cas on doit avoir (3 = =b a 2 , et la valeur positive de (3 est un carré.
5. a //a** un entier quelconque, et (3 tm wtor différent de zéro % de — 1 et de db a, V équation
0«4-2a*' — (a 2 + 2(3 + l)^ 2 + a(2|34-l)a? — (^ + P) = n'a j?a« <fo racine entière.
Démonstration. D'après un théorème de Fermât, l'équation
y* + V = 2x* est impossible en nombres entiers, excepté pour
y = o, J y = — 1, ty = l, a? = 0, ) û? = 0, ( a?=± 1.
L'équation
(a? 4 — «a? + f3)* + s 2 — ax + (3 = 2a 4 ,
c'est-à-dire
& + 2ax* — ( a « + 2/3 + l)* 2 + a (2/3 + 1) x - (/3 2 + (3) = 0, est donc impossible, excepté :
1° pour x = 0; alors (3 = 0, ou (3 = — 1 ; 2° pour « = 1 ; alors /3 = a, 3 e pour a? = — 1 ; alors (3 = — a.
S. a *f /3 étant entiers, et aucune des expressions
ne se réduisant à un carré, V équation x > + (2« - 1)0* + (a' + (3)*' - /3 (2 a -f 3/3)0 + Ç>* + (3 2 — 1 =
«'a jmm de racine entière.
Démonstration. D'après un théorème d'Euler, l'équation u s + 1 = v* est impossible en nombres entiers excepté pour
j t>= dfc 1, /t> = 0, N = ± 3.
L'équation
c'est-à-dire
^ + (2a — + (a« + (3)a? 2 -/3(2a + 3|3)â? + (3' + |3 2 — 1 = 0, est donc impossible, excepté pour ) = 0,
| (3* + (a — l)/3 = 1 ; a» — 2a -f 5 = carré, ) * =
) /3«-f (a — 1) /S = -1; a* — 2a — 3 = carré, i ^ = 13 — 1,
) (P-l^ + a^-l)— (3 = 0; a» — 2a +5 = carré.
((3 + 2) 2 + a(/3 + 2) — |3=»3; a 2 — 2a + 5-=carré. j * = [3 + 2,
| (P4-2) 2 -|-a(P-f 2) — (3 = — 3; a'— 2a - 19 = carré.
Ii est facile, comme on le voit, d'établir une foule de propositions analogues à celles qui viennent d'être démontrées. Des exemples en ont déjà été donnés dans la Mathesis.
Turin, 24 mai 1883.
Notb. A propos de la dernière question de Realis, rappelons à nos lecteurs, le curieux théorème empirique de Catalan, dont personne n'a pu donner la démonstration, ni prouver la fausseté :
ë et B sont les seuls nombres entiers consécutifs qui soient des puissances exactes. (P. M.)
LE THÉORÈME DE CHASLES RELATIF AUX CUBIQUES GAUCHES î par M. Stutvaebt, professeur à l'Athénée de Gand.
Le point de rencontra de trois plans osculateurs à une cubique gauche est situé dans le flan des trois points i'osoulation (*).
Il existe, à notre connaissance, une dizaine de démonstrations de ce théorème; les plus élégantes, comme il arrive souvent, sont celles qui supposent le plus de connaissances antérieures. La méthode que nous allons employer est au fond une variante de celles de von Staudt (**)
et de Schrôtbr(***) ; elle a l'avantage de pouvoir se placer tout au début de la théorie et de conduire à quelques conséquences curieuses. 1. Soient A, B, G trois points de la cubique, et a. i, c les tangentes en
(*) Chaslks {Liouviile (2) II, 1857, pp. 397-407). On peut définir une cubique gauche, l'intersection partielle de deux cônes du second ordre qui ont une génératrice commune; la courbe est projetée de chacun de ses points suivant un cône du second ordre, la tangente à la courbe au sommet de ce cône est une génératrice de celui-ci, et le plan oscillateur est langent au cône.
(**) Qecmetrte der Loge.
(***) Crelle, (1859), t. 56, p. 27.
ces points. Les plans ÀBJ, ACc et le plan oscillateur a en A touchent respectivement le cône de sommet A perspectif à la courbe, le long des génératrices AB, AC, a. D'après une propriété connue des cônes du second ordre, les plans ABC, ACtf, ABa coupent respectivement les plans <x, AB}, ACc suivant trois droites d'un même plan.
Donc, si Bi, Ci ; Ci, At ; As, B* sont les points de rencontre respectifs de a avec les plans (B, c) et (C, >), de b avec (C, a) et (A, c) 9 de e avec (A, b) et (B, a) ; si M, N, P sont les traces de B S C 2 , CjAs et Bi A 2 sur le plan ABC, il résulte de ce qu'on vient de voir que AM appartient au plan a; pareillement BN et CF sont respectivement des droites des plans osculateurs en B et C.
AA*As,BBfBi, CC|C 2 sont trois directrices du système réglé dont a,b f c sont trois génératrices; les plans (a, AA 2 A S ), (b, BB1B1), (c 9 CC|C 2 ) sont tangents à l'hyperboloïde, support de ce système réglé ; les traces NP, PM, MN de ces plans sur ABC touchent la conique suivant laquelle le plan ABC coupe cet hyperboloïde. Donc les triangles ABC et MNP sont homologiques et les droites AM, BN, CP concourent en un point 0.
ft. Une cubique gauche étant complètement déterminée par trois points et les tangentes en ces points, nous rencontrons ce théorème de Géométrie élémentaire :
Si par trois points non en ligne droite A, B, C, (m mène trais droites quelconques a, b, c, dont deux ne soient pas dans un même plan 9 si Von mine, par k % une droite s* appuyant, en A* et A 5 , sur b et c,par B une droite qui s'appuie en B 3 et B, sur c et a, par C une droite qui s'appuie en Ci et C* sur a et i, les droites B 5 C 2 , Ci A 5 , A2B1 percent le plan ABC aux trois sommets M, N, Pd'un triangle circonscrit et homologique à ABC.
Les côtés du triangle MNP coupent les côtés homologues de ABC en trois points d'une droite d qui est visiblement la polaire de 0, à la fois par rapport au triangle ABC et à la conique 2, intersection du plan ABC avec l'hyperboloïde déterminé par a, b, c. Donc, la conique I est la conique polaire de par rapport au triangle ABC (*).
A cause d'une propriété connue, la droite polaire de par rapport à ABC est l'intersection de deux plans osculateurs de la cubique (plans imaginaires conjugués si A, B, C sont réels).
(*) Voir Dixon, On twUted cubiet (Querterly Journal, t. 24).
Donc Taxe éThomologie des triangles ABC et MNP est Tintersection de deux plane oscillateurs.
En faisant la figure polaire réciproque de celle qui se trouve dans le plan ABC et en choisissant 2 comme conique directrice, on voit que la conique 2 est la conique pôlaire de la droite d par rapport à la courbe ae troisième classe représentée par les trois points M, N, P. (*).
X AIRB DES SINUSOÏDES ET FORMULE DE WALLIS(**). t. Aire d'une courte. Soient
00, 0|=<Po + £lt 0| = 0o + #I, • X = 0„-l + dn 9
les abscisses d'une courbe continue, les intervalles positifs d étant égaux ou inégaux;
yOl, #12, Jfli, gfn-l,»,
les ordonnées correspondant respectivement à un point quelconque des intervalles 3 l9 d i9 dt, d». On sait que la somme
àl +#11 & + ... +yn-l f n<în OU S y<î
tend vers une limite bien déterminée S, quand tous les à tendent simultanément vers séro. Quand les ordonnées y sont toutes positives, S est Taire de la courbe considérée depuis y jusque Y. Quand elles sont tantôt positives, tantôt négatives, S est Taire de la partie de la courbe située au dessus de Taxe des x, moins Taire de la partie située en dessous. Dans ce qui suit, nous appellerons S, dans les deux cas, l'aire (algébrique) de la courbe.
*. Aire de la sinusoïde fondamentale. Considérons la courbe p== s'mmx et choisissons pour yoi,yi2, ...,yn i,n les ordonnées correspon-
(*) La figure possède encore des propriétés descriptives que Ton aperçoit aisément.
(**) Dans cet article, nous évitons l'emploi du calcul intégral, dans le sens propre du mot (calcul inverse du calcul différentiel), parce qu'il implique la connaissance du calcul différentiel et, en particulier, celle de ce théorème difficile à établir : Deux fonctions qui ont une même dérivée ne difêrent que par une constante.
dant au milieu de chacun des intervalles 3i,3 2 , ... f 3» supposés tous égaux. On aura
S y3 = 3 j^sin m(x. + sin m(x x +0 + . . . + sin m ^x„i + « Mais
* . / , 3\ . md
2 sin w ( a? + 2 ) 8111 "2" œ cos ma ° ~ 008 mXi '
, 3\ . î»3 2sun»( x t +- )sm-g-=cos«ia?i — coswwPî,
2 sin m ^ a?n-i + 1 ^ sin ^ = cos mx n -\ — cos «X.
Par suite, dans le cas actuel ,
Sy3 = -(cos ^ — costftX),
et, à la limite, pour 3 = 0,
x ( S = lim S yo = -
puisque, pour 3 = 0,
3 md
lim lim r = — X 1.
md m . md m sin sin
Remarque. On trouve de même, pour l'aire (algébrique) S' de la coginusoïde y = cos mx, de Xo à X,
, sin mX — sin mx
Si Xo = 9 X = J 7T, on a, en particulier,
Par suite, dans le cas où m = 2», « étant entier,
et, si w = 2w + 1»
Si de plus » = 0, ou m => 1, on trouve que l'aire de y » cos x (et aussi celle de y — sin x), de x = à x — { tt, est égale à 1 .
3. Ain des sinusoïdes paires. Nous appelons sinusoïde paire la courbe ayant pour équation y sin 3 »0, n étant entier positif. La cosinusoïds y = cos 1 "**? est au fond identique à cette sinusoïde, comme on le voit en remplaçant x par j tt — x, c'est-à-dire, par un simple changement d'axes de coordonnées.
Nous allons chercher l'aire Sa» de la seconde de ces courbes, de x = à x = J- 7T. Elle est évidemment égale à l'aire de la première dans le même intervalle.
D'après une forme connue, 2*»- 1 cos*\» = cos 2*& + cos(2» — 2)x H h C"" 1 cos 2x + |C" n ,
si Ton représente par C r p les combinaisons de p lettres r à r. Il en résulte immmédiatement
2 ,n ~ l limS cos * m x.d=> lim S cos 2im? . i + C* n lim S cos (2» — 2) x . i
+ . . . + C^-' lim Soob 2» . a + { C"„ lim 3 a .
D'après la remarque du n° 2, tous les termes du second membre à l'exception du dernier sont nuls; le dernier est évidemment égal à ? ^2*n • ^ e P rem * eP membre est d'ailleurs 2 2 "- 1 S 2n .
On a donc
1 1.2.3... 2n TT 1.2.3 ... 2» tt
ou enfin,
1.3.5,.. (2» — 1) tt 1,1 2.4.6.. .2» 2* Remarque. On trouve de même, pour l'aire S 2 n+2 de y = cos în +* x ou y = sin ,n +* de # = à a? = £ 7r t
