OM . MA =» OA . MA', ÔÂÎ 1 = OA' . OA
d'où MQ=^7-, OA' = -.
(*) M. Bmmerich a suivi la marche inverse: il calcule directement Taire OBF, puis en déduit T.
(**) M.Emmerich cherche Taire Q' au moyen de la trigonométrie^ puis en déduit Ti en remarquant qne le triangle HGK est par rapport au quadrilatère MNPQ le triangle T de la question 1290 résolue p. 74.
La surface OMQ est donc égale à ar» : a". Par suite : = — 2«(>-fc) (c + <*)(<* + i),
OU
Mais
la (b -f c) (c -j- (rf + i) = 8<ïSci -f- 22af>c (« + * + c ) = • »
il en résulte
2r* 2 4 tt labc
Si Ton observe que
a'b'c'd' = ^- » 2afrc = r *2a, Q = r2a,
on peut encore écrire
— = = 2 sin — sin — sm - sin — •
Question 1*59.
(Voir Mathesis (2), t. X 9 p. 56).
On donne une circonférence C 2 , dont le centre est C, et Un de ses points P. Soit M un point mobile sur C 2 . Si nous appelons r la parallèle conduite par M au diamètre qui passe par P, s la parallèle conduite par le même point à la tangente en P, d le diamètte passant par M 9 tla tangente en M à C 2 et V la parallèle conduite par G à t\ en considérant les intersections des droites r % s, d, t, V avec la circonférence y* qui a pour centre M et pour rayon MP. Démontrer que : 1° le lieu des intersections de r et y* est un trifolium droit.
2° le lieu des intersections de s et y 9 est unfolium double.
3* les lieux des intersections de y* avec d, t on t' sont des sexiiques tricirculaires. Étudier leurs formes et indiquer leurs points multiples.
(Cardoso-Layhbi).
Solution par M. V. Retali. 1* Les deux points (y 3 , r) sont tus du point P sous un angle droit et tombent sur une parallèle à GP ; leur lieu est donc le trtfolium droit
OP est l'axe, P le point triple.
2° Les points (7*, s) sont vus de P sous un angle droit, et placés sur une perpendiculaire à CP ; leur lieu est donc le btfolium
(x* + y 3 ) 3 -\-8xy* = 0; GP est Taxe, P le point triple (spécial). Nous avons pris P pour origine et GP pour axe des coordonnées rectangulaires, le rayon de G* égal à l'unité. Ces deux théorèmes sont connus ; voir le mémoire de M. Brocard, Le Trifolium (JMS, 1891. Mathesis, 1892, Suppl. p. 28 et 31, ou la Géométrie analytique de M. de Longchamps, 1894, t. II, p. 571).
3° a) Etant donnés dans un plan deux points fixes G et P, faisons correspondre à un point M, les deux points M<, M t où la droite GM est coupée par le cercle ayant son centre en M et passant par P. Lorsque M décrit une courbe I, le Heu des points Mi, Mj est une autre courbe 2' appelée strophoïdalei*) de 2 par rapport aux pôles G et P. Si Ton prend GP pour axe des x,C pour origine des coordonnées rectangulaires et CP= a f les formules de la transformation (double, du troisième ordre et genre un) sont
Ç : r, : 1 = x (x 3 + y % — a 3 ) : y (x 3 + y 2 — a*) : 2 (x 3 + y* — ax) ; la strophoïdale du cercle c* -f- yj* = 1, par rapport aux pôles G, P est donc
(* 2 (* f + y s - 1) 1 - 4 (x 3 +y> - xy ~ 0,
ou bien
(« , + y?-6(i , + îf 2 ) l + 8ai(ai , 4-y l ) + (y , -^) B=0 .•••(!) Gette courbe est l'inverse, par rapport à G, de la quartique circulaire (y 3 - 3* 3 ) (x 3 + y 3 ) + Sx (x 3 + y 3 ) - 6 (x 3 + y 3 ) — 1 — 0, qui a un point triple en P ; avec les notations usuelles nous avons donc
m = 4 9 n = 6,f=2,f=g'=f = p=>q = et, par suite,
(*> Mathctts, 1894, p. 188-141.
La sextique (1) est doao de sixième classe, a deux points triples aux points circulaires, an autre point triple en P et un point double en C, dont les tangentes forment un angle de 60° (voir fig. 1).
b) Avec les mêmes axes, si Ton fait C P = 1, MCP = 0, les coordonnées des pointa (y*,l) sont
x = co8 =b 2 fein sin | »
y = sin =b 2 cos sin ^ .
éliminant 0, nous trouvons pour équation du lieu
[(** + V 2 - 3) f — 4] + y» - 1) + (»• + ^ + 2^— 3> 2 «0; et prenant P pour origine,
f* 1 + f 1 ) 5 + (* 2 + yT + 3 (*■ + y») (3^ - y») • 8 ary 8 — (2)
Le lieu est donc une sextique symétrique par rapport à CP, avec deux points triples ordinaires aux points cycliques, un nœud au point (— 3.0) et un point triple spécial en P, formé par la coïncidence de deux nœuds avec un rebroussement. — On peut aussi déterminer ces caractéristiques en observant que la courbe (2) est l'inverse, par rapport à P, de la cubique rationnelle parabolique (l + 3*)' = (8* + 3)y»;
nous avons donc m = 3, n — 4, g = 1, / = /' = g' =p = g = et, par suite,
sixième ordre, neuvième classe, deux points triples ordinaires aux points circulaires t un point triple avec une coïncidence à l'origine (voir fig. 2).
e) Si Mi est un point correspondant à M et si MCP « &>, nous ayons
CM;«p««^ f ~l = 4sin«^+^; l'équation polaire du lieu cherché est dono
p* mm 1 + 2 sin w, ou, en coordonnées rectangulaires,
Observant que cette sextique est l'inverse, par rapport au centre C, de la quartique circulaire binodale
O a - 3| 2 ) (a* + y') - 2 (^ , +y t ) + 1 = 0, onaw«=4,n = 8, f = 2, f = g' = g *= p q **= 0; donc M =-2m — /=Ô, N = n + 2w-2/= 12, F — ,8m— / — 6, G' = *»-/= 2.
La courbe (3) est donc du sixième ordre et de la douzième classe ; elle a deux points triples ordinaires aux points circulaires, un nœud à l'origine C; ses deux autres points doubles sont ceux de la quartique inverse, savoir (dt 1,0). Le point double C est bifiecnodal et ses tangentes forment un angle de 60° (voir fig. 3). , - . •« . i , • • •
Note. D'autres bonnee solutions de la même question nous ont été adressées par MM. Couturier, Fairon et Rose; rous regrettons que le défaut de place nous empêche de les reproduire.
"Question IMS.
(Voir Mathesis (2), X, p. 104.)
27» triangle scalêne tourne successivement autour de la bissectrice extérieure de chacun de ses angles. Comparer les trois volumes engendrés ainsi que leurs surfaces.
Même question en prenant pour ave ie révolution la tangente menée pas Vun des sommets au cercle circonscrit,
(J. Nbubbrg.)
Solution par M. M. Vignbry (Bouillon) et Plaehowo. 1* Soient r, r' les distances des points B et C à la bissectrice extérieure de l'angle A, V« et S» le volume et la surface qui correspondent à cette droite prise pour axe de révolution. T la surface du triangle ABC. Un théorème connu donne
