CONCOURS GÉNÉRAL DE
Solution par M. Klompers, professeur à l'athénée d'Anvers.
Première question de Géométrie analytique.
(Voir Mathesis, p. 217).
Si l'on retranche ces équations membre à membre, on obtient l'équation plus simple
Par suite, pour trouver le lieu cherché, il suffit d'éliminer $' et y' entre les équations (1), (2) et l'égalité de condition
Les équations (2) et (3) donnent
En substituant ces valeurs dans l'équation (1), on trouve
(a*y*-SV) (eV — a') — 0.
L'équation a 'y* — » représente les asymptotes, solution qui ne convient pas; l'équation c 2 x* — a* = représente les deux directrices.
Seconde question de Géométrie analytique.
(Voir Matketii, p. 219.)
La résultante des deux forces agissant sur m doit être dirigée suivant la normale à la courbe, donc suivant la bissectrice de l'angle PMF', ce qui exige que les deux forces soient égales; par conséquent, si l'on fait MF = r, MF' = r', la condition d'équilibre est
mm" r' / m"
-— 9 OU — =r \ / — = i
D'autre part, on a
mm mm*
r -f r' = 2a ; par suite,
On peut donc obtenir le point cherché en coupant l'ellipse par la circonférence lieu des points tels que r' : r = A, ou bien par la circonférence 2a
de rayon et de centre F. Pour qu'il y ait une solution, ce rayon
doit être compris entre FA = a — c et FA' « a -f- c, de sorte que Ton doit avoir
ou
ou enfin
SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSEES
"Question 11*15.
(Voir lf*M<?#<# (2), t. VIII, p. 264.)
Trouver les projections d'un triangle rectangle ABC, connaissant les projections de la bissectrice BD qui est ligne de plus grande pente et sachant que C est dans le plan horizontal. (Soons.)
Solution par MM. Emmerich, Werpin et Déprez. Désignons les projections de divers points sur le plan horizontal et vertical par les indices 1 et 2 respectivement, et soient E lf F, les points de rencontre de BA et BD avec le plan horizontal. Le point Fa étant à l'intersection de B 2 D 2 et de la ligne de terre, le point Fi est sur BiDi et sur la perpendiculaire FîFi à la ligne de terre. Par rabattement, on connaît aussi les vraies longueurs FiB, FiD.
Comme BF, est perpendiculaire à CE, et comme l'angle CB F i = EiBFi le triangle BCE, est isoscèle. On distinguera maintenant les trois cas suivant que l'angle droit est en A,B ou C respectivement. Dans le second cas, on aFiC = FiB. Dans les deux autres cas, on conclut des triangles semblables CFiD, BFiC que F t C = FiB. FiD ce qui détermine également F|C = FiE. Mais CEi étant perpendiculaire à BiFi on connaît ainsi les points C,Ei ; Ai est sur CDi et BiEi ; C a se détermine par la perpendiculaire CC 2 à l'axe ; A s se trouve à l'intersection de C,D 3 et de la perpendiculaire AjA* à l'axe.
(*) M. Ploumen supposait m" > m' ou k > 1, en établissant la condition de possibilité du problème. (J. N.)
Question 1*54.
Voir (Hat ht sis, (2), t. X, p. 32).
La somme des carrés des coefficients des différentes puissances de & dans le développement de
est le coefficient de x km (coefficient maximum) dans le développement de
(1 + x | x * .] j (A Boutin)<
Solution par MM. Soons et Emmerich. Le développement de (1 -{-^ + ^' + ••• + «*) m produit de m facteurs polynômes, peut s'obtenir en faisant, de toutes les manières possibles, un produit de m termes pris dans chacun des facteurs polynômes. Si l'on a obtenu un résultat x r en prenant dans le premier polynôme, xP dans le deuxième etc., en prenant dans le premier polynôme dans le deuxième a?*-/ 3 , et ainsi de suite, le second résultat sera x mi ~ r .
Dans le développement total, les termes à égale distance des extrêmes ont donc le même coefficient. Comme la puissance 2m est le carré de la puissance m, le coefficient de x im contient le carré du coefficient du milieu et les doubles produits des coefficients à égale distance des extrêmes, c.-à.-d. les sommes des carrés de ces coefficients.
Question i*60.
(Voir Mathesis (2), t. X, p. 56). Etant donnée la chaînette
on mène V ordonnée MP d'un point quelconque de la courbe. Du pied P comme centre avec le rayon a on décrit me circonférence. On sait que la tangente en M à la chaînette touche cette circonférence. Quelle est l'enveloppe de la $econde tangente menée de M à la circonférence?
(H. Brocard).
Plus généralement, en chaque point M d'une courte donnée 2 on mène la symétrique V de la tangente tà 2 par rapport à l'ordonnée de M ; cette droite enveloppe une nouvelle courbe 2'. Comment construit-on le point de contact de V avec 2' ? (J. N.).
Solution par M. G. Gérard (Liège). Soient, dans la première partie de la question, (C) la chaînette donnée, MP. MTetMN respectivement l'ordonnée, Ja tangente et la normale, arrêtées à Taxe xx' de la courbe. Imaginons une parabole (tt) ayant son foyer en M et touchant Taxe Ox au point N ; si Q est le symétrique de M par rapport à Taxe xx\ QT est la directrice et P appartient à la tangente au sommet ; appelons 2p le paramètre de la parabole ; les distances du point P aux droites MT, QT sont visiblement égales et comme elles ont pour valeurs respectivement
a et^ f on a constamment p = 2a. Ainsi, la grandeur de la parabole (n)
ne dépend pas du point M que Ton considère et la chaînette (C) peut être engendrée par le foyer de cette parabole, roulant sans glisser (*) sur Taxe
Ce théorème, bien connu du reste, étant rappelé, soit MT' la droite indiquée dans l'énoncé et dont on propose de chercher l'enveloppe. Il est visible, d'abord, que cette droite est parallèle à TQ et, si on la considère dans la parabole (tc), c'est la parallèle menée par le foyer M à la directrice; elle est donc invariablement liée à la parabole et entraînée par celle ci dans son mouvement. Comme le déplacement élémentaire de la figure est une rotation instantanée autour du point N, la droite touche son enveloppe au pied R de la perpendiculaire abaissée de N; puisque les droites MT', TQ sont parallèles et que l'angle TQN, égal à TMN, est un angle droit, cette perpendiculaire n'est autre que la droite NQ; NQ est donc une normale commune aux courbes enveloppes des droites MT', TQ. Or, on a constamment RQ ==p = 2a, et le lieu de Q est évidemment la chaînette (C), symétrique de (C) par rapport à l'axe xx f . On en conclut que l'enveloppe cherchée est une courbe parallèle à cette chaînette, à la distance 2a.
Cas général. Soient, avec les notations indiquées, S et R les points de rencontre des couples de droites t et t t9 V et t\ correspondant à deux points M et Mi de la courbe 2, o> le point d'intersection des normales en ces points.
Si l'on désigne par a et ai les inclinaisons respectives des tangentes t et t\ sur l'axe des on a évidemment
a — a, = MwMi = MRM ( ;
(*) La démonstration nous paraît présenter ici une lacune. (J. N.)
les deux circonférences SMcùMi et MRMi sont donc symétriquement placées par rapport à la corde MM, ; si l'on passe à la limite, la première se trouve décrite sur le rayon de courbure M&> comme diamètre. On en conclut la construction cherchée : prendre le symétrique w' du centre de courbure w par rapport au point de la courbe M, et projeter ce point en R sur la droite t\
Le point R peut encore être envisagé d'une autre manière. Les angles SMR, SMiR ont leurs bissectrices parallèles aux axes coordonnés; par suite, les quatre points S, R, M et Mi appartiennent à une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont parallèles à ces axes et dont SR est un diamètre; cette hyperbole passe par l'orthoeentre H du triangle MSMi, lequel se trouve sur la circonférence MRM ( « Quand M t vient coïncider avec M sur là courbe 2> le point H, qui est toujours sur la perpendiculaire abaissée de S sur la corde, arrive en g/. On peut donc énoncer la propriété suivante : si Von construit l'hyperbole équilatère tangente en M à la courbe -, passant par «' et ayant ses asymptotes parallèles aux axes, la droite V touche son enveloppe sur cette hyperbole, au point diamétralement opposé à M.
Solution par M. Fairon. 1° Soient X, Y les coordonnées courantes, et x, y celles d'un point M mobile sur une courbe donnée 2. La symétrique *\ par rapport à l'ordonnée MP, de la tangente t au point M de 2 a pour équation
Y-y = -y'(X-x). (1) Le point de contact de V avec son enveloppe est défini par l'équation (1) et par la dérivée de cette équation par rapport à x, savoir :
d'où X — x = %-. (2)
Soient a. l'angle de t avec l'axe Ox, R le rayon de courbure M» au point M de 2; nous aurons
La formule (2) pourra donc s'écrire
X — x « 2R sin a cos 2 <*(*), ou = R sin 2a. (3)
cos a
(*) Nous modifions ici les conclusions que l'auteur tire de cette formule, pour en déduire l'élégante construction de M. Gérard. (J. N.)
Appelons M' le point de contact de V avec son enveloppe; alors
X — a? est la projection de M'M sur Ox et, par suite, est égal à
cos a
MM'. Si l'on prolonge wM de Ma' — &>M, l'angle M'Ma' = £ 7r — 2a; la relation (3) montre donc que M' est la projection de «' sur V .
Lorsqu'il s'agit de la chaînette, g/ est le point de rencontre de la normale en M avec l'axe Ox.
2° Pour trouver l'équation de l'enveloppe de f, il suffît d'éliminer x et y entre les équations (1), (2) et
y=lQ + ïy (3)
Comme on a
les formules (1) et (2) prennent la forme
si on remplace y par la valeur (3), on peut les considérer comme les équations paramétriques de la courbe, le paramètre étant x. D'ailleurs l'élimination de centre (4) et (5) ne présente pas de difficulté.
Solution par M. V. Retali. 1° En chaque point M d'une courbe donnée 2 menons la droite V conjuguée harmonique de la tangente t à 2, par rapport aux droites MI, M J qui vont à deux points fixes I, J et cherchons le point de contact de V avec son enveloppe.
Si I, J sont les points circulaires du plan de la courbe donnée, le point de contact cherché est le centre de courbure de 2 en M ; dans le cas général, il est donc le pôle de la droite IJ par rapport à la conique passant par les deux points I, J et ayant un contact du deuxième ordre avec 2 au point M. Lorsque I, J sont les points à l'infini des axes coordonnés rectangulaires, le point cherché est donc le centre de l'hyperbole équilatère ayant un contact du second ordre avec 2 en M et ayant ses asymptotes parallèles aux axes coordonnés.
2« Si y =f (x) est l'équation de 2, on trouve aisément que les coordonnées £, y) du centre de l'hyperbole équilatère, correspondant au point (#, y) de I, sont
(dy\> \dx)
dx 1 dx 2 et éliminant xety entre ces deux équations et y =/(#), on obtient celle du lieu cherché. Dans le cas particulier de la chaînette
dx a dx % a 2
y db l/y 2 — a 2 x = alog - — y
et par conséquent
5 = a log ? ~ |- — y/y 2 — a* » r\ = —
que Ton peut regarder comme équations paramétriques du lieu cherché. L'élimination de y, que l'on peut d'ailleurs faire sans peine, conduit à une équation assez compliquée.
Note. La considération de la parabole (n) n'est pas nécessaire pour établir la nature de l'enveloppe de la droite t' dans le cas de la chaînette. Q étant le symétrique de M par rapport à Ox, le lieu de Q est une chaînette (C), tangente à QT et normale à QN. Or, V est parallèle à QT, et la distance des droites TQ et V est égale à 2a. Donc t' enveloppe une courbe parallèle à la chaînette (C); la normale à cette enveloppe étant QN, le point de contact de V est sur QN, ou est la projection de N sur*'. (J.N.)
"Question 1*8 1.
(Voir Mathesis, (2) t. X, p. 215.)
Soient J, J tf , J*, J« les centres des cercles inscrit et exinscrits au triangle ABC, et J', J"; J£, J«;... les projections de ces points sur la base BC et sur la médiatrice deBC. Si la base BC est fixe et si V angle opposé A est constant, les cercles J'J"A f JiJ«A, passent par un mime point fixe ; les cercles J'jJi'A, A passent par un second point fixe. (J. Deprbz .)
Solution par M. Emmerich. Soient D, E les points de rencontre de AJ et BC, et de JJ' et AJâ. En projetant le groupe harmonique A. D, J, J fl de Ja sur JJ' on voit que JJ' = JE. Comme J' et Ji sont équidistants du milieu M de BC, le point J" est situé sur AJâ. Si Ton projette les quatre points de J' sur J a J« on trouve que les points A, J', J^' sont en ligne droite.
Supposons que le cercle J'J"A coupe la médiatrice de BC en P. On a angle APJ« = J"J'J« = AJ^Ja, ce qui montre que les cercles J'J"A, JX'A se coupent en P. Comme angle J'^JaJ' = J"J«Ja = J'^AP = J"J'P, J'P touche le cercle J'Mi'J'; d'où PJ' 2 = PJ". PJ« = PF 2 - J"F 4 , F désignant le milieu de J"J« et de JJ a . Mais PJ' 2 = PM 2 + MJ 7 * = PM 2 + JF 2 — J 7 '!?* ; donc PF 2 — PM* = JF* = BF 2 = const. comme F est le milieu de Tare BC du cercle circonscrit au triangle ABC. Le point P est fixe* Je dis que P est le milieu de MF', si F' désigne le second point de rencontre de la médiatrice et du cercle circonscrit au triangle ABC. Cela résulte de PF* — PM 2 = MF(PF+ PM), BF 2 = MF(PF-j-PF').
La seconde partie du théorème se démontre d'une manière analogue. Après avoir fait voir que les droites J£Jc , JéJô passent par A on montre que les cercles JôJi' A, J^Jé'A se coupent en un point Q de la médiatrice de BC, et que ce point est le milieu de MF,
"QUESTIONS D'EXAMEN
968. Si p est un nombre premier, le seul carré entier dont la différence avec p soit un carré entier est {(p + l) s . (J. de Vuibert.) M9. On a
a + x . a + V . a — * , x(x—y) (x — z) + y (y — x) {y — z) ' z (z — x) [z — y) xyz '
(J. de Vuibert.)
»90. Ou fait tourner une ellipse autour de l'un de ses foyers; dans chacune de ces positions on lui mène une tangente parallèle à une direction donnée. Trouver en coordonnées polaires le lieu du point de contact (Examen oral à V École Polytechnique de Paris, 1898).
Prenons pour pôle le foyer F fixe et pour axe polaire la parallèle Fa? menée par F à la direction donnée. Soient M le point de contact d'une tangente parallèle à Fa?, P et P' les projections des foyers F et F' sur cette tangente.
Posons WF = r, MF' = r angle MF& == = PMP' = P'MF'. On sait que PF. P'F' = b\ Or PF = r sin 0, PF' =■ r' sin 0. Donc rr' sin *0 = b\ et comme r + r' = 2«, r' = 2<z — r, l'équation polaire du lieu est donc r (2a — r) sin = b*. L'équation cartésienne de la courbe est du sixième degré.
(E. N. Barisien.)
991. Soient pq, p'q 9 deux cordes variables d'un même cercle. On suppose que pq passe par un point fixe a, et que les droites pp' 9 qq f sont parallèles à une même droite donnée. Lieu du pied de la. perpendiculaire abaissée du point a sur p'q'.
(Ecole normale de Fontenay-aux- Roses).
Soit AB le diamètre du cercle donné, perpendiculaire à la dixection pp'\ ce diamètre est fixe. Les cordes pq, p'q' étant symétriques par rapport à AB, p'q' passe par le symétrique a' de a par rapport à AB. Le lieu demandé est donc la circonférence décrite sur aa' comme d amètre.
99£. Construire un triangle ABC, connaissant le côté BC=a, la somme m des longueurs des médianes issues des sommets B et C, et une hauteur h. (École normale de Saint-Cloud.)
1° Soit G le centre de gravité du triangle ABC. Si Ton connaît la hauteur issue de A, on placera le côté BC ; après avoir mené une parallèle à BC à la distance
i A, on cherchera sur cette parallèle un point G dont la somme des distances aux o
points B et C = -m.
2° Si h est la hauteur issue de C ; la parallèle à AB par G rencontre BC en
an point I qui résulte de BI = \ BC; comme sa distance à AB = ^ » la droite GI
s'obtient en menant par 1 une tangente au cercle de centre B et de rayon - h. Il
reste à trouver sur cette droite le point dont la somme des distances aux
points B et C=§«.
n étant un nombre entier, trouver : 1° pour quelles valeurs de n 1 8
n la fraction est un nombre entier; 2° pour quelles valeurs de n
cette fraction est irréductible; 3° si la fraction n'est pas irréductible, quels peuvent être les facteurs communs aux deux termes de la fraction. (Ecole normale de Saint-Cloud).
1° 2» — 5 étant impair, il suffit d'examiner la fraction
Pour que cette expression soit entière, il faut que 2* — 5 soit égal à l'un des nombres 1, 3, 7, 21, ou n égal à 3, 4, 6, 13.
2° et 3°. Les facteurs communs à 2* + 16 et 2» — 5 sont communs à leur différence 21 ; donc les seuls (acteurs communs à n -\- 8 et 2« — 5 peuvent être 3 et 7. Pour que la fraction proposée soit irréductible, il faut et il suffit que n + 8 toit premier avec 21 ; on pourrait encore dire que n -f- 2 ne doit pas être divisible par 3 ni #i + l par 7.
QUESTIONS PROPOSÉES
199$. Soient A un point quelconque d'une ellipse, B et C les pieds des deux autres normales abaissées du centre de courbure relatif à A, D un des points de l'ellipse, conjugués de A. Montrer que la distance du centre de l'ellipse à la normale en D est dans un rapport constant avec la distance du point A à la droite BC. (E. N. Barisien.)
x i994. Chercher quelques propriétés particulières du triangle ABC dont la médiane issue de A est moyenne proportionnelle entre les côtés AB et AC, (J. N.)
x i £95. Résoudre par des formules sans dénominateurs les équations
où Ton a
a* - J a = a' 1 — i' 2 = 1. (G. Fontenê.)
1996. On a, dans un sac, nh boules formant n séries numérotées de 1 à h ; on distribue au hasard, K boules à chacune de n personnes; quelle est la probabilité pour que chacune des n personnes ait en mains la série complète des \ numéros? (A. Boutin).
Rectification*. Page 230, lire ligne 13 en remontant (lAa) 2 ; 1. 1 en rem., Za*(à'*c"* — b" 9 c' 9 ) = Ai ; 1. 5 et 6 en rem., A'a" + A"a' = ; 1. 3 en rem., AV.
