On voit facilement que

y __AG a $ BG# â'~CGT p = DG~3 î et comme Q = a + y = p + 5, ona

cQ aQ a dQ , 4Q ,«v

On peut encore calculer aisément les aires des triangles AGB, BGC,...; par exemple

AGB AGP y

BG ~~ DG ~~g'

d'où Ton conclut

AGB BGC €GD DGA Q

ab W~~ cd ~ da ~ (« + c) (b + () A. Pour calculer les diagonales, nous appliquons le théorème de Stewart aux deux triangles ADB, CDB; en remplaçant DG, BG, AG, CG par les valeurs (7), nous aurons

Retranchons ces égalités membre à membre et supprimons le facteur* commun a — G qui s'aperçoit immédiatement si Ton combine les termes de même rang des deux égalités ; il vient

et de même Il en résulte

©. Introduisons cette valeur dans la relation

*m>=:(a + by + (b + cy + (c + d)* + (d + ay-/>-g>; nous aurons

\« + c 1 b-\-dJ = 2,a[ û + c M 4-i 1,

ce qui revient à la première formule proposée.

Un calcul anologue donne pour les lignes p 9 q qui joignent les milieux des côtés opposés AB, CD ou ceux de AB, BC :

*-<•+<-»-«>■+ '(.-fï+nb)*- *■-"+»— *+«(îÎï+^ï)*-

On en déduit — # a = (a — c) (rf — l).

». Nous indiquons d'abord le calcul des aires T, T\ pour un quadrilatère quelconque, en fonction des aires a, p, y, <3. On a

T = CEF + CFG + CGE, CEF^EC FC CFG FC CG CGE EC CG a ^CD'CB' ^^CB'ca' "p^^CD'CA* Or, les triangles BCA, BDA sont entre eux comme leurs hautears issues de C, D ou comme EC est à ED ; donc

jî Y__y — 8 ec 8