TOUJOURS DES ASTÉROÏDES

Note par II* Gino Loria, Professeur à U faculté des Sciences de Gênes.

Une astéroïde (*) est la courbe enveloppée par une droite mobile r sur laquelle deux droites fixes a, b déterminent un segment dont la longueur l est donnée. Si l'on désigne par 2a l'angle formé par les deux droites données et si Ton prend pour axes de coordonnées les bissectrices de cet angle et de son supplément, on pourra représenter ces deux droites par les équations

y = zkxtga.

Soit

x co8 9 + y sin 9 — p = 0, l'équation générale de la droite r, p étant une fonction déterminée de <p. Pour trouver cette fonction, il suffit d'écrire que la distance entre les points pa et pb est égale à L On trouve ainsi

l cos (9 -\- a) cos (9 — a)

r sin 2a

L'astéroïde considérée est donc l'enveloppe des droites représentées par l'équation :

(1) x cos 9 + y sin 9 « — — —(cos 29 -J- cos 2a). '' ' 2 sin 2a

Différentiant cette équation, on trouve

(2) x sin 9 — y cos 9 = - — — sin 29 ; 7 sin 2a

résolvant les équations (1) et (2) par rapport à x, y f on obtient les équations

(3) m = 2 8 il 2a [1 008 9 ~ \ COi 3(p + 008 2 * 008 9 ] 9

V = 2 sin 2a L" 2 8În ? 2 iln 3(p + 008 2 " 8in ? J '

qui représentent la courbe dont il s'agit à l'aide du paramètre 9. Suppôts D'autres auteurs appelles la même courbe attrotde quand les droites 0, b t sont rectangulaires. Au point de vue étymologique, les deux désignations se justifient également bien (P. M.).

(cos 2a — 3 cos 2<p)

sons, en particulier, que l'astéroïde soit régulière, c'est-à-dire que 2a=>; les équations précédentes deviennent :

x = -(3 cos 9 — cos 3<p), y = — (3 sin 9 — sin 3<p).

Différentiant les équations (3) et élevant les résultats au carré, on

arrive à l'expression suivante pour la dérivée de l'arc s :

ds l

dy 2 sin 2a.

d'où

(4) ' ™ 2 sin 2a ( ? 008 2a ~ 1 8iD 2? ) + *******

L'équation (2) représente la normale à l'astéroïde ; en la différentiant, on trouve

, . 21 x cos 9 + y sin 9 2 9»

et le rayon de courbure R de l'astéroïde est donné par la formule

Si on pose maintenant 29 = w -f- £tt et si l'on choisit d'une manière convenable l'origine des arcs et le sens positif sur la courbe, on voit la possibilité de remplacer les équations (4), (5) par les suivantes :

(6) R = — — —(3 sin (ù 4- cos 2a); 1 = - . - (3 cos g> — g> cos 2a). v ' 2 sin 2a v 1 n 4 sin 2a v '

On peut remarquer en passant la relation

ds

dcù 1

En éliminant w entre les équations (6), on aurait l'équation intrinsèque de l'astéroïde; mais il vaut mieux conserver les deux équations; si l'on fait 2a =» | ît, elles deviennent simplement

3/ # SI (7; R = — sinw, $ =-jco8 a).

En examinant les équations (6), on voit tout de suite qu'elles sont de la forme suivante

(8) R = h sin w -]- tf, s = £ (k cos w — flw);

cela fait naître la question de savoir si tout couple d'équations de cette

forme représente une astéroïde. Pour répondre à cette question, il suffit de chercher si les équations (8) peuvent toujours se réduire à la forme (6) par un choix convenable des constantes l, a; pour cela, on doit avoir

2tg2a Or ces équations donnent

par conséquent a et l seront des quantités réelles seulement lorsque (9) ! h | > 3 | a | .

Nous pouvons en conclure que les équations (8) représentent une astéroïde seulement si les constantes a, h satisfont à la condition (9). Dans le cas contraire, on n'a plus aucune construction réelle pour la courbe réelle représentée par les équations (8) (on peut l'appeler paraastéroïde); mais on peut en obtenir une tout à fait différente par les 'considérations suivantes.

On sait (et il est d'ailleurs très-facile de le prouver) que si R, s sont le rayon de courbure et l'arc d'une courbe r, et R t , ** les éléments analogues de sa développée l\, on a les relations, c étant une constante,

dR , Ri = R — — i Si = R -4- tf.

ds 1

Il s'ensuit que si r et r' sont deux courbes ayant la même développée, on aura les relations suivantes :

« ^R -r* . iR' „ . T> # I »

si on fait c — c f = a, la seconde de ces relations devient R' = R -f- a et la première peut s'écrire

ds' a — = 1 -J--.

ds R

Comme deux courbes ayant la même développée sont des courbes parallèles, nous pouvons résumer ces observations en disant que les relations

déterminent le rayon de courbure et Vare d'une courbe parallèle à la ccurbe dont R et s sont le rayon de courbure et l'arc.

Supposons, en particulier, qu'il s'agisse de l'astéroïde représentée par les équations (7). Toute courbe parallèle sera représentée par les équations

^ 3/ . SI a

(11) R= — 8inû) + «, * = — cos co —

elle est donc en général une para-astéroïde; mais elle peut être une astéroïde; la condition pour cela est une conséquence de la condition (9); elle est précisément

Donc la courbe parallèle à une astéroïde régulière est une astéroïde seulement lorsque la distance constante entre les deux courbes est plus petite que la moité du segment rectïligne générateur de la première. Une proposition établie par M. Salmon(*) a par conséquent une portée moindre que Ton ne le croyait, ce qui d'ailleurs se reconnaît aussi en examinant attentivement le raisonnement par lequel il l'établit.

Ajoutons que la comparaison des équations (8) (11) montre que toute para-astéroïde (en particulier toute astéroïde) peut être considérée comme la courbe parallèle à une astéroïde régulière. Et comme toute courbe parallèle à une courbe r est elle-même parallèle à r, on peut dire que: toutes les courbes parallèles aux astéroïdes ou aux para-astércïdes sont des para-astéroïdes ou des astéroïdes.

Gênes, 26 juillet 1900.

NOTES SDR L'ASTROÎDE ET SES COURBES PARALLELES; par M. Nbuberg.

J'appellerai astroïde (Voir H. Brocard, Notes de Bibliographie des courbes géométriques), l'enveloppe d'une droite de longueur constante qui se meut entre deux axes rectangulaires; on sait que cette enveloppe est une hypocycloïde à quatre rebroussements. Je propose la dénomination à'astroïdales pour les courbes parallèles à l'astroïde; comme une astroïde

(*) Sàlmon-Fikdlbb. Anal. Geom. der hoheren ebenen Curven (Leipzig, 1813), p. 119-120 ou Higher Plane Curves, n° 117bis. Ex. 2, p. 99, de la 2 d « édition. Je crois que le même théorème a été proposé par Laguerre dans les Nouvelles Annales (question 1391) et démontré en 1S83 par M. d'Ocagne.

a pour développée une autre astroïde, les astroïdales sont aussi des développantes d 'astroïde. Les unes de ces courbes peuvent être considérées comme l'enveloppe d'une droite de longueur constante se mouvant entre deux droites fixes, les autres n'admettent pas ce mode de génération ; pour distinguer ces deux espèces, j'adopte les expressions de astroïdales accourcies (tétracuspides de Bellavitis), astroïdales allongées. Ces dernières courbes sont les para-astéroïdes de M. Gino Loria. La transition d'une espèce à l'autre est formée par des courbes qui ont été étudiées par M. d'Ocagne, dans son étude sur les coordonnées axiales (§ 50) (Voir aussi les N. A. M., 1884, 556).

Voici quelques développements sur ces courbes; je les emprunte en grande partie à un article très substantiel de M. Mannheim (N. À. M.. 1878, p. 321).

Soit AB une droite de longueur constante L dont les extrémités A, B se meuvent sur deux droites fixes 0#, Oy, faisant entre elles l'angle 2a (Le lecteur est prié de faire la figure). Pour un déplacement infiniment petit de AB, on obtient le centre instantané de rotation C en élevant respectivement à Ox, Oy les perpendiculaires AC, BC. Les quatre points 0, A, C, B sont sur une circonférence A dont OC est un diamètre. Comme ce diamètre est égal à l : gin 2a, sa longueur est constante, quelle que soit la position de AB ; par suite, pendant le déplacement continu de AB, le point C se meut sur une circonférence A', de centre 0.

Appelons P' le plan %Oy, supposé fixe, et appelons P un plan qui glisse sur P', étant entraîné par la droite AB à laquelle il est invariablement lié. Pour définir le mouvement de ce plan P (mouvement de la Hire), on peut dire que la circonférence A du plan P roule sans glisser sur la circonférence A' du plan P'. Dans ce mouvement, un point quelconque de A décrit sur P' une droite passant par 0; un point non situé sur A se meut sur une ellipse.

Soient M, N les extrémités du diamètre de A parallèle à AB; ces points parcourent deux diamètres rectangulaires Ox' 9 Oy' de A'. La droite MN a donc pour enveloppe une astroïde U. La droite AB parallèle à MN et située à une distance constante de MN, enveloppe une courbe parallèle à U ou, d'après la terminologie proposée ci-dessus, une astroïdale. Il est clair que tout diamètre de A, pendant le mouvement de P sur P', enveloppe une astroïde, et qu'une droite quelconque de P enveloppe une astroïdale.

Soit A une droite quelconque du plan P ; pour plus de facilite, nous la supposons parallèle au diamètre MN de A. Elle a pour enveloppe une astroïdale. Il y a lieu de distinguer trois cas :

1° La droite A coupe A en deux points réels a, [3 ; la longueur a|3 étant constante et les points a, (3 se déplaçant sur deux diamètres fixes de A', le mouvement de A peut être défini ainsi : une droite de longueur constante se meut entre deux droites fixes, non rectangulaires. L'enveloppe de a(3 est une attrôïdale accourcie.

2° La droite "k est extérieure à A. Son mouvement n'est plus susceptible de la définition qui vient d'être donnée. L'enveloppe est maintenant une astroïdale allongée.

3° La droite * touche A au point L. Soit L' le point de A diamétralement opposé à L. Le mouvement de \ est susceptible de la définition suivante : Une droite LL', de longueur constante, se meut entre deux axes rectangulaires; en L, on élève une perpendiculaire A à LL', L'enveloppe de A est maintenant une astroïdale de d'Ocagne (Comparez Brocard, 1. c. I, p. 104, au mot cubocycloïde).

x CENTRE DE GRAVITÉ D'UN TRAPÈZE par M. Philippin, professeur à l'athénée de Bruges.

Dans le Traité de Géométrie de Rouché et de Comberousse, une construction élégante du centre de gravité d'un trapèze est déduite de considérations élémentaires très simples; comme la démonstration me paraît présenter une lacune, je reprendrai ici la question.

Soient AB = a, DC = ft les bases d'un trapèze ABCD, I et K leurs milieux, G, G', G" les centres de gravité des aires du trapèze ABCD et des triangies ABD, BCD. Le point G est le centre des distances proportionnelles des points G', G" affectés de coefficients proportionnels à ABD, BCD, ou ce qui revient au même, des coefficients 3a, 3b. Mais on peut remplacer le point G' par le système des trois points A, B, D ayant chacun un coefficient égal à a ; de même le point G" peut être remplacé par les points B, D affectés chacun du coefficient b. On a donc en somme à prendre le centre des distances proportionnelles des quatre points A, B, C, D affectés respectivement des coefficients

Si Ton fait le même raisonnement sur le trapèze décomposé en deux

triangles ABC, ÀCD par la diagonale AC, on trouve que G est le centre des distances proportionnelles des sonimets A, B, C, D auxquels on donne les coefficients

On peut encore prendre pour coefficients les sommes des nombres correspondants (1) et (2), c'est-à-dire

2a-fS, 2a + 5, a + 2b, a + 2J.

Or les points A et B affectés chacun du coefficient 2a -f- b peuvent être remplacés par le point I ayant pour coefficient 4a -j- 2b ; de même, les points C et D affectés du coefficient a + 2b peuvent être remplacés par le point K ayant pour coefficient 2a + 4b. Il en résulta qu'on obtiendra le point G en divisant IK dans le rapport

IG = 2a + 4b tg + b GK~" 4a + 2b* = a + {b %

Par suite, si on prolonge BA de AE = DC, et DC de CF = AB, la droite EF coupera IK au point demandé G.

BIBLIOGRAPHIE

Dr. F. AmôdhO, libero docente di Geometria projettiva nella R. Universita di Napoli. Aritmetica particolare ■* générale. Napoli, L. Pierro. 1900 (XV-415 p. in 12). Prix :3fr.50.

Sommaire* 1. Opérations sur les nombres entiers. 2. Propriétés des nombres entiers. 3. Nombres entiers négatifs et positifs. 4. Nombres rationnels entiers ou fractionnaires. 5. Nombres réels, rationnels ou irrationnels, logarithmes. 6. Limites, génératrices, ensembles. 7. Proportions, moyennes, progressions. 8. Mesure des grandeurs. Applications usuelles de l'arithmétique. 9. Nombres complexes et quaternions. 10. Sommaire de logique mathématique.

Exposé systématique, dans un ordre strictement logique, des principes de l'arithmétique ; par suite, il n'est peut-être pas tout à fait approprié aux exigences de renseignement élémentaire ; mais il sera très utile aux professeurs qui désirent approfondir les bases de l'arithmétique. (D'après 0. Tedone, dans le Bollettino de Biblioçrafia de G. Lobia, 1900, t. III, pp. 28-29. Nous ne croyons pas justifiées deux ou trois critiques de détail de M. Tedone. P. M.)

Cours d 9 Arithmétique élémentaire par Ad. Mineub, professeur à l'Université libre de Bruxelles. Quatrième édition Bruxelles, Steyens, 1899 (236 p. in 8°).

Sommaire. 1. Numération. 2. Calcul des nombres entiers. 3. Propriétés des nombres. 4. Fractions. 5. Puissances et racines. 6. Nombres incommensurables

(40 pages); approximations numériques (84 pages). ?• Arithmétique pratique. 8. Questions à résoudre (relatives à l'arithmologie; il y en a 180).

On peut recommander ce livre, aux professeurs, un peu moins, et aux élèves, un peu plus que celui de M. Aicodbo»

Éléments de la théorie des nombres, par A. Cahen, ancien élève de l'Ecole normale supérieure, professeur de mathématiques au collège Rollin. Paris, Gauthier-Vil lars, 1900(VIII-403 pages in 8»). Prix : 12 francs.

Sommaire: 1. Rappel des théories élémentaires. 2. Compléments : indicateur, fractions continues. 3. Les congrnences. 4. Restes quadratiques. Congruences du second ordre. 5. Les nombres incommensurables et les nombres algébriques.

6. Formes quadratiques binaires. Analyse indéterminée du second degré (115 pages).

7. Notes diverses, entre autres sur le nombre des nombres premiers et sur les nombres entierB algébriques. 8, Tables diverses.

Cet ouvrage comble vraiment une lacune dans la littérature mathématique française; il a sa place marquée dans la bibliothèque de tous ceux qui ne possèdent pas la Zahlentkeorie de Dirichlet et Dedekind, ou le livre analogue de Bachmann. C'est une excellente introduction aux théories les plus élevées de Farithmétrique supérieure. (D'après Ch. J. db la Vallée Poussin, dans la Revue des questions scientifiques, avril 1900, (2) XVII, pp. 601-604).

M. Nasso. Algebra elementsre ad uso dei licei e degli istituti tecnici (1° biennio, Torino, tipografia e libreria salesiana, 1898 (cartonné de 426 p. in 12). Prix : 3 fr. 50.

Sommaire. Première partie. I. Nombres rationnels. 1. Nombres avec un signe. 2-5. Les opérstions algébriques. 6. Fractions algébriques. 7-9. Équations à une et à deux inconnues. 11. Les nombres irrationnels. 1*2. Clasces de nombres et limites. 3. Radicaux. 4. Puissances. 5. Équations du second degré. 6. Équations exponentielles et logarithmes. III» Proportions et progressions. Logarithmes. Appendice: 1. Multiplication et division des polynômes* 2. Équations linéaires à plus de deux inconnues. 8. Équations se ramenant aux équations du premier et du second degré, i. Applications des logarithmes aux questions d'intérêt. 5. Extraction de la racine carrée. Seconde partie. Exercices (160 pages, plus du tiers du livre).

Ce manuel d'algèbre élémentaire est presque toujours à la fois clair, simple et rigoureux; il contient de nombreuses notes historiques, des conseils pratiques pour diriger l'élève dans la résolution des problèmes, plus de 2000 exercices à résoudre et environ 400 exercices et problèmes résolus minutieusement (D'après R. Bettazzi, dans le Periodico di Matematica^ 1899, XIV, pp. 266-267).

F. Muller. Vocabulaire mathématique français-allemand et allemand-français contenant les termes techniques employés dans les mathématiques pures et appliquées. Première partie: français-allemand. Leipzig, Teubner; Paris, Gauthier- Villars; 1900 (XII-132 p. gr. in 8 à 2 colonnes). Prix : 8 marcs.

Complément indispensable, pour les mathématiciens, des dictionnaires allemands-français et français-allemands. Voici un spécimen d'une demi-colonne du vocabulaire :

Homocentre (de deux courbes concentriques) [géom. an.] geome.rischcr Mxttelpunkt, Homocentrum.

Homocentrique (sphères) homocentrisch, mit gemeinsamem MUtelpunkt

Homocy clique (système, figure, complexe, point) hreisverwandt, homocyhlisck.

Homofocal, e (ou confocal) (complexe, conique, courbe, cyclique, ellipsoïde, quadrique, quartique, surface, système) homofokah mit gemetnsamem Brennpunlt.

Homogène (coordonnées, fonction, expression, dilatation, équation, forme, groupe, invariant) homogen, gîeickartig.

Homogénéité (d'une forme, d'une équation) [alg. sup.] Homogeneitât, Qleichar* Ugkeit.

Homographie (ou déformation homographi que) (Chaslbs 1837) [transf. géom.; géom. proj.] Homographie, ColUneation, Collinearitât. — à deux axes,, zweiachtige Homographie. — à une, deux, trois dimensions, Homographie von 4, 2, 3 Dmentionen. — sur une droite, Homographie aufeiner Oeraden. des espaces, Homographie der R&umi. — des faisceaux de droites et de plans, Homographie der Oeraden- und BbenenbUschel. — involutlve, involutorische Homographie. — des systèmes de points et de droites, Homographie der Punkt- und Qeradensy sterne.

Homographique (ou collinéaire) (cône, division, élément, faisceaux, figure, invariant, surface, système, transformation) (Chaslbs 1887) homographisch, alîgemein collinear verwandt, projectiviseh.

Pour donner une idée de la richesse de la nomenclature mathématique, il suffit de faire remarquer avec le savant auteur, qu'il y a 119 expressions commençant parle mot angle, 89 par axe, 130 par cercle, 97 par coordonnées, 363 par courbe, 189 par équation, 220 par fonction, 190 par ligne, 156 par nombre, 220 par point, 242 par turf ace, 153 par système, 140 par théorème, etc.

Encyclopâdie der mathematischen Wissenschaften, Band II, fleft 4. Leipzig, Teubner (31 juillet) 1900 (pp. 401-560 gr. in 8). Prix : 4 marcs 80.

Sommaire. 1. Groupes continus de transformations, par L. Maurbr et H. Burkhardt (401-436). 2. Équations différentielles avec conditions aux limites par M. Bôchkr (437-463). 3. Théorie du potentiel, par H. Burkhardt et W. F. Meyer (464-503). 4* Équations aux dérivées partielles avec conditions aux limites (504-560, inachevé), par A. Sommbrfeld.

Recueil de problèmes de géométrie analytique à l'usage des classes de mathématiques spéciales. Solutions des Problèmes donnés aux Concours d'admission à VÉcole Polytechnique de 1860 à 1900, par Fr. Michel, Ancien élève de l'École Polytechnique, Inspecteur de l'Exploitation aux Chemins de fer du Nord. Paris, Gauthier Yillars, 1900 (V 1-240 pages in-8, avec 60 figures). Prix : 6 fr.

Préface. Ce recueil d'exercices de Géométrie analytique comprend les solutions

de toutes les questions qui ont été posées au Concours d'admission à l'École Polytechnique depuis 1860 jusqu'en 1900.

Ces questions étaient Jusqu'à présent éparses dans divers journaux ou recueils mathématiques, et il m*a semblé utile, pour éviter des recherches souvent fastidieuses, de les réunir et de donner une solution de chacune d'elles.

J'ai suivi, dans chaque cas, la marche la plus simple, celle qui s'impose pour ainsi dire ; mais, tout en conservant la plus large place à la méthode analytique, je me suis appuyé quelquefois sur des considérations géométriques qui évitent des longueurs de calcul et qui rendent la solution à la fois plus courte et plus élégante.

Les Notes bibliographiques qui suivent chaque section permettent au lecteur de se rapporter aux Ouvrages ou périodiques dans lesquels il pourra trouver d'autres solutions; enfin, j'ai porté en regard de chaque énoncé l'indication de la classification du Répertoire bibliographique, qu'il importe de vulgariser.

Ainsi conçu, cet Ouvrage me paraît devoir rendre de nombreux services aux candidats à l'École Polytechnique; il répond, d'ailleurs, à des desiderata formulés dans quelques publications mathématiques et notamment dans l'Intermédiaire des Mathématiciens.

Cours théorique et pratique d'Algèbre financière à l'usage des Ecoles supérieures de Commerce, des Etablissements d'enseignement moyen du premier degré et des personnes s'occupant d'opérations financières, par Th. Klompers, Professeur de Mathématiques et de Physique à l'Athénée Royal d'Anvers. Ouvrage couronné par l'Académie royale de Belgique (Prix De Eeyn). Anvers, Impr. Y 9 Jos. Vanlshoven, 1900. Un vol. de XXXIX-364 pag»s in-8°. Prix : 5 fr.

Table dss matières. Première partie. I. Intérêts simples. II. Intérêts composés. III. Escompte. IV- Annuités certaines et constantes. V. Problèmes généraux relatifs aux emprunts remboursables par annuités constantes. Usage des tables de l'amortissement. — VI. Rentes certaines et constantes. a) Rentes perpétuelles. Rentes sur l'État, b) Rentes temporaires ou limitées. e) Rentes amortissables à échéance déterminée. VII. Rentes certaines à terme variable, a) Rentes dont les termes varient en progression arithmétique, b) Rentes dont les termes varient en progression géométrique. VIII. Théorie de l'amortissement, a) Amortissement des emprunts publics et des rentes sur l'État . Caisse d'amortissement, b) Amortissement progressif, c) Emprunts par obligations. 1. Tableau d'amortissement. 2. Formules relatives aux emprunts par obligations. S. Complication dans le service des titres. Emprunts avec lots. Empruntsloteries à primes variables dont le service est fait par annuités constantes. (Emprunt communal de la ville d'Anvers, de 1887; emprunt de Bruxelles, de 1886; emprunt de Gand, de 1896; emprunt de Liège, de 1*97). d) Amortissements des emprunts dont le service est fait par des rentes à termes variables (en progression arithmétique ou en progression géométrique).

Deuxième Partie. Opérations viagères. Institutions de Prévoyance. I. Rentes viagères sur une seule tête. IL Assurance en cas de décès. Opérations sur une seule

tête. Primes uniques des opérations fondamentales. III. Primes annuelles des opérations visgères sur une seule tête. IV. Assurances payables à une autre époque que la fin de Tannée du décès. Y. Calcul des chargements (des primes pures). VI. Notions sur la valeur des polices d'assurances et sur les réserves. VII. Institutions de prévoyance, a) Caisse de retraite sous la garantie de l'Etat belge. Calcul des tarifs, b) Sociétés de secours mutuels. Assurance contre la maladie.

Complément. Opérations viagères sur deux têtes. I. Rentes viagères. II. Assurances en cas de décès. III. Assurances conditionnelles ou de survie.

Principes de la notation universelle pour les opérations

Tables» I. Conversion des jours en fractions décimales de Tannée. II etlil. Valeur de 1 franc, placé à intérêt composé après un certain nombre d'années ou de mois. IV. Valeur actuelle de 1 franc payable au bout d'un certain nombre d'années. V. Valeur acquise à la fin de chaque année par le placement annuel de I franc. VI Temps nécessaire pour doubler, tripler, etc. un capital. VII. Valeur actuelle d'un certain nombre d'annuités de 1 franc, payables à la fin de chaque année. VIII. Annuité par laquelle on peut amortir un capital de 1 franc au bout d'un certain nombre d'années. IX. Table des quantités servant au calcul des principales opérations viagères. X. Table de mortalité de Quetelet; table de morbidité de Kinkelin; table de commutation servant au calcul des tarifs delà Caisse de retraite.

La table des matières (avec traduction flamande) que nous venons de trapscrire, nous dispense d'indiquer plus longuement les questions traitées par M Klompers, et de faire ressortir l'utilité de son ouvrage. En présence du développement extraordinaire que prend en Belgique l'enseignement des sciences commerciales, Y Algèbre financière vient à .son heure. Ce manuel ne fait pas double emploi avec ceux qui sont déjà publiés; comme il est bien écrit et, parfaitement au courant de la science et des méthodes les plus usitées dans la pratique, il a déjà été accueilli avec faveur, même à l'étranger, et son succès s'affirmera davantage tous les jours.

Désignons par (x\y') 9 ( — — y") les coordonnées des sommets A et C, mobiles sur le cercle principal. Les sommets B et D vérifient les équations des couples de tangentes à l'hyperbole issues de ces pointa :