CONCOURS GÉNÉRAL DE PREMIÈRE SCIENTIFIQUE EN

Question de Géométrie analytique.

La question posée a été la suivante :

Par un point donné sur une ellipse, on fait passer une série de cercles tangents en ce point à V ellipse. On mène les tangentes communes aux deux courbes. Quel est le lieu de leur point de rencontre?

Mathesis en a publié deux solutions analytiques dues à M. J. Déprei (Mathesis, 1899, pp. 250-252), et deux solutions géométriques dues à M. Gob {Mathesis, 1900. pp. 17-19). Des notes placées à la suite de ces articles rappelaient les solutions antérieures de la même question ou d'une question plus générale; elles sont incomplètes, car j'avais perdu de vue en ce moment deux articles que j'avais fait paraîtresur le même sujetdans le Journal de Mathématiques spéciales de M. de Long champs, en 1885. Le premier de ces articles est intitulé sur les tangentes communes à un

ôercîe et à une parabole, le second sur les tangentes communes à une ellipse et à un cercle.

Il ne sera pas inutile de reproduire ici une partie du dernier article; je le ferai suivre de l'analyse d'un article de Schrôter et de communications de MM. Gob, Absolonne et Mandart sur le même sujet.

I. Pour que deux droites rencontrent une conique en quatre points d'une même circonférence de cercle, il faut et il suffit qu'elles fassent des angles égaux en sens contraire avec un axe de la conique.

Ce théorème bien connu a pour analogue le suivant, dont le rôle, nous semble-t-il, n'a pas été suffisamment apprécié :

Pour que les tangentes menées de deux points à une conique enveloppent un mime cercle, la condition nécessaire et suffisante est que ces points soient sur une même conique homofocale à la première.

Voici une démonstration analytique de cette élégante proposition due à Chesles [Comptes rendus^ t. XVII, 1843). Une droite étant représentée par l'équation ux + vy + 1 = 0, nous prenons les quantités u et v pour cordonnées de la droite. Une ellipse E rapportée à ses axes principaux a alors pour équation tangentielle

aV + JV — 1=0. (1)

L'équation tangentielle d'un cercle de centre I (x 0y y ) et de rayon R est évidemment

+ VJ> + l) 2 - R 2 (* 8 + 1> 2 ) = 0. (2) Soient (x t ,yi) f (#2,^2) les coordonnées de deux sommets opposés Mi, M 2 du quadrilatère circonscrit au cercle et à l'ellipse. L'équation du cercle pourra aussi prendre la forme

a 2 u 2 + l 2 v l — 1 - h (xi u + y t v + 1) & 2 u -f y*v — 1) = 0, (3)

Si Ton écrit que les équations (2) et (3) ne diffèrent que par un facteur constant l, on trouve l'identité

a 2 u* + i V — 1 + IR 2 (u 2 + v 2 )

= (x u -f- VqV — l) 2 + kl {xiu + yiV + 1) (xtu + y 2 v — 1) = 0.

Les deux membres de cette identité, égalés à zéro, doivent représenter la même courbe. Le premier membre correspond à une conique dont les carrés des demi-axes sont a* + JR 2 , b*-\-lR*; on voit immédiatement que cette conique est homofocale à l'ellipse E. D'après la forme

du second membre, la même courbe touche les droites IM|, IM 2 au* points Mi, M». Le théorème est donc démontré.

Réciproquement, étant données deux coniques homofoeales, si de deux points de l'une on mine des tangentes à l'autre, les quatre droites ainsi obtenues enveloppent un même cercle.

Le théorème de Chasles admet le corollaire suivant :

Si Ton considère tous les cercles touchant deux tangentes fixes MiN, MiN' menées à une ellipse ; le lieu du point d'intersection M 2 des deux autres tangentes communes à Vun de ces cercles et à V ellipse se compose des deux coniques homofoeales àE et passant par M, .

L'hyperbole homofocale menée par M, rencontre £ en quatre points P, P', P", P'". Ces points sont les points de contact de cercles touchant E et les droites M t N, M,N ; ; car ils correspondent à des cercles ayant avec E deux tangentes communes confondues.

11 existe une infinité de cercles touchant E en P; les tangentes communes à l'un de ces cercles et à E se coupent sur l'hyperbole. Nous retrouvons ainsi la solution de la question du concours de 1844 en France, et de 1899 en Belgique.

II. Dans les Mathematische Annalen 9 t.Y,$. 50, Schrôter a étudié synthétiquement le lieu des foyers des coniques tangentes à quatre droites fixes a t b, c 9 d. Nous extrayons de cet article quelques développements qui conduisent au théorème de Chasles.

Désignons par A, B, C les sommets du triangle abc, et par A', B', C les points ad> bd, ci. Soit F un foyer d'une conique U inscrite au quadrilatère abed. L'involution F (AA\ BB', CC) jouit de la propriété caractéristique d'être équilatère; autrement dit, les angles AFA', BFB', CFC ont les mêmes bissectrices, lesquelles sont les rayons doubles de l'involution. Cette propriété résulte du théorème que les angles BFC, C'FB' sont égaux ou supplémentaires.

Si F' est le second foyer de U, l'involution B (CC, FF') étant équilatère, B est aussi le foyer d'une conique V inscrite au quadrilatère CFC'F'. Le second foyer de V est B' ; car les involutions C (FF', BB') et C (FF', BB') sont équilatères.

Soient encore G, G' les foyers d'une seconde conique U' inscrite au quadrilatère. De ce que les involutions B (FF', GG'), C (FF', GG'), B' (FF', GG') sont équilatères. on peut conclure que B et B' sont les

foyers d'une même conique inscrite au quadrilatère FGF'G' ; en appliquant ensuite la proposition démontrée tantôt, on voit que F et F' sont aussi les foyers d'une conique inscrite au quadrilatère BGB'G' et, par suite, que les droites FG, FG' sont les rayons conjugués de l'involution F (AA', BB', CC).

En résumé, la courbe lieu des foyers des coniques inscrites à un même quadrilatère àbcd est formée de couples de points conjugués AA', BB', CC, FF', GG',.... tels que les deux droites joignant un point quelconque de la courbe à ces couples soient des rayons conjugués d'une même involution équilatère. Deux points conjugués quelconques sont toujours les foyers d'une même conique inscrite au quadrilatère ayant pour sommets les points de deux autres couples quelconques de points conjugués.

Pour passer au théorème de Chasles, supposons qu'il existe un cercle W, de centre 0, inscrit au quadrilatère abed. Deux points conjugués de la courbe lieu des foyers se trouvent alors réunis en 0. Par suite, la conique inscrite au quadrilatère BFB'F' et ayant un foyer en O, a pour second foyer le même point 0. Cette conique est donc une circonférence. On en conclut que la somme ou la différence des côtés FB, FB' du quadrilatère BFB'F' est égale à la somme ou la différence des deux autres côtés; donc F et F' sont des foyers d'une conique passant par les points B et B'.

On pourrait aussi dire que F et F' sont les deux foyers d'une conique inscrite au quadrilatère dont deux sommets opposés sont B et B' et dont deux autres sommets opposés se confondent avec ; autrement dit, cette conique touche les droites OB, OB' en B, B'.

Ces deux démonstrations nous ont été communiquées, sous une forme moins explicite, par M. Absolonne.

III. Les développements qui précèdent sont susceptibles de généralisation. On remplace les points cycliques par deux points quelconques, w et &>' du plan abed; les points conjugués dont il a été question ci-dessus sont alors remplacés par deux sommets opposés du quadrilatère ayant pour côtés les tangentes menées de « et w' à une oonique quelconque inscrite au quadrilatère ABCD. Le cas particulier où w et w' appartiennent à une même conique inscrite au quadrilatère abcd, correspond alors au théorème de Chasles,

MM. Mandart et Gob nous ont adressé des communications se rapportant à cette généralisation. La question pourra être reprise plus tard dans Matheiis. (J. Neubbrg.)

SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES

Question 1*15 et ittl.

(Voir Matkiiii, (2), t. IX, p. 104 et 215).

Résoudre les systèmes :

1*15. a?» = ax + by + cz, x=px* -\-qy 2 -\-rz\

y 2 = «y + + y = py 2 + gz*-\-rx\ z* = az + tx + cy. « = + î* 1 + r V*>

Trouver les valeurs des inconnues pour a = 2, fl = 2, c = l;p = 4, ^ = 2, r = 1 respectivement. (Emmbrich.) Solution par Fauteur. 1*15 Posons, pour abréger, = Zy$ = <rys = Ç; 2a = «, 2J(!=:(3, a* — 3j3 = y.

En écrivant :

(a — x) x -f fty + cz = 0, on aa?i =yi = g t =0, ou

c'est-à-dire

(a* — p) £ — an + Ç =* «y.

L'addition des trois équations donne

En multipliant les équations du système deux à deux et en faisant la somme, on trouve

D« — 2«-pP + 7U. (3) De (1) et (2), on déduit

Avec les valeurs (2) et (4), l'équation (3) prend la forme

— 2 (a + 2a) — (a* - \2aa + 6p) ? - 6ay£ = 0.

La solution £ = de cette équation est à écarter; elle conduirait à >] = 0, Ç = ay de sorte que x, y, z seraient proportionnelles aux racines cubiques de l'unité, ce qui n'est pas d'accord avec les équations proposées où a, b, c sont des quantités données quelconques. En remarquant la solution évidente £ = 3a, Xi = y« = z 2 = a on pourra débarrasser l'équation cubique du facteur £ — 3a et il restera

Avec les expressions (2) et (4) on trouve ainsi deux groupes de valeurs ?i » y îifÇi;?2, rit, Ç2 qu'on substituera dans 1 équation t s - %t 2 -{-'ot — £ =0. Dans l'exemple numérique on a

« = 2, fl = 2, c = l; a = 5, (5 = 8, y = 1;

? t = 2, yj, = 3, Ç, = — 5; g,— 1, tî 2 = -2, Ç a = — 1;

tfi =yi = Zi = 0; #j = y 2 = * 2 = 5;

1*81. On pourrait procéder directement d'une manière analogue à la précédente, mais il est préférable de réduire le problème au n« 1215. En effet, si Ton pose

f + î 5 + r ° — 3W = A ; p 2 — qr = aA, r 2 — pj = }A, <? 2 — rp = <?A,

les deuï systèmes sont identifiés.

Reste seulement à traiter l'exemple numérique : p = 4, q = — 2, r = 1. On trouve successivement

« — ii £ = 87, y = iV; Çi = -5"' ^îi = 0, Çi = — 2T3;

x k ^y B = g s --=- 0,14970 tf 7 = y 8 = s 6 = 0,24966

x 5 = y 5 = fl = - 0,09771; x* = y 6 = *i = 0,06166.

Note. M. Gob a également résolu la question 1231 en la ramenant à la question 1215 et en formant l'équation qui a pour racines x, y, s* Il observe que cette méthode est en défaut lorsque A = 0, c'est-à-dire dans l'hypothèse p -}- q + r = 0\ pour ce cas, il indique la solution suivante : En additionnant les équations du système on trouve x + y + s == 0. Donc si l'on adopte les notations de M. Emmerich, on a

2a? 2 = — 2/î, 2s 5 = 3Ç, lx k = 2lx 2 y 2 = 2n. M Multiplions les équations proposées par x*, y\ z % et ajoutons les résultats; nous aurons, eu égard aux égalités (a),

3Ç=py) s . (&) Multiplions encore les équations proposées par x, y, z et faisons la somme des produits; en posant

le résultat prend la forme

— 2/) = 3pÇ+î^4-rA. (c) Si l'on multiplie les équations du système respectivement par y 2 , z 2 , x 7 ou par z 2 , y* et qu'on ajoute chaque fois les produits, on obtient

Remplaçons Ç, A par les valeurs (b) et (ij dans l'équation (c); il vient

- 2*î == (y 2 + ? 2 + r 2 ) n 2 ; d'où la solution yj = 0, qui correspond au système de valeurs x — y = z = 0, et la solution

L'équation (J) fait connaître Ç, et l'équation du troisième degré qui a pour racines a?, y. 2, est

"Question ltSS.

' (Voir Mathesis, (2), t. IX, p. 216.)

Soient Q la surface d'un quadrilatère convexe ABCD, circonscrit a un cercle; a, J, c, d les distances des sommets aux points de contact adjacents, T la surface du triangle qui a pour sommets les points de concours E, F, G des côtés opposés et des diagonales; T, la surface du triangle dont les côtés sont dirigés suivant les lignes AC, BD, EF; m la droite qui joint les milieux des diagonales. Démontrer les formules

T 2àbcd T, Aahcd

Q^(ai^cd)(ad^ic) 9 Q (a* — c 2 ) (b* - éP)'

(J. Neuberg.)

De bonnes solutions de cette question nous ont été adressées par MM. Emmerich, Couturier, Critbsco et Plakhowo. Comme elles sont susceptibles de simplifications ou qu'elles s'appuient sur des formules peu connues l*), nous profitons de l'occasion pour exposer une théorie

assez complète du quadrilatère circonscriptible ; nous n'emploierons que la géométrie pure.

Soient r, O le rayon et le centre du cercle inscrit; M, N, P, Q les

(*) M. Plakhowo invoque des formules de Dostor (Propriétés nouvelles des quadrilatères en générait pp. 53, 55, 156). Nous n'avons pas eu l'occasion de comparer nos démonstrations & celles de M? Postor.

points de contact des côtés AB, BC, CD, DA; a', e\ d' les distances OA, OB, OC, OD; /, g les diagonales AC, BD; a, (3, y, 9 les aires des triangles BCD, CDA, DAB, ABC.

Les données étant a, S, 6, rf, il s'agit de trouver les antres éléments du quadrilatère ABCD.

t. Les triangles AOB et COD, BOC et DOA ajant des angles supplémentaires en et même hauteur r , on a

a>V g + b b'c' b + c > c'd' c + rf ' rfV = rf + a ;

d'où, par multiplication et par division,