La dernière relation peut s'écrire

q' + r' q' + afl + fl + M c* + r*~~ c 2 \-c{b-\-d) + bd'

Retranchons chaque numérateur du dénominateur correspondant, puis divisons les deux dénominateurs par le facteur commun c — a; il vient

Un calcul facile donne ensuite

2 abc 2a

Q = r 2 a — i/Tâ7ï abc. (5) 3. Dans ce qui suit, nous nous appujerons sur le lemme que voici : Si les angles de deux triangles ABC, A'B'C vérifient les égalités A + A' = 180°, B = B', on a entre les côtés les relations

t * 9 aa' = bb' + ce'. («) a* V 1

Pour les démontrer, transportons le triangle A'B'C de manière que A' coïncide avec A et que AC se place sur AC, AB' sur le prolongement de BA, ce qui est possible à cause de A + A' = 180° ; menons ensuite par C une parallèle à C'B', qui coupe AB' en D. Le triangle CBD sera isoscèle ; donc CD = CB. La proportion CD ; C'B' AC : AC

revient à a : a f = b : Une propriété connue du triangle isoscële donne aussi

, , ac'

BC = AC + BA . AD ou a 2 = b* + e . — •

Multipliant par a' et remplaçant ba f par S'a on trouve aa' = W + ce'.

Cela posé, les cordes MP, KQ passant par G, les triangles AGM, CGP ont un angle égal en G et des angles supplémentaires en M et P; de là et par analogie

AG a BG ^

CG~c' DG~"V

par conséquent

AG = — r~ » CG = -^-, BG = r ^-, DG = -^-. (7) a-\-c a-\-c b-{-d b-\-d '

On trouve semblablement ou en considérant les divisions harmoniques ACGH, BDGK :

™ î, HC = ^-, HA=^-,etc. (7') HA a a—'c a — e