OA OB

c'est-à-dire

proj. OM = proj. OA. Ch u -j- proj. OB. Sh «.

Si la projection est faite sur 04?, en observant que la projection de OB sur Ox est égale à celle de OA sur Oy, on a

(1) Ch (t> + u) = Ch v. Ch u + Sh v. Sh u.

Si la projection est faite sur Oy, on a de même

(2) Sh(*-ftt) = Sht?. Chtt + Cht>.Sh«.

Les axes OX, OY sont analogues à ceux que Ton trace dans la démon-* stration classique de la formule qui donne cos (a + î) et le fait relatif aux projections de OB joue le même rôle que la formule coa (v -f- i n) Œ — sin •

4. Remarque. Si je n'avais craint de trop m 'écarter du point de vue habituel, j'aurais défini les fonctions hyperboliques sur une hyperbole quelconque, rapportée à deux diamètres conjugués quelconques, soit

L'argument u est alors le rapport de Taire d'un secteur hyperbolique Oam à Taire du parallélogramme construit sur deux demi diamètres conjugués, et Ton a

x v Ch Sh« = f,

œety étant les coordonnée? du point ut. Les fonctions de u ainsi définies dépendent ui iquement de u , la considération des points correspondants montrant immédiatement que ces fonctions restent les mêmes quand on prend un autre système de diamètres conjugués, ou quand on change l'hyperbole employée. On a, en effet, pour deux triangles correspondants Om<0ii, OMiM 2 , dont on compare les aires à celles des parallélogrammes mentionnés,

(œift — x 2 yt) sin 9 x x y, x% y x ab sin a b a b

(X,Y 2 — X,Yi) sin e Xi Y, X, Y, AB sin A B A B '

et ces deux rapports sont égaux si un point m et un point M se correspondent par les formules

On a là une idée et un calcul très-nets.