CONCOURS GÉNÉRAL DE

Solution par M. Ploumbn, professeur à Chimay.

Première question de Géométrie analytique.

Un des sommets A d'un parallélogramme ABCD circonscrit à une hyperbole se meut sur la circonférence ayant Vaxe transverse pour diamètre et dans Vun des angles formés par les asymptotes et comprenant Vaxe imaginaire. Rechercher les lieux décrits par les trois autres sommets.

t. Il est évident que le centre de la courbe est le centre de tout parallélogramme circonscrit ABCD, puisque les points de contact de deux côtés opposés se trouvent sur le même diamètre. Donc, pendant que le sommet A décrit, dans l'un des angles formés par les asymptotes et comprenant Taxe imaginaire, Tare de cercle ajant l'axe transverse comme diamètre, le sommet opposé C décrit, dans l'angle opposé, un arc du même cercle.

Cherchons maintenant le lieu décrit par les sommets B et D ; chacun de ces sommets se trouve évidemment toujours dans l'un des angles formés par les asymptotes et comprenant l'axe trans verse. Soient (#', y'), (#", y") les coordonnées des points de contact des tangentes issues de B; ( — x' f — y')> ( — x", — y") seront les coordonnées des points de contact des deux autres tangentes. La condition que le point A se trouve à une distance a du centre s'exprime par l'égalité

Les- tangentes issues de B ont pour équations

a 2 yy' — l*xx f = — a*b>, (2) a 2 yy" — b 2 xx" = — a 2 b % (3) avec les conditions

*y » — iV« = — a 2 b 2 , (4) a*y" 2 — b 2 x"' = — a 2 b*. (5)

Il nous suffit d'éliminer x'. y', y" entre ces cinq relations pour avoir l'équation du lieu du point B. Pour cela, tirons d'abord y', y" de (2) et (3) et substituons dans (1) ; nous obtenons

+ 20 ^ ] 2 + y , (*'^-0'') , . (G) Si ensuite nous éliminons y 1 entre (2) et (4), ou y" entre (3) et (5), nous trouverons une équation du 2 e degré dont nous appellerons les racines

— 218 ras". Cette équation nous donne

, , „ 2 * ,i '* ln> 4**yW-a'*' + «'6»)

Substituant enfin dans (6) il nous vient pour équation du lieu de B

Il est facile de voir que si» dans les calculs précédents, on change y',0",y" en — a?', — y', — — y" on obtient pour le lieu du point D la même équation (7).

Donc les lieux des points B et D ont pour équation x = db — ; c'est-

à-dire que ces points décrivent les portions des directrices comprises dans les argles des asymptotes comprenant Taxe transverse.

*. Autre manière i$ faire la calculs. On peut représenter par (a cos (p, b \/~ 1 sin 9), (a cos <p', i \/ — 1 sin <p') les coordonnées des points de contact des tangentes issues de B.

La condition que le point A se trouve à une distance a du centre s'exprime par

f a* (sin 9 -|- sin <p') f — b 2 (cos 9 + cos 9')* sin* (<p — 9')

ou

a» sin» { (9 — 9') = a» sin 1 £ (9 + 9') — J* cos 1 £ (9 -f 9'). (1) Les tangentes issues de B ont pour équations

SCQ89 ysin9 gcosy' y sin 9' ^ ^

« b[/—i ' & b\Â^\ Pour avoir l'équation du lieu de B, il nous suffit d'éliminer 9 et 9' entre ces trois dernières relations.

De (2) et (3), nous tirons

jt gcosi(9 + 9') ^ }j/Z^ s ini(9 + 9') T

D'où

cosf(9 — 9') ' 9 cos£(9 — 9')

V % 1 w , , x «cos{(9 — 9') T^ cos'Hy-f) ' C «* + ( P> ~a ;

on peut alors éliminer 9 et 9' de l'équation (1) et l'on obtient ainsi

comme plus haut, x = ± — «

Seconde question de Géométrie analytique.

Rechercher les positions d'équilibre d'une masse m d'électricité positive occupant un point d'une ellipse, mais assujettie à se mouvoir sous V action de deux masses m' et m" d'électricité de même nom, sans action réciproque et placées respectivement aux foyers F et F' de la courbe.

Soit M (x' 9 y') un point de l'ellipse qui répond à la question et supposons que les masses m f et m" soient d'électricité positive. Les masses

mm' mm"

m\ m" exercent sur m des répulsions égales à =r etr=- • Decompo-