Résoudre le système
Enposant *=«(l+*), y = tf(l-s), on a (1 + + — *) T = 2; d'où + 5** + 3) = 0.
9S9. Déterminer deux nombres, connaissant leur somme a et sachant que la somme de leurs septièmes puissances égale la septième puissance de leur somme.
Les nombres + — *) doivent satisfaire à Véquation (l+f) f +
(1- *) T = 2 T , laquelle peut s'écrire (*• — 1) (s' + S^ssO. 999. Résoudre le système :
On a successivement
-=- = -; x 1 =:y s = %*. x,y>% sont égaux, ou
Ton a m : y : % = 1 : 6 : 6*, 6, 0* étant les racines cubiques imaginaires de l'unité 1 .
991. Soient a et (3 deux arcs, d'extrémités différentes, vérifiant l'équation
aco*x-\-b8inx = c.
Calculer cos (a + |3) f sin (a + (3), tg (a + (3.) 1« De
a cos a + 6 gin a =s c = a cos /s + * sin /s,
on conclut
COS a — COS /S a + à
sin /S — sin a 2 ~~~ a '
connaissant tg - i on trouve facilement
cos^+p)^-—, Bin ( a + ^ = ^__ f t g(« + ^) = 5r:: ^ 5 .
2° L'équation proposée se résout en posant b = a tg ? ; on trouve
C08(ff— f>) = - cos?.
Si y est l'un des arcs ayant pour cosinus ^ cos f f on aura toutes les solutions au moyen des formules
d'où
«-f-0 = 2? +2(fc + cas (« + p) = cob fy, etc.
(Journal de Vuibert.)
On peut de même se proposer de calculer les valeurs de
COS (a — 0) =s COB 2y, sin > — /3) = sin ?y, tg (a — fi) =» tg 2y.
QUESTIONS PROPOSÉES
x i*9i. Soient I, I„, I»» h les centres des cercles inscrit et exinscrits eu triangle ABC, et soient (1', II"), (I a . I»), ••• les projections de ces points sur la base BC et sur la médiatrice de BC. Si la base BC est fixe et si l'angle opposé A est constant, les cercles IT'A, V a Vâ A passent par un même point fixe; les cercles IJIi'A, l' e l'c A passent par un second point fixe. (J. Déprez.)
1*9*. X, Y, Z sont trois points dans le plan d'un triangle ABC tels, que les droites AY et AZ, BZ et BX, CX et CY soient, respectivement, symétriques par rapport aux bissectrices AI, BI, CI du triangle ABC. On fait parcourir à Y une droite donnée tt», àZ une droite donnée u c . Démontrer les propositions suivantes : . .
1* Le lieu de X est uœ droite u a .
2° Si Ub est perpendiculaire à CA et u e à AB, u a est perpendiculaire à BC.
1 3° Les droites u a , u b , u forment un triangle homologique à ABC.
4° Les droites AX, BY, CZ concourent sur une conique circonscrite au triangle ABC et passant par le centre d'homologie des triangles ABC,
5° Étant donné ce centre d'homologie, les droites u a , Ub, u e peuvent varier de manière qu'elles se coupent en un même point; le lieu de ce point est une cubique. (J. A. Third.)
1*98. On circonscrit à une ellipse donnée tous les quadrilatères ABCD dont les diagonales AC, BD sont rectangulaires; soient P, Q les points de rencontre des côtés opposés (AB, CD), (AD, BC). Trouver 1° la relation entre les points P, Q ; 2° la relation entre les droites PQ, AC ; 3° la relation entre le point P et la droite AC.
On appelle liaison ponctuelle l'ensemble des couples de points satisfaisant à une même condition ; liaison tangentielle, l'ensemble des couples de droites satisfaisant à une même condition; connexe, l'ensemble des cou-
pies constitués par un point et une droite et qui satisfont à une même condition.
i 994. Oq donne un cercle K* dont le diamètre ÂB s 2 et le centre 0, et une ellipse E* dont les foyers sont 0, B et le grand axe si une tangente mobile de l'ellipse coupe le cercle aux deux points P, P', démontrer que le lieu du point d'intersection des droites AP', BP est une courbe du quatrième ordre et de la huitième classe ayant ses deux nœuds en A et B. Déterminer la tangente en un point, les huit bi tangentes ; les tangentes aux points doubles et les quatre tangentes issues de chacun de ces points. (V. Rbtali.)
x i99&. Deux cônes droits de rayons donnés, r ti et r 2 ont même surface totale et même volume. On propose de calculer cette surface, le volume et le rayon de la sphère inscrite.
Même question si les hauteurs h ly h 2 sont données. (Emmerich.)
x i996. Résoudre les n équations :
Xi&2 -f- axi b&i + e = 0, x 2 x$ +ax 2 -|- bx% + c — ;
x*-\Xn + axn~\ + ton + e = 0, x n x t -\- axn + bx % + c — 0.
(Emmerich.)
1999. On donne dans un même plan une parabole ir et une droite p. Une sécante quelconque menée par un point fixe P de rr rencontre la conique en A et la droite en B. On mène la tangente t en A, et par B on tire une droite d parallèle à t. Trouver l'enveloppe de la droite d*
(H. Lorbnt.)
x 1999. Dans la pyramide DABC, l'arête CD est perpendiculaire à la face ABD; si l'on désigne par a, |5, y les angles PAC, DBC, ACB et qu'on pose a -\- |3 -j- y = le volume de la pyramide a pour expression
\ CD^in a sin J^Jl/ cos pcon(p — y) sin {p — a) sin (p —
