MF MF

sons chacune de ces forces suivant la tangente et la normale en M;

puisque le point M est en équilibre, les deux composantes tangentiellles

mm' mm" e seront égales. Or les directions des forces ==> , font des angles ^ MF MF'

égaux avec la tangente ; l'égalité des composantes tangentielles exige

donc que

mm! mm" m' m"

MF 2 MF 7 * 9 ° U V-cx*)* (a 2 + cs') 2 '

\A? v/mT , , a« y/mT — [/m'

ou — — J- » d ou x' = — - — z= — *

a 2 — ex* a* + cx' c \/m n -\-\/m!

Donc, si m"^> m', il existe à la droite du petit axe deux points, symétriques par rapport au grand axe, qui répondent au problème; si m" < m', ces deux points symétriques existent à la gauche du petit axe; enfin si *»" = *»', ce sont les extrémités du petit axe qui satisfont à la question. Toutefois, pour que le problème soit possible, il faut que l'on ait, en râleur absolue,

y/ri> \/ m > c m » ^(a + cy

<* - ou — <£ - — - — — •

Y/ri' + y/rt-* »'-(a-«)«

fcn particulier, si— - — , ce sont les sommets du grand axe qui sont les positions demandées.

Question d'Algèbre (*).

Démontrer h f*hH<m

Si nous divisons les deux membres de cette égalité par ni, il Tient

G!»,» désignant le nombre de combinaisons avec répétition de m éléments, * à n.

Cette dernière relation peut encore s'écrire

C m ,n désignant un nombre de combinaisons simples. On a

Cm+»,n+i — Gm+n— i,n+i "f" C m + W i, n

Ajoutant ces égalités, simplifiant et transposant* op arrive à la relation proposée.

*N0TES SUR LA COMPOSITION DES FORCES ; par M. C. Wasteels, répétiteur à l'Université de Gaud.

{. Centre de gravité d'un quadrilatère. Le centre de gravite d'un quadrilatère est le centre de cinq forces parallèles et égales, appliquées respectivement aux quatre sommets et à l'intersection des diagonales, les quatre premières étant dirigées dans un même sens et la dernière, en sens contraire.

Démonstration* Soient le quadrilatère ABÇD dont les diagonales se coupent en 0, et 3P, 3P„, 3P , les poids du quadrilatère et des triangles DAB et BCD. Le poids 3P« peut être remplacé par trois poids égaux

(*) Enoncé rectifié.

à P* appliqués respectivement en A, B et D; de même, le poids 3P„ se décompose en 3 poids P appliqués en C, 6 et D.

Appliqqons encore au sommet A une force P et ùne force Pi =a — F, f et en C, les forces P„ et P, = — P«.

Les deux forces P<J et P' c se composent en une force unique égale à — (Pc + P a ) = — P et appliquée en un point de AC qui divise cette droite dans le rapport P. : P c ou AO : 00, e'est-à-dire au point O.

Les sommets A, B, C, D et le point O sont donc respectivement soi* licités par les forces

P« + Pc, P. + Pe, P„ + P„ P„ + Pc, — P,

ou

p, p, p, -Pî

d'où Ton conclut sans peine le théorème énoncé.

II. Sur deux systèmes de forces équivalents. Soit on péiïtagtffte A1A2A5A4A5 dans lequel les diagonales se coupent en Si, Si, S 3 , S* et S*, S< désignant celui de ces cinq points qui n'est situé sur aucucfe diagonale issue de Ai, de sorte que S< est encore le point de rencontré des diagonales du quadrilatère Q< obtenu en supprimant le sommet A<.

Oela étant, considérons un système de cinq forces parallèles et de même sens Pi, Pi, Ps, P« et P 5 , appliquées respectivement en Si, S 2 , S 5 , S« et S 8 et proportionnelles aux quadrilatères correspondants; on obtiendra un système équivalent en transportant chaque force P< au sommet A<.

Démonstration. Désignons par T< et U dès forces proportionnelles 4tfx triangles construits respectivement sur les deux côtés et les deux dîago* nales aboutissant en A,, le coefficient de proportionnalité étant le méfiai que pour les forces déjà considérées.

Décomposons la force Pi appliquée en Si en deux forces parallèle* appliquées en A 5 et A 8 ; on voit sans peine que les deux composantes né sont autre chose que les forces désignées par U et T s . En opérant d'une 1 manière analogue pour chacune des autres forces P<, on trouye que chaque sommet A* est sollicité par les forces U-% et T< 2 (les indices 6 et — 1 étant supposés remplacés par 5 et 4); or, k i -j- T< 2 = PJ'; ce qui démontre le théorème.

Remarque. Oe théorème de mécanique peut se traduire par la formule

S«iQi=:0,

ai désignant la projection (algébrique) de A<S< sur un axe quelconque.

INÉGALITÉS LOGARITHMIQUES.

1. Aire de la parabole et de l'hyperbole; inégalités à démontrer. On sait, depuis Archiraède, que l'aire comprise entre un arc de parabole à partir de son sommet, la tangente en ce sommet et la perpendiculaire abaissée sur cette tangente de l'extrémité de l'arc, est le tiers du rectangle construit sur cette perpendiculaire et sur la partie de la tangente comprise entre son pied et le sommet de la courbe.

On sait aussi, relativement à l'hyperbole équilatère wy = 1, que l'aire comprise entre deux ordonnées correspondant aux abcisses Xi , x 2 (x 2 >

l'axe des x et la courbe est égale à l ^ désignant un logarithme

népérient*).

En nous appuyant sur ces deux théorèmes, nous allons prouver les inégalités suivantes :

^TÏ << ( 1+ ») < iT+ï + 12»(» + i)(» + l)' n étant une quantité positive quelconque.

2. Première inégalité. Considérons trois points A, B, C sur l'hyperbole équilatère xy = 1, et soient

OP = w, OQ = * + |, OR = a + l,

les abscisses de ces trois points. Appelons S et T les points où la tangente

à la courbe en B coupe AP et CR.

L'aire du trapèze PSTR est égale à