Volume du cône AEF

y tja . (l-»in{A)»(l+ 8 i°iA)»

* sin J A

4. Volumes des segments engendrés par la droite FE et les arcs FE :

V, — i Tir» (1 - sin i A) 2 (2 + sin { A), V, = i7rr*(l + sin^A)*(2 — siniA).

5. Volumes engendrés par les triangles curvilignes ayant pour côtés les droites AF, AE et l'un des arcs de cercle FE :

V L«*s (1-siniA)» (1+siniA)' V4 = i7rf * sin{A ' V — *** rinTÂ

QUESTION D'EXAMEN

••9. Vérifier les identités suivantes relatives à trois lettres a, b, c % le signe sommatoire indiquant la somme de trois termes qui se déduisent du premier par une permutation tournante de a, i, c.

!• 2a{b-c) 2 + 8abc~{a + b)(b + c)(c + a).

• 2* 2a{b + c) 2 — 4abc = {a + b){b + c)(c + a). 3<> 2(a + J)(ï + c)(c — a) + (a-£)(5 — c)(c-a) = 0. 4° + (» +«) (c — a)-(a + b) (i + c) (c + a) + 2 2ai» + 2ûbc = 0.

5* 2 (0 + 8) (J — c) {c - a) + (a - 6) (S- c) (c — a) = 6abe - 22«i*. 6° 2 (a — b) 2 (a 2 — b 2 ) = 22a . (a - V) (b — c) (c — a). 7* 2 (a + >) (2a + b + c) 32a 4 + 2* i.

8« 2a(a — b + c) = Za(a + b-c) = Ia*.

(Extrait du SuppUmenio al Periodico di Mathematica.)

•61. Trouver la relation qui doit exister entre m et m' pour que le maximum et le minimum de la fraction

soient égaux et de signes contraires. Quels sont-ils pour m = 5?

(Attfc., Paris, 1900).

Jtéponse. 1° «1 m' = 1 , 2« db 5.

M4. Soient et H le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et l'orthocentre. Les parallèles menées par H aux rayons OA, OB, OC rencontrent respectivement BC, CA, AB aux points a, p, y. Démontrer que les droites Aa, Bp, Cy sont concourantes.

Les droites AO, BO, CO rencontrent BC, CA, AB aux points a', 0', y' qai sont les symétriques de a, /S, y par rapport aux milieux des côtés de ABC*.

M&. Si deux nombres sont premiers avec 3, la différence de leurs sixièmes puissances est un multiple de 9. (/. de Vuibert).

A déduire de ofi — y % = (a? 2 — y 9 ) (0* + x*y 2 + y*).

M6. On donne la base BC = 2a d'un triangle ABC. Trouver le lieu du sommet A dans les hypothèses suivantes :

1° tg B «= tg* C (hyperbole) 5 2° tg B tg C = h (conique) ; 3° B + 20 180° (circonférence) ; 4° B = 2 C (hyperbole); 5° tg B + tg C = k (parabole); 6» tg B = k tg C (droite); T B — C = 90° (hyperbole équilatère) 5 8° tg B = sin C (parabole); 9° tg B = sin 2 C (ellipse); 10» tg B = — sin 2 C (hyperbole équilatère).

Si tg *B + tg a C = 2, l'orthocentre décrit une hyperbole équilatère.

Si cot B — cot C = h 9 l'ôrthocentre décrit une hyperbole et la point de Lemoine parcourt une droite (E. N. Baribien).

M9. Si l'on donne

démontrer que

yt — Xj

l—xy l—xy

__ a* — h b* — a X l — ab' y ~T^~ab

(Educational Times).

Cette question ne diffère pas de la suivante, devenue classique : Si l'on a

on a aussi