COS S

et, par suite,

2 tn lim S cos ÎB -H# . i = lim S cos (2ji + \)x . S

+ Cj l|+1 lim S cos (2n — l)a? . S -J

ou d'après la dernière formule du n°2, en renversant l'ordre des termes du second membre,

On trouve de même, pour l'aire S»». , de y = cos*»- 1 * ou y = sin 2 »"'*,

D'après wn* formule comminatoire démontrée antérieurement (Mathep. 159) le rapport des seconds membres des relations précédentes est [8» : (2n + 1)]. On trouve donc, en divisant ces deux relations l'une par l'autre,

Sn-I 2»+l

c'est-à-dire

relation analogue à celle qui termine le n° 3. On a de même, succestivement,

On a d'ailleurs, pour n nul, d'après la remarque qui termine le n* 2, S 4 =S' = 1. Donc enfin

1.3.5.7. . (2n+l) Remarque. Si p est entier, pair ou impair, on a

d'après la remarque du n° 3 et ce qui vient d'être prouvé. 5. Formule de Wallie. On a évidemment, dea? = 0àa? = ^7r,

cos 2 "a? ^ co8 2ftf cos ,n+, #,

et, par suite, la courbe y=cos 2n+, # est située entre les courbes y = qo& 29 x et y = co8 ïn+ *a?, tout en ayant les mêmes extrémités. On a donc

ou

1.3.5...(2k— 1) tt 2.4.6... 2n 1 .3.5 ... (2ft+ l) ir 2.4.6... 24 2 > 3.5.7...(2»-fl) > 2.4.6... (2n + 2)2' On déduit de là

ou, en abrégé,

en posant

On pent donc écrire

2" p -C I+ sr+i> ou — —

en désignant par 6 une quantité comprise entre Oet 1. Par suite, en

faisant » = oo , on a

hm P,. = l.m ! 3 5 5.7.7 (2 « - 1)(2« + 1)'

ce qui est la formule de Wallis.

Note. Le théorème du n* 1 sur l'existence de la limite S est dû à Cauchy; on l'attribue souvent à tort à Riemann (voir notre Cours S Analyse, n" 106-108, pp. 25-26). — Si nos souvenirs sont exacts, c'est Kepler qui a obtenu, le premier, l'aire de la sinusoïde fondamentale, par un procédé identique ou analogue à celui du n° 2. — Wallis a trouvé sa formule par induction et l'a publiée dans son Arithmetica infinitorum (1655). — Laplace, dans la première des Additions de sa Théorie analytique des Probabilité* (pp. 462 464, de la 3* édition (1820), en donne une démonstration, qui traduite dans le langage précis de l'analyse moderne devient celle du n° 5; puis (pp. 465-468) il analyse avec soin la démonstration de Wallis en en signalant les postulats; enfin (pp. 469-470)*il en déduit une formule de Stirling. — La formule de Wallis se déduit aisément de celle qui donne cos x, sous forme de produit infini, mais cette formule relative à cos x n'est pas aussi facile à établir qu'il paraît au premier abord (voir Sbrrbt, Trigonométrie, cinquième édition (1875), pp. 242-247, n°" 185-188). (P. M.)

BIBLIOGRAPHIE

Précis d'Arithmétique élémentaire, à l'usage des écoles moyennes, des Cours professionnels, des Écoles normales et des classes d'humanités par l'abbé E. Gelin, Docteur en philosophie et en théologie, professeur de Mathématiques supérieures an collège Saint-Quirin à Huy. Quatrième édition, rédigée d'après un plan simplifié et contenant les solutions raisonnées de cent trente problèmestypes. Namur, Wesmael-Charlier; Huy, chez l'auteur (In- 8° de 272p.). Prix: 3 francs.

Nous avons maintes fois parlé dans MathesU du Traité, du Précis et de Rtcueil

de problèmes d'Arthmétique de M. l'abbé* Qeiin et nous en avons fait ressortir les qualités, au point de vue scientifique, pédagogique et pratique.

Si nous ne nous contentons pas aujourd'hui de signaler simplement la quatrième édition du Précis, c'est que l'auteur a introduit de profondes modifications dans Tordre des matières exposées dans les éditions antérieures.

L'ordre ancien était celui-ci: 1. Opérations sur les nombres entiers, 2. Caractères de divisibilité. 3. Théorie des nombres premiers. 4. Fractions ordinaire?. 5. Fractions décimales. 6. Fractions décimales périodiques. 7. Les mesures. 8. La résolution des problèmes. 9. Puissances et racines. 10. Rapports et proportions. 11. Progressions et logarithmes.

L'ordre nouveau est 1, 2,4,517,8,3,6,9,10, H; les difficultés sont beaucoup mieux graduées, la théorie des fractions étant rendue indépendante autant que possible de la théorie des nombres premiers. Il y a une foule de manuels d'arithmétique élémentaire, où l'on procède de cette manière, mais dans la plupart, on le fait aux dépens de la rigueur. Naturellement, M. Gelin n'a eu garde de tomber dans ce défaut. Dans la théorie des fractions ordinaires, il se borne aux notions indispensables sur la simplification des fractions et sur la réduction au même dénominateur, sauf à revenir plus tard sur ces deux questions, après la théorie des nombres premiers.

Nous croyons que Tordre nouveau adopté dans le Précis de M. Gelin en rendra l'emploi beaucoup plus facile pour la moyenne des élèves, et nous sommes per* suadé que son livre, sous sa nouvelle forme, rendra plus de services encore à l'enseignement que sous l'ancienne (*) (P. M.)

Cours de Géométrie élémentaire à l'usage des élèves de mathématiques élémentaires, de mathématiques spéciales, des candidats aux écoles du gouvernement et des candidats à l'agrégation, par MM. B. Nibwenglowski, Inspecteur de l'Académie de Paris, et L. Gérard, Professeur au lycée Charlemagne. Paris, G. Carré et C. Naud. Première partie. Géométrie plane, 1898 (In-8° carré de XX-862 p. avec 289 figures. Prix cart., 5 fr.; broché, 4 fr.) Deuxième partie. Géométrie dans l'espace, 1899. (In*8° carré de 495 p. avec 363 figures. Prix : cart. 6 fr., broché 5 fr.).

Yoici un excellent ouvrage que nous aurions voulu signaler à nos lecteurs plus tôt. Les auteurs se sont proposé de nous doter d'un Cours de géométrie qui soit rigoureux et complet sans être trop compliqué; ils ont voulu tenir compte dans

(*) Trois petites observations : 1° On peut supprimer sans inconvénient le n° 58, contenant une règle difficile à retenir et non démontrée. 2° Au n° 97, 4° on peut prouver que le produit est un dénominateur commun ; il ne faut renvoyer au n° 372 que pour la démonstration de ce fait que ce dénominateur commun est le plus petit. 3° La règle relative aui annuités (n° 489) peut se déduire de la formule des intérêts composés sans recourir aux progressions. N'est-il pas utile de faire connaître cette seconde manière d'établir cette règle?

une certaine mesure des observations critiques adressées à renseignement de la géométrie de divers côtés, mettre à profit les perfectionnements signalés dans les recueils périodiques ou ayant cours dans certaines classes, enfin introduire les nouvelles théories utiles À connaître et en quelque sorte indispensables à ceux qui se préparent aux études supérieures. Bien que le manuel s'éloigne des programmes belges ou plutôt pour cette raison môme les élèves de nos classes scientifiques et mâme les professeurs y trouveront une foule de choses intéressantes, instructives on originales.

Sauf quelques changements qui ont leur valeur, l'ordre des matières est, en général celui qui est suivi dans les manuels français depuis un demi-siècle: Le troisième livre comprend les figures semblables, le quatrième la mesure des aires, le septième tout ce qui est relatif aux corps ronds, le huitième les courbes usuelles.

Les notions fondamentales ont été exposées avec clarté et rigueur : définitions de la droite et du plan, comparaison des segments rect il ignés, mesure des grandeurs (avec une note à la fin du premier volume), etc. Ainsi que la logique l'exige, avant d*aborder la géométrie plane on démontre que par trois points non en ligne droite on peut faire passer un plan et un seul. Les premières notions sur la circonférence se placent au début de la géométrie plane, et l'idée d'angle reçoit tous ses développements en se liant à celle de Tare de cercle décrit du sommet comme centre et intercepté entre les côtés. Les auteurs placent la théorie des parallèles avant celle des perpendiculaires ; cet ordre leur permet de généraliser l'idée d'angle et de parler des plans orientés avant de passer aux propriétés des triangles et des polygones. A l'occasion de la symétrie par rapport à un centre ou une droite, ils insistent sur l'égalité directe ou l'égalité inverse de deux figures situées dans un même plan.

La mesure des angles au centre, dans le cas de l'incommensurable, est présentée aussi simplement que possible, sans le subterfuge de renvoyer aux traités d'Arithmétique qui, eux-mêmes, renvoyent souvent aux traités de Géométrie. Les problèmes du deuxième et du troisième livre sont accompagnés de l'appréciation de la simplicité et de l'exactitude des constructions, d'après les principes de M. Lemoine. A la fin du deuxième Livre sont exposées les premières notions sur le déplacement d'une figure plane (Translation, rotation, retournement).

Le Livre III débute par quelques connaissances sur les vecteurs, et par l'étude de la variation du rapport M A ; MB quand le point M parcourt la droite indéfinie AB; cette étude conduit à introduire le point à l'infini de la droite. La théorie des lignes proportionnelles est accompagnée de la construction des expressions rationnelles. La théorie des figures homothétiques précède celle des figures semblables; cette marche, préconisée depuis longtemps, est plus rationnelle que l'ancienne. Le chapitre intitulé Propriétés métriques du triangle* du quadrilatère* du cercle, etc. est très complet; on y rencontre le théorème de Stewart avec des applications, la théorie des axes radicaux, celle des droites antiparallèles, la construction des valeurs irrationnelles, quelques lieux géométriques ët le problème du cercle tangent à trois cercles donnés.

De même, le chapitre consacré aux transversales, aux pilaires et à Vinversion renferme tout ce qu'on peut désirer sur ces matières; il est une excellente introduction à la géométrie supérieure. La recherche de la longueur d'une circonférence est précédée d'explications sur ce qu'on peut appeler longueur d'une courbe, et la détermination de n par la méthode des périmètres ou celle des isopérimètres est donnée avec soin, sans prolixité.

Dans la mesure des aires, les auteurs suivent dans le texte la méthode classique; mais une note placée à la fin du volume expose une méthode, due à M. Gérard, qui est affranchie de tout postulat (voir Matkesis, 1897, p. 265.)

Les exercices placés à la fin de chaque chapitre sont bien gradués et complètent souvent le Cou-s; les plus di faciles sont accompagnés d'indications suffisantes pour mettre le lecteur sur la voie de la démonstration. Cette partie de l'ouvrage est, à nos yeux un véritable Cours d'applications géométriques; les auteurs se sont efforcés de la tenir au courant de ce qui a para dans les recueils périodiques.

L'analyse asies détaillée que nous venons de faire de la Géométrie plane de MU. Gérard et Niewenglowski nous dispense de faire un examen complet de la seconde partie. Nous signalons particulièrement le Livre VIII qui traite géométriquement les courbes usuelles ; les propriétés des coniques y sont établies par dds procédés très simples. Nos programmes belges ont peut-être le tort de ne pas faire précéder la géométrie analytique de l'étude géométrique des courbes du second ordre.

Les Compléments de géométrie dans l'espace comprennent les chapitres suivants :

I. Déplacement d'un solide indéformable. II. Divisions homograpbiques, faisceaux homographiques. III. Involutions. IV. Homologie. V. Propriétés générales des coniques. VI. Propriétés générales des polyèdres. Quatre notes sont consacrées respectivement à la symétrie, aux coordonnées tétraédriques, à la mesure des polyèdres, et au plus court chemin dans l'espace et sur la sphère.

L'exécution typographique du Cours de Géométrie fait honneur aux presses de la maison Carré et Naud. (J. N.)

Note. A cause de l'importance de la Géométrie de MM. B. Niewenglowski et L. Gérard, nous croyons utile d'ajouter au précédent compte rendu, la table détaillée des livres V, VI, VII.

Livre V: Droites et Plan* — Le plan. Définition, détermination d'un plan. Modes de génération d'un plan. Intersection d'une droite et d'un plan. Exercices.—

II. Droites et plans parallèles. — III. Angles de droites non situées dans le môme plan. — IV. Droite et plan perpendiculaires. Définition et premières propriétés. Théorème des trois perpendiculaires. Lieu des points équidistants de deux points donnés. Perpendiculaire et obliques. Exercices. — V. Angles dièdres. Définition. Rectiligne d'un dièdre. Dièdre droit Exercices. — VI. Plans perpendiculaires. — VII. Plans parallèles» Définition et premières propriétés. Distance de deux plans parallèles. Proportionnalité des segments interceptés par des plans parallèles sur les côtés d'un polygone plan ou gauche. Ces particulier du quadrilatère. Plan bissecteur d'un dièdre. Exercices. — VIII. Projections

orthogonales. Définitions. Projection d'une droite. Projections de deux droites orthogonales sur un plan parallèle à Tune d'elles. Réciproques. Angle d'une droite et d'un plan. Lignes de pente d'un plan. Projections sur un axe. Perpendiculaire commune à deux droites. Exercices. — IX. Angles polyèdres. Définitions. Angles polyèdres symétriques. Trièdres supplémentaires. Angles polyèdres supplémentaires. Propriétés fondamentales des angles polyèdres convexes. Trièdres rectangles. Cas d'égalité des trièdres quelconques. Cas d'égalité des trièdres rectangles. Analogie et différences entre les trièdres et les triangles. Constructions d'un trièdre connaissant les trois faces ou les trois dièdres. Exercices. — X. Rapport anharmonique d'un faisceau de quatre plans. — XI. Translation et rotation.

Livee VI : Polyèdres. — I. Généralité $ur les polyèdres. Définitions. Propriétés des diagonales d'un parallélépipède. Exercices. — II. Volume du prisme. Définitions. Mesure du parallélépipède rectangle. Mesure du parallélépipède droi\ Mesure du parallélépipède oblique. Mesure du prisme. Exercices. — III. Volume de la pyramide. Définitions. Sections faites dans une pyramide par des plans parallèles à la base. Mesure de la pyramide. Tronc de pyramide de première et de deuxième espèce. Tronc de prisme triangulaire. Prismatoïde. Exercices. —

IV. Symétrie. Définitions Symétrie par rapport à une droite. Symétrie par rapport a un point ou par rapport à un plan. Exercices. — Y. Homothétie et similitude. Définition de l'homothétie. Conséquences. Définition de la similitude. Conséquences. Décomposition de deux polyèdres semblables en tétraèdres semblables chacun à chacun. Réciproque. Cas de similitude de deux tétraèdres. Rapport des volumes de deux polyèdres semblables. Exercices.

Livra VII : Les corps ronds. I. Notions sur les surfaces coniques, cylindriques et de révolution. Définitions. Plan tangent. Normale. Exercices. II. Cylindre et cône de résolution. Aire de la surface latérale, développement % volume. Cylindre de révolution. Cône de révolution. Tronc de cône de révolution de première et de deuxème espèce. Exercices. — III. Premières notions tur la sphère. Définitions. Positions relatives d'une sphère et d'une droite, ou d'un plan. Tangentes. Plans tangents. Cônes circonscrits à une sphère. Mener par une droite un plan tangent a une sphère donnée. Positions relatives de deux sphères. Angle de deux sphères, d'une droite et d'une sphère. Sphères orthogonales. Exercices. —IV. Aire et volume de la sphère. Aire d'une zone, ou d'une calotte. Aire de la sphère. Volume engendré par on triangle en tournant autour d'un axe passant par un de ses sommets, situé dans son plan et ne le traversant pas. Secteur sphérique. Volume de la sphère. Volume engendré par un segment circulaire en tournant autour d'un diamètre qui ne le traverse pas. Segment sphérique à une ou deux bases. Formule de Mac-Laurin. Exercices. —

V. Sphère circonscrite, sphères inscrites à un tétraèdre. Sphère circonscrite à un tétraèdre. Sphères tangentes aux quatre faces d'un tétraèdre. Sphères tangentes aux quatre côtés d'un quadrilatère gauche. Exercices. — VI. Plan radical et plan polaire. Puissance d'un point par rapport à une sphère. Plan radical. Centre radical. Points conjugués par rapport à une sphère. Plan polaire d'un point, pôle d'un plan. Droites conjuguées par rapport à une sphère. Exercices,— VII. Systèmes

de sphères. Inversion. Centres d'homothétie de deux sphères. Axes d'homothétie de trois sphères. Plan d'homothétie de quatre sphères. Plans tangents à deux ou à trois sphères. Inversion. Sphères isogonales. Sphères tangentes. Construction des sphères tangentes à quatre sphères données. Cercles inverses. Projections stéréographiques. Sections antiparallèles d'un cône oblique à base circulaire. Exercices. — VIII. Figures tracées sur la sphère. Pôles d'un cercle de la sphère. Trouver le rayon d'une sphère solide. Angles sphériques. Cercles orthogonaux; axes radicaux. Polygones sphériques, premières propriétés. Triangles et polygones polaires. Triangles opposés. Cas d'égalité des triangles spériques. Perpendiculaires et obliques. Positions relatives de deux cercles. Constructions. Equivalence des polygones sphériques et des fuseaux. Mesure des polygones sphériques. Rapport anharmonique. Polaires. Centres de similitude de deux cercles sur la sphèreé Cercles isogonaux, cercles tangents. Exercices.

Eocyclopâdie der mathematischen Wissenschaften, herausgegeben von H. Burkhardt und W. F. Meyer. Band I, Heft 5 (pp. 513-720). Band II, Heft 2/3 (pp. 161-399). Leipzig, Teubner, 1900. Prix : 6 marcs 40, 7 marcs 70.

Ces livraisons ont paru le 29 mai et le 10 avril 1900. Voici l'indication des diverses sections dont elles se composent.

I. Théorie de Galois et applications, par C. Holder, professeur à l'Université de Leipzig (fin) (pp. 513-520).

Groupes finis de substitutions linéaires, par A. Wiman, professeur à l'Université de Lund (522-554).

Théorie (élémentaire) des nombres, par P. Bachman, à Weimar (pp. 555-581).

Théorie arithmétique des formes, par K. Th. Vahlen, professeur à l'Université de Kônigsberg (pp. 582-635).

Théorie analytique dès nombres, par P. Bachman (pp. 636-674)

Théorie des corps numériques (Zahlkôrper) algébriques (pp. 675-698) et du corps circulaire (Kreiskoper) (pp. 699-714), par D. Hilbert, professeur à l'Université de Qoettihgue.

Multiplication complexe des fonctions elliptiques, par H. Weber, professeur à l'Université de Strasbourg (pp. 716-720; fin dans là prochaine livraison).

II. Intégrales définies, par G. Brunhl, professeur à TUniversité de Bordeaux (fin) (pp 161-188).

Équations différentielles ordinaires; existence des solutions, par P. Paiklevé, professeur à l'Université de Paris (pp. 189-229).

Équations différentielles ordinaires; méthodes élémentaires d'intégration, par Yxssiot, professeur à TUniversité de Lyon (pp. £30-293).

Équations aux dérivées partielles y parË. von Weber, privât docent à TUniversité de Munich (pp. *93 -399).

Les trois livraisons dont nous venons de faire connaître sommairement le contenu compteront parmi les plus remarquables de l'Encyclopédie, parce qu'il n'existe

pas jusqu'à présent d'ouvrage traitant sous «ne forme aussi complètement moderne les sujets qui y sont abordés : la théorie des nombres dans le sens le plus large du mot; la théorie des équations différentielles et aux dérivées partielles* (P. M.)

Vorlesungen ûber das Pfaffsche Problem and die Théorie der partielles Differentlalgleichungen erster Ordnung von Dr. Ed. Weber, Prîvatdocent an der Université Mûnchen. Leipsig, Teubner (Qr. in. 8, cartonné de XI-622 pages) Prix : 24 marcs.

La théorie des équations aux dérivées partielles et celle de l'intégration des équations différentielles totales (problème de P/aff) sont sorties Tune et l'antre du célèbre mémoire de Pfaff (1815). Elles se sont ensuite développées indépendamment l'une de l'autre jusqu'à ce que Lie les a rapprochées au moyen de ces notions fondamentales : élément de surface, transformations de contact.

Dans les traités sur les équations aux dérivées partielles (Graindorge, Mansion, Goursat, Forsyth, Delassus), on n'a pas tenu suffisamment compte des étroites relations qui existent entre ces deux domaines de la science. L'ouvrage actuel met ces relations en pleine lumière et les utilise d'une manière continue dans l'exposé des recherches anciennes, modernes ou très récentes des géomètres.

Sommaire Préface et chapitre XV. Historique. I. Préliminaires sur les déterminants symétriques gauches. II. Équations linéaires aux dérivées partielles. III-X. Problème de Pfaff. XI. Théorie des transformations de contact. XII-XIV. Équations aux dérivées partielles non linéaires. (P. M.)

Anschaunng nnd Denken In der Géométrie. Akademische Antrittsvorlesung gehalten am 22 Juli 1899 von Otto Hôldee, o. Professor der Mathematik in Leipzig. Mit Zusâtxen, Anmerkungen und einem Register. Leipiig, Druck und Verlag von B. G. Teubner. IVOO (In 8 de 75 p.). Prix : 2 marcs 40.

Discussion sans conclusion bien nette, mais suggestive et très documentée sur l'origine empirique, abstraite ou subjective des idées géométriques, par le savant successeur de Klein et de Lie à la chaire de Géométrie de Leipug. Texte du discours (pp. 1-23). Notes et additions (pp. 24-73). Index (pp. 74-75). L'auteur ne dit rien de la Géométrie considérée comme physique mathématique des distances (Cauchy et De Tilly),ce qui est une sérieuse lacune au point de vue philosophique.

Kurzgefasste Torlesnngen ûber verschiedene Gebiete der hôheren Mathematik, mit Berucksichtiging der Anwendungen, von Dr R. Fricke, Professor an der technische Hochschule su Braunschweig. Analytisch-Functionen theoretischer Teil. Leipxig^ Teubner. 1900 (cartonné gr. in 8 de IX-520 pages; 102 flg. dans le texte). Prix : 14 marcs.

Sommaire. — Titre, préface et table des matières (MX). I. Séries et intégrales de Fourier. Application à la théorie des cordes vibrantes et à la propa-

gation de la chaleur (pp. 1-23). 2. Fonctions sphériques. Application à l'électro* statique. Fonctions cylindriques. Application au problème de Kepler. Table des fonctions sphériques et cylindriques (pp. 24-74.) 8. Fonctions d'une variable complexe. Application au mouvement d'un fluide incompressible idéal dans un plan (pp. 15-172). 4. Fonctions elliptiques, avec 11 pages de tables (pp. 173-283). 5. Application des fonctions elliptiques: polygones de Poncelet; trigonométrie sphérique ; lignes géodésiques sur l'ellipsoïde de révolution surbaissé; quadriques homofocales ; équilibre de la chaleur dans un ellipsoïde; pendule sphérique; rotation d'un corps solide autour d'un point (pp. 284-337). 6. Équations différentielles linéaires ; introduction aux recherches de Riemann, Fuchs, Schwart, Klein, Thomé, Poincaré (338-424). 7. Équations aux dérivées partielles du premier ordre; application aux équations différentielles de la dynamique (425-514). Index (pp. 515-518). Additions et corrections (pp. 519-520).

L'auteur nous semble avoir parfaitement atteint son double but: 1» donner aux élèves des écoles techniques supérieures des aperçus infflsamment étendus sur les parties de l'analyse qui viennent immédiatement ap ès celles qu'ils ont étudiées dans un cours ordinaire de calcul différentiel et de calcul intégral ; 2° leur montrer que l'analyse supérieure a des applications dans les sciences physiques (thre i$ no use fui mathematical weapon wkick an ençineer may not learn to use, a dit lord Kelvin). — Deux petites observations : Çà et là, par exemple, dans le chapitre 3, nous avons trouvé trop de représentations géométriques. Ensuite, nous ne signerions pas toutes les appréciations historiques de l'auteur: elles sont trop allemandes, (p.