y:$ = <* 2 — fo:ô a — «îc 1 - ab
11 suffit de supposer 2 = c = 1.
QUESTIONS PROPOSÉES
1999. On considère tous les triangles de même base BC et dont l'angle au sommet À est constant. Démontrer que les points de contact des côtés AB, ÀC avec les quatre cercles tritangents décrivent des limaçons de Pascal. (J- Déprbz.)
1£90. On considère les triangles ABC qui ont leur sommet A fixe et dont le côté BC se déplace sur une droite fixe avec la condition B — C = 90°.
Trouver les lieux décrits par le point de Lemoine et par ses associés. Examiner les parties parasites de ces lieux. (E. N. Barishsn.)
1991. Démontrer que si 'les aires du cercle osculateur et de la conique osculatrice, en un point quelconque d'une courbe sont mesurées par un même nombre, celui-ci est proportionnel au cube de Tare.
(E. CbsÂro).
x tf9t. Dans un triangle sphérique ABC, rectangle en A, on porte sur AC l'arc AD égal au complément de Tare de grand cercle qui mesure l'angle B, et du point D comme pôle, on décrit Tare de petit cercle BE rencontrant le prolongement de DA en E; l'arc AE mesure la surface du triangle proposé. (C, E. W.)
DÉMONSTRATION GÉOMÉTRIQUE DU THÉORÈME DE i/ADDITION DES FONCTIONS HYPERBOLIQUES, par M. G. Fontrnk, professeur au Collège Rollin, à Paris.
Je me propose d'établir les deux formules fondamentales de la théorie des fonctions hyperboliques, d'une manière élémentaire entièrement analogue à celle qui donne les formules fondamentales de la théorie des fonctions circulaires.
A cet effet, je montrerai que l'on peut prendre, dans l'hyperbole équilatère comme dans le cercle, une origine quelconque pour les argumente. Je me conformerai d'ailleurs le plus possible aux habitudes reçues.
i. Secteurs hyperboliques équivalents. Soit une hyperbole équilatère H, ayant pour équation par rapport aux axes rectangulaires Ox. Oy,
s' — y 2 = l, et, en coordonnées obliques, par rapport à deux diamètres conjugués OX, OY faisant entre eux un angle 0,
A*~~A* ' avec la relation
A 1 sin == 1
qui traduit le second théorème d'Apollonius.
Appelons points correspondants les points m (x 9 y), M (X, Y), dont les coordonnées, dans les deux systèmes, sont liéas par les relations
Si l'on considère un triangle Qmm* ayant pour sommets l'origine et deux points y t ) 9 (<r 2 , y 2 ) dans le premier système d'axes, et le triangle OMiMi ayant pour sommets l'origine et deux points (Xi, Yi), (X2, Y 2 ) f qui sont les correspondants des deux points ci-dessus dans le second système d'axes, les aires de ces deux triangles sont égales; on a, en effet,
î<M.-MO*.-J(£î-ïî-)XA.-..
Deux secteurs hyperboliques cbnt les sommets sont l'origine et des points correspondants ont aussi des aires égales; car ils sont égaux à deux limites de sommes de triangles équivalents qui ont pour sommets l'origine et des points correspondants sur la courbe. Ainsi, par exemple, les secteurs Oam et OAM sont équivalents.
t. Définition des fonctions Hyperboliques Chu et Shtt. Désignons par u le double de l'aire du secteur Oam ou OAM, cette aire étant prise avec le signe commun des ordonnées de m et de M. Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique de u, en abrégé Chu et Shtt, sont définis par les égalités
X Y Chu = x= - , Shtt = y = — 9 A A
x et y étant les coordonnées du point m par rapport aux axes Ox, Oy, tandis que X et Y sont les coordonnées du point M par rapport aux axes X Y
OX, OY, Les expressions — et — serviront uniquement pour le problème A A
de l'addition des arguments.
S. Théorème de V addition. % Soient deux arguments v et u. Prenons 2. Aire OaA «= v, 2. Aire OAM = u, 2. Aire OaU = v -f- u ;
pour l'argument u> nous emploierons les axes OX, OY, en observant que les deux angles x OX et y OY sont égaux (Les lignes tracées en pointillé sur la figure ne servent pas à la démonstration actuelle).
Ayant mené MP parallèle à OY, on a, en projetant sur un axe quelconque.
proj . OM = proj . OP -f - proj . PM,
ou
proj. OM = proj. OA X ~ + proj. OB X = »
