n = l/2nnn*e~ n

par un procédé dû à Glàisher [Quarterly Journal of Matkematics, 1877, XV, pp. 57-63) et à Càylry (Ib., pp. 63-64), exposé par nous avec plus de rigueur (N. C. M. f 1879, V, pp. 44-51), simplifié par E. Cbsaro (Ib.,1880. VI, pp. 354-357, Algebra, 1894, pp. 270-271) et par Rouchb (C. R., 1890, CX, pp. 513-515).

i . Formule de Stirling, la constante n'étant pas déterminée. Potons

x 1.2.3.. .n , , 1V 1.2.3...(» + 1) J t , . m p(n = <p(»+l) = ; ; - J. l * <p(*+2)~etc.

On trouve immédiatement

et, en prenant les logarithmes népériens,

log(p(»)-log(p(n + l) = --l + ^+^log(l + ^. (1) Des inégalités logarithmiques

on déduit

Par suite, on a, d'après (1),

log9(fc)-log<p(fc + l)>0, (2)

log <p (n) - log ? (n+ 1)<1^- -Lj),

c'est-à-dire

log 9 M - < 1* 9 <• + 1 > - î^pïj • (3)

Ed passant des logarithmes aux nombres, les inégalités (2; et (3) deviennent

9(n)* »«»<(p(n+l)tf 12 <»+«>

La fonction 9 (w), qui est positive et décroissante, pour n indéfiniment croissant, tend vers une limite C, inférieure à 9 (n).

La fonction y(n)e lâw , qui est positive et croissante, pour n indéfiniment croissant tend vers la môme limite C, supérieure d'ailleurs à

<p(n)e~ IU . On a donc

ou 1

C <9(»)<C« Tr ».

Donc enfin, étant compris entre et 1,